helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-concrete_spaces.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "o-basic_pairs.ma".
  16 include "o-saturations.ma".
  17
  18 notation "□ \sub b" non associative with precedence 90 for @{'box $b}.
  19 notation > "□_term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'box $b}.
  20 interpretation "Universal image ⊩⎻*" 'box x = (fun_1 _ _ (or_f_minus_star _ _) (rel x)).
  21
  22 notation "◊ \sub b" non associative with precedence 90 for @{'diamond $b}.
  23 notation > "◊_term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'diamond $b}.
  24 interpretation "Existential image ⊩" 'diamond x = (fun_1 _ _ (or_f _ _) (rel x)).
  25
  26 notation "'Rest' \sub b" non associative with precedence 90 for @{'rest $b}.
  27 notation > "'Rest'⎽term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'rest $b}.
  28 interpretation "Universal pre-image ⊩*" 'rest x = (fun_1 _ _ (or_f_star _ _) (rel x)).
  29
  30 notation "'Ext' \sub b" non associative with precedence 90 for @{'ext $b}.
  31 notation > "'Ext'⎽term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'ext $b}.
  32 interpretation "Existential pre-image ⊩⎻" 'ext x = (fun_1 _ _ (or_f_minus _ _) (rel x)).
  33
  34 lemma hint : ∀p,q.arrows1 OA p q → ORelation_setoid p q.
  35 intros; assumption;
  36 qed.
  37
  38 coercion hint nocomposites.
  39
  40 definition A : ∀b:BP. unary_morphism (oa_P (form b)) (oa_P (form b)).
  41 intros; constructor 1;
  42  [ apply (λx.□_b (Ext⎽b x));
  43  | do 2 unfold uncurry_arrows; intros; apply  (†(†H));]
  44 qed.
  45
  46 lemma xxx : ∀x.carr x → carr1 (setoid1_of_setoid x). intros; assumption; qed.
  47 coercion xxx nocomposites.
  48
  49 lemma down_p : ∀S,I:SET.∀u:S⇒S.∀c:arrows1 SET I S.∀a:I.∀a':I.a=a'→u (c a)=u (c a').
  50 intros; unfold uncurry_arrows; change in c with (I ⇒ S);
  51 apply (†(†H));
  52 qed.
  53
  54 alias symbol "eq" = "setoid eq".
  55 alias symbol "and" = "o-algebra binary meet".
  56 record concrete_space : Type ≝
  57  { bp:> BP;
  58    (*distr : is_distributive (form bp);*)
  59    downarrow: unary_morphism (oa_P (form bp)) (oa_P (form bp));
  60    downarrow_is_sat: is_saturation ? downarrow;
  61    converges: ∀q1,q2.
  62      (Ext⎽bp q1 ∧ (Ext⎽bp q2)) = (Ext⎽bp ((downarrow q1) ∧ (downarrow q2)));
  63    all_covered: Ext⎽bp (oa_one (form bp)) = oa_one (concr bp);
  64    il2: ∀I:SET.∀p:arrows1 SET I (oa_P (form bp)).
  65      downarrow (∨ { x ∈ I | downarrow (p x) | down_p ???? }) =
  66      ∨ { x ∈ I | downarrow (p x) | down_p ???? };
  67    il1: ∀q.downarrow (A ? q) = A ? q
  68  }.
  69
  70 interpretation "o-concrete space downarrow" 'downarrow x =
  71   (fun_1 __ (downarrow _) x).
  72
  73 definition bp': concrete_space → basic_pair ≝ λc.bp c.
  74 coercion bp'.
  75
  76 lemma setoid_OF_OA : OA → setoid.
  77 intros; apply (oa_P o);
  78 qed.
  79
  80 coercion setoid_OF_OA.
  81
  82 definition binary_downarrow :
  83   ∀C:concrete_space.binary_morphism1 (form C) (form C) (form C).
  84 intros; constructor 1;
  85 [ intros; apply (↓ c ∧ ↓ c1);
  86 | intros; apply ((†H)‡(†H1));]
  87 qed.
