helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-basic_topologies.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "o-algebra.ma".
  16 include "o-saturations.ma".
  17
  18 record basic_topology: Type ≝
  19  { carrbt:> OA;
  20    A: arrows1 SET (oa_P carrbt) (oa_P carrbt);
  21    J: arrows1 SET (oa_P carrbt) (oa_P carrbt);
  22    A_is_saturation: is_saturation ? A;
  23    J_is_reduction: is_reduction ? J;
  24    compatibility: ∀U,V. (A U >< J V) = (U >< J V)
  25  }.
  26
  27 record continuous_relation (S,T: basic_topology) : Type ≝
  28  { cont_rel:> arrows1 ? S T;
  29    (* reduces uses eq1, saturated uses eq!!! *)
  30    reduced: ∀U. U = J ? U → cont_rel U = J ? (cont_rel U);
  31    saturated: ∀U. U = A ? U → cont_rel⎻* U = A ? (cont_rel⎻* U)
  32  }.
  33
  34 definition continuous_relation_setoid: basic_topology → basic_topology → setoid1.
  35  intros (S T); constructor 1;
  36   [ apply (continuous_relation S T)
  37   | constructor 1;
  38      [ (*apply (λr,s:continuous_relation S T.∀b. eq1 (oa_P (carrbt S)) (A ? (r⎻ b)) (A ? (s⎻ b)));*)
  39        apply (λr,s:continuous_relation S T.r⎻* ∘ (A S) = s⎻* ∘ (A ?));
  40      | simplify; intros; apply refl1;
  41      | simplify; intros; apply sym1; apply H
  42      | simplify; intros; apply trans1; [2: apply H |3: apply H1; |1: skip]]]
  43 qed.
  44
  45 definition cont_rel': ∀S,T: basic_topology. continuous_relation_setoid S T → arrows1 ? S T ≝ cont_rel.
  46
  47 coercion cont_rel'.
  48
  49 definition cont_rel'':
  50  ∀S,T: basic_topology.
  51   continuous_relation_setoid S T → unary_morphism (oa_P (carrbt S)) (oa_P (carrbt T)).
  52  intros; apply rule cont_rel; apply c;
  53 qed.
  54
  55 coercion cont_rel''.
  56 (*
  57 theorem continuous_relation_eq':
  58  ∀o1,o2.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
  59   a = a' → ∀X.a⎻* (A o1 X) = a'⎻* (A o1 X).
  60  intros; apply oa_leq_antisym; intro; unfold minus_star_image; simplify; intros;
  61   [ cut (ext ?? a a1 ⊆ A ? X); [2: intros 2; apply (H1 a2); cases f1; assumption;]
  62     lapply (if ?? (A_is_saturation ???) Hcut); clear Hcut;
  63     cut (A ? (ext ?? a' a1) ⊆ A ? X); [2: apply (. (H ?)‡#); assumption]
  64     lapply (fi ?? (A_is_saturation ???) Hcut);
  65     apply (Hletin1 x); change with (x ∈ ext ?? a' a1); split; simplify;
  66      [ apply I | assumption ]
  67   | cut (ext ?? a' a1 ⊆ A ? X); [2: intros 2; apply (H1 a2); cases f1; assumption;]
  68     lapply (if ?? (A_is_saturation ???) Hcut); clear Hcut;
  69     cut (A ? (ext ?? a a1) ⊆ A ? X); [2: apply (. (H ?)\sup -1‡#); assumption]
  70     lapply (fi ?? (A_is_saturation ???) Hcut);
  71     apply (Hletin1 x); change with (x ∈ ext ?? a a1); split; simplify;
  72      [ apply I | assumption ]]
  73 qed.
  74
  75 theorem continuous_relation_eq_inv':
  76  ∀o1,o2.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
  77   (∀X.a⎻* (A o1 X) = a'⎻* (A o1 X)) → a=a'.
  78  intros 6;
  79  cut (∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
  80   (∀X.a⎻* (A o1 X) = a'⎻* (A o1 X)) →
  81    ∀V:(oa_P (carrbt o2)). A o1 (a'⎻ V) ≤ A o1 (a⎻ V));
  82   [2: clear b H a' a; intros;
  83       lapply depth=0 (λV.saturation_expansive ??? (extS ?? a V)); [2: apply A_is_saturation;|skip]
  84        (* fundamental adjunction here! to be taken out *)
  85        cut (∀V:Ω \sup o2.V ⊆ minus_star_image ?? a (A ? (extS ?? a V)));
  86         [2: intro; intros 2; unfold minus_star_image; simplify; intros;
  87             apply (Hletin V1 x); whd; split; [ exact I | exists; [apply a1] split; assumption]]
  88        clear Hletin;
  89        cut (∀V:Ω \sup o2.V ⊆ minus_star_image ?? a' (A ? (extS ?? a V)));
  90         [2: intro; apply (. #‡(H ?)); apply Hcut] clear H Hcut;
  91        (* second half of the fundamental adjunction here! to be taken out too *)
  92       intro; lapply (Hcut1 (singleton ? V)); clear Hcut1;
  93       unfold minus_star_image in Hletin; unfold singleton in Hletin; simplify in Hletin;
  94       whd in Hletin; whd in Hletin:(?→?→%); simplify in Hletin;
  95       apply (if ?? (A_is_saturation ???));
  96       intros 2 (x H); lapply (Hletin V ? x ?);
  97        [ apply refl | cases H; assumption; ]
  98       change with (x ∈ A ? (ext ?? a V));
  99       apply (. #‡(†(extS_singleton ????)));
 100       assumption;]
 101  split; apply Hcut; [2: assumption | intro; apply sym1; apply H]
 102 qed.
