helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-concrete_spaces.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "o-basic_pairs.ma".
  16 include "o-saturations.ma".
  17
  18 definition A : ∀b:BP. unary_morphism1 (form b) (form b).
  19 intros; constructor 1;
  20  [ apply (λx.□_b (Ext⎽b x));
  21  | do 2 unfold FunClass_1_OF_Type_OF_setoid21; intros; apply  (†(†e));]
  22 qed.
  23
  24 lemma down_p : ∀S:SET1.∀I:SET.∀u:S⇒S.∀c:arrows2 SET1 I S.∀a:I.∀a':I.a=a'→u (c a)=u (c a').
  25 intros; apply (†(†e));
  26 qed.
  27
  28 record concrete_space : Type2 ≝
  29  { bp:> BP;
  30    (*distr : is_distributive (form bp);*)
  31    downarrow: unary_morphism1 (form bp) (form bp);
  32    downarrow_is_sat: is_o_saturation ? downarrow;
  33    converges: ∀q1,q2.
  34      (Ext⎽bp q1 ∧ (Ext⎽bp q2)) = (Ext⎽bp ((downarrow q1) ∧ (downarrow q2)));
  35    all_covered: Ext⎽bp (oa_one (form bp)) = oa_one (concr bp);
  36    il2: ∀I:SET.∀p:arrows2 SET1 I (form bp).
  37      downarrow (∨ { x ∈ I | downarrow (p x) | down_p ???? }) =
  38      ∨ { x ∈ I | downarrow (p x) | down_p ???? };
  39    il1: ∀q.downarrow (A ? q) = A ? q
  40  }.
  41
  42 interpretation "o-concrete space downarrow" 'downarrow x =
  43   (fun11 __ (downarrow _) x).
  44
  45 definition bp': concrete_space → basic_pair ≝ λc.bp c.
  46 coercion bp'.
  47
  48 definition bp'': concrete_space → objs2 BP.
  49  intro; apply (bp' c);
  50 qed.
  51 coercion bp''.
  52
  53 definition binary_downarrow :
  54   ∀C:concrete_space.binary_morphism1 (form C) (form C) (form C).
  55 intros; constructor 1;
  56 [ intros; apply (↓ t ∧ ↓ t1);
  57 | intros;
  58   alias symbol "prop2" = "prop21".
  59   alias symbol "prop1" = "prop11".
  60   apply ((†e)‡(†e1));]
  61 qed.
  62
  63 interpretation "concrete_space binary ↓" 'fintersects a b = (fun21 _ _ _ (binary_downarrow _) a b).
  64
  65 record convergent_relation_pair (CS1,CS2: concrete_space) : Type2 ≝
  66  { rp:> arrows2 ? CS1 CS2;
  67    respects_converges:
  68     ∀b,c. eq1 ? (rp\sub\c⎻ (Ext⎽CS2 (b ↓ c))) (Ext⎽CS1 (rp\sub\f⎻ b ↓ rp\sub\f⎻ c));
  69    respects_all_covered:
  70      eq1 ? (rp\sub\c⎻ (Ext⎽CS2 (oa_one (form CS2))))
  71            (Ext⎽CS1 (oa_one (form CS1)))
  72  }.
  73
  74 definition rp' : ∀CS1,CS2. convergent_relation_pair CS1 CS2 → relation_pair CS1 CS2 ≝
  75  λCS1,CS2,c. rp CS1 CS2 c.
  76 coercion rp'.
  77
  78 definition convergent_relation_space_setoid: concrete_space → concrete_space → setoid2.
  79  intros;
  80  constructor 1;
  81   [ apply (convergent_relation_pair c c1)
  82   | constructor 1;
  83      [ intros;
  84        apply (relation_pair_equality c c1 c2 c3);
  85      | intros 1; apply refl2;
  86      | intros 2; apply sym2;
  87      | intros 3; apply trans2]]
  88 qed.
  89
  90
  91 definition rp'': ∀CS1,CS2.carr2 (convergent_relation_space_setoid CS1 CS2) → arrows2 BP CS1 CS2 ≝
  92  λCS1,CS2,c.rp ?? c.
  93 coercion rp''.
  94
  95 definition rp''': ∀CS1,CS2.Type_OF_setoid2 (convergent_relation_space_setoid CS1 CS2) → arrows2 BP CS1 CS2 ≝
  96  λCS1,CS2,c.rp ?? c.
  97 coercion rp'''.
  98
  99 definition rp'''': ∀CS1,CS2.Type_OF_setoid2 (convergent_relation_space_setoid CS1 CS2) → carr2 (arrows2 BP CS1 CS2) ≝
 100  λCS1,CS2,c.rp ?? c.
 101 coercion rp''''.
 102
 103 definition convergent_relation_space_composition:
 104  ∀o1,o2,o3: concrete_space.
 105   binary_morphism2
 106    (convergent_relation_space_setoid o1 o2)
 107    (convergent_relation_space_setoid o2 o3)
 108    (convergent_relation_space_setoid o1 o3).
 109  intros; constructor 1;
 110      [ intros; whd in t t1 ⊢ %;
 111        constructor 1;
 112         [ apply (t1 ∘ t);
 113         | intros;
 114           change in ⊢ (? ? ? % ?) with (t\sub\c⎻ (t1\sub\c⎻ (Ext⎽o3 (b↓c))));
 115           unfold FunClass_1_OF_Type_OF_setoid21;
 116           alias symbol "trans" = "trans1".
 117           apply (.= († (respects_converges : ?)));
 118           apply (respects_converges ?? t (t1\sub\f⎻ b) (t1\sub\f⎻ c));
 119         | change in ⊢ (? ? ? % ?) with (t\sub\c⎻ (t1\sub\c⎻ (Ext⎽o3 (oa_one (form o3)))));
 120           unfold FunClass_1_OF_Type_OF_setoid21;
 121           apply (.= (†(respects_all_covered :?)));
 122           apply rule (respects_all_covered ?? t);]
 123      | intros;
 124        change with (b ∘ a = b' ∘ a');
 125        change in e with (rp'' ?? a = rp'' ?? a');
 126        change in e1 with (rp'' ?? b = rp ?? b');
 127        apply (e‡e1);]
 128 qed.
 129
 130 definition CSPA: category2.
 131  constructor 1;
 132   [ apply concrete_space
 133   | apply convergent_relation_space_setoid
 134   | intro; constructor 1;
 135      [ apply id2
 136      | intros; apply refl1;
 137      | apply refl1]
 138   | apply convergent_relation_space_composition
 139   | intros; simplify; whd in a12 a23 a34;
 140     change with (a34 ∘ (a23 ∘ a12) = (a34 ∘ a23) ∘ a12);
 141     apply rule ASSOC;
 142   | intros; simplify;
 143     change with (a ∘ id2 ? o1 = a);
 144     apply (id_neutral_right2 : ?);
 145   | intros; simplify;
 146     change with (id2 ? o2 ∘ a = a);
 147     apply (id_neutral_left2 : ?);]
 148 qed.