  88
  89 interpretation "concrete_space binary ↓" 'fintersects a b = (fun1 _ _ _ (binary_downarrow _) a b).
  90
  91 record convergent_relation_pair (CS1,CS2: concrete_space) : Type ≝
  92  { rp:> arrows1 ? CS1 CS2;
  93    respects_converges:
  94     ∀b,c. eq1 ? (rp\sub\c⎻ (Ext⎽CS2 (b ↓ c))) (Ext⎽CS1 (rp\sub\f⎻ b ↓ rp\sub\f⎻ c));
  95    respects_all_covered:
  96      eq1 ? (rp\sub\c⎻ (Ext⎽CS2 (oa_one (form CS2))))
  97            (Ext⎽CS1 (oa_one (form CS1)))
  98  }.
  99
 100 definition rp' : ∀CS1,CS2. convergent_relation_pair CS1 CS2 → relation_pair CS1 CS2 ≝
 101  λCS1,CS2,c. rp CS1 CS2 c.
 102
 103 coercion rp'.
 104
 105 definition convergent_relation_space_setoid: concrete_space → concrete_space → setoid1.
 106  intros;
 107  constructor 1;
 108   [ apply (convergent_relation_pair c c1)
 109   | constructor 1;
 110      [ intros;
 111        apply (relation_pair_equality c c1 c2 c3);
 112      | intros 1; apply refl1;
 113      | intros 2; apply sym1;
 114      | intros 3; apply trans1]]
 115 qed.
 116
 117 definition rp'': ∀CS1,CS2.convergent_relation_space_setoid CS1 CS2 → arrows1 BP CS1 CS2 ≝
 118  λCS1,CS2,c.rp ?? c.
 119
 120 coercion rp''.
 121
 122 definition convergent_relation_space_composition:
 123  ∀o1,o2,o3: concrete_space.
 124   binary_morphism1
 125    (convergent_relation_space_setoid o1 o2)
 126    (convergent_relation_space_setoid o2 o3)
 127    (convergent_relation_space_setoid o1 o3).
 128  intros; constructor 1;
 129      [ intros; whd in c c1 ⊢ %;
 130        constructor 1;
 131         [ apply (c1 ∘ c);
 132         | intros;
 133           change in ⊢ (? ? ? % ?) with (c\sub\c⎻ (c1\sub\c⎻ (Ext⎽o3 (b↓c2))));
 134           unfold uncurry_arrows;
 135           alias symbol "trans" = "trans1".
 136           apply (.= († (respects_converges : ?)));
 137           apply (respects_converges ?? c (c1\sub\f⎻ b) (c1\sub\f⎻ c2));
 138         | change in ⊢ (? ? ? % ?) with (c\sub\c⎻ (c1\sub\c⎻ (Ext⎽o3 (oa_one (form o3)))));
 139           unfold uncurry_arrows;
 140           apply (.= (†(respects_all_covered :?)));
 141           apply rule (respects_all_covered ?? c);]
 142      | intros;
 143        change with (b ∘ a = b' ∘ a');
 144        change in H with (rp'' ?? a = rp'' ?? a');
 145        change in H1 with (rp'' ?? b = rp ?? b');
 146        apply ( (H‡H1));]
 147 qed.
 148
 149 definition CSPA: category1.
 150  constructor 1;
 151   [ apply concrete_space
 152   | apply convergent_relation_space_setoid
 153   | intro; constructor 1;
 154      [ apply id1
 155      | intros; apply refl1;
 156      | apply refl1]
 157   | apply convergent_relation_space_composition
 158   | intros; simplify;
 159     change with (a34 ∘ (a23 ∘ a12) = (a34 ∘ a23) ∘ a12);
 160     apply ASSOC1;
 161   | intros; simplify;
 162     change with (a ∘ id1 ? o1 = a);
 163     apply (id_neutral_right1 : ?);
 164   | intros; simplify;
 165     change with (id1 ? o2 ∘ a = a);
 166     apply (id_neutral_left1 : ?);]
 167 qed.