 103 *)
 104 definition continuous_relation_comp:
 105  ∀o1,o2,o3.
 106   continuous_relation_setoid o1 o2 →
 107    continuous_relation_setoid o2 o3 →
 108     continuous_relation_setoid o1 o3.
 109  intros (o1 o2 o3 r s); constructor 1;
 110   [ apply (s ∘ r)
 111   | intros;
 112     apply sym1;
 113     change in match ((s ∘ r) U) with (s (r U));
 114     (*BAD*) unfold FunClass_1_OF_carr1;
 115     apply (.= ((reduced : ?)\sup -1));
 116      [ (*BAD*) change with (eq1 ? (r U) (J ? (r U)));
 117        (* BAD U *) apply (.= (reduced ??? U ?)); [ assumption | apply refl1 ]
 118      | apply refl1]
 119   | intros;
 120     apply sym;
 121     change in match ((s ∘ r)⎻* U) with (s⎻* (r⎻* U));
 122     apply (.= (saturated : ?)\sup -1);
 123      [ apply (.= (saturated : ?)); [ assumption | apply refl ]
 124      | apply refl]]
 125 qed.
 126
 127 definition BTop: category1.
 128  constructor 1;
 129   [ apply basic_topology
 130   | apply continuous_relation_setoid
 131   | intro; constructor 1;
 132      [ apply id1
 133      | intros; apply H;
 134      | intros; apply H;]
 135   | intros; constructor 1;
 136      [ apply continuous_relation_comp;
 137      | intros; simplify; (*intro x; simplify;*)
 138        change with (b⎻* ∘ (a⎻* ∘ A o1) = b'⎻* ∘ (a'⎻* ∘ A o1));
 139        change in H with (a⎻* ∘ A o1 = a'⎻* ∘ A o1);
 140        change in H1 with (b⎻* ∘ A o2 = b'⎻* ∘ A o2);
 141        apply (.= H‡#);
 142        intro x;
 143
 144        change with (eq1 (oa_P (carrbt o3)) (b⎻* (a'⎻* (A o1 x))) (b'⎻*(a'⎻* (A o1 x))));
 145        lapply (saturated o1 o2 a' (A o1 x):?) as X;
 146          [ apply ((saturation_idempotent ?? (A_is_saturation o1) x)^-1) ]
 147        change in X with (eq1 (oa_P (carrbt o2)) (a'⎻* (A o1 x)) (A o2 (a'⎻* (A o1 x))));
 148        unfold uncurry_arrows;
 149        apply (.= †X); whd in H1;
 150        lapply (H1 (a'⎻* (A o1 x))) as X1;
 151        change in X1 with (eq1 (oa_P (carrbt o3)) (b⎻* (A o2 (a'⎻* (A o1 x)))) (b'⎻* (A o2 (a' \sup ⎻* (A o1 x)))));
 152        apply (.= X1);
 153        unfold uncurry_arrows;
 154        apply (†(X\sup -1));]
 155   | intros; simplify;
 156     change with (((a34⎻* ∘ a23⎻* ) ∘ a12⎻* ) ∘ A o1 = ((a34⎻* ∘ (a23⎻* ∘ a12⎻* )) ∘ A o1));
 157     apply rule (#‡ASSOC1\sup -1);
 158   | intros; simplify;
 159     change with ((a⎻* ∘ (id1 ? o1)⎻* ) ∘ A o1 = a⎻* ∘ A o1);
 160     apply (#‡(id_neutral_right1 : ?));
 161   | intros; simplify;
 162     change with (((id1 ? o2)⎻* ∘ a⎻* ) ∘ A o1 = a⎻* ∘ A o1);
 163     apply (#‡(id_neutral_left1 : ?));]
 164 qed.
 165
 166 (*
 167 (*CSC: unused! *)
 168 (* this proof is more logic-oriented than set/lattice oriented *)
 169 theorem continuous_relation_eqS:
 170  ∀o1,o2:basic_topology.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
 171   a = a' → ∀X. A ? (extS ?? a X) = A ? (extS ?? a' X).
 172  intros;
 173  cut (∀a: arrows1 ? o1 ?.∀x. x ∈ extS ?? a X → ∃y:o2.y ∈ X ∧ x ∈ ext ?? a y);
 174   [2: intros; cases f; clear f; cases H1; exists [apply w] cases x1; split;
 175       try assumption; split; assumption]
 176  cut (∀a,a':continuous_relation_setoid o1 o2.eq1 ? a a' → ∀x. x ∈ extS ?? a X → ∃y:o2. y ∈ X ∧ x ∈ A ? (ext ?? a' y));
 177   [2: intros; cases (Hcut ?? f); exists; [apply w] cases x1; split; try assumption;
 178       apply (. #‡(H1 ?));
 179       apply (saturation_expansive ?? (A_is_saturation o1) (ext ?? a1 w) x);
 180       assumption;] clear Hcut;
 181  split; apply (if ?? (A_is_saturation ???)); intros 2;
 182   [lapply (Hcut1 a a' H a1 f) | lapply (Hcut1 a' a (H \sup -1) a1 f)]
 183   cases Hletin; clear Hletin; cases x; clear x;
 184  cut (∀a: arrows1 ? o1 ?. ext ?? a w ⊆ extS ?? a X);
 185   [2,4: intros 3; cases f3; clear f3; simplify in f5; split; try assumption;
 186       exists [1,3: apply w] split; assumption;]
 187  cut (∀a. A ? (ext o1 o2 a w) ⊆ A ? (extS o1 o2 a X));
 188   [2,4: intros; apply saturation_monotone; try (apply A_is_saturation); apply Hcut;]
 189  apply Hcut2; assumption.
 190 qed.
 191 *)