helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-concrete_spaces.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "o-basic_pairs.ma".
  16 include "o-saturations.ma".
  17
  18 lemma xxx : ∀x.carr x → carr1 (setoid1_of_setoid x). intros; assumption; qed.
  19 coercion xxx.
  20
  21 record concrete_space : Type ≝
  22  { bp:> BP;
  23    downarrow: unary_morphism (oa_P (form bp)) (oa_P (form bp));
  24    downarrow_is_sat: is_saturation ? downarrow;
  25    converges: ∀q1,q2.
  26      or_f_minus ?? (⊩) q1 ∧ or_f_minus ?? (⊩) q2 =
  27      or_f_minus ?? (⊩) ((downarrow q1) ∧ (downarrow q2));
  28    all_covered: (*⨍^-_bp*) or_f_minus ?? (⊩) (oa_one (form bp)) = oa_one (concr bp);
  29    il2: ∀I:setoid.∀p:ums I (oa_P (form bp)).
  30      downarrow (oa_join ? I (mk_unary_morphism ?? (λi:I. downarrow (p i)) ?)) =
  31      oa_join ? I (mk_unary_morphism ?? (λi:I. downarrow (p i)) ?)
  32  }.
  33
  34 definition bp': concrete_space → basic_pair ≝ λc.bp c.
  35
  36 coercion bp'.
  37
  38 record convergent_relation_pair (CS1,CS2: concrete_space) : Type ≝
  39  { rp:> arrows1 ? CS1 CS2;
  40    respects_converges:
  41     ∀b,c.
  42      extS ?? rp \sub\c (BPextS CS2 (b ↓ c)) =
  43      BPextS CS1 ((extS ?? rp \sub\f b) ↓ (extS ?? rp \sub\f c));
  44    respects_all_covered:
  45     extS ?? rp\sub\c (BPextS CS2 (form CS2)) = BPextS CS1 (form CS1)
  46  }.
  47
  48 definition rp' : ∀CS1,CS2. convergent_relation_pair CS1 CS2 → relation_pair CS1 CS2 ≝
  49  λCS1,CS2,c. rp CS1 CS2 c.
  50
  51 coercion rp'.
  52
  53 definition convergent_relation_space_setoid: concrete_space → concrete_space → setoid1.
  54  intros;
  55  constructor 1;
  56   [ apply (convergent_relation_pair c c1)
  57   | constructor 1;
  58      [ intros;
  59        apply (relation_pair_equality c c1 c2 c3);
  60      | intros 1; apply refl1;
  61      | intros 2; apply sym1;
  62      | intros 3; apply trans1]]
  63 qed.
  64
  65 definition rp'': ∀CS1,CS2.convergent_relation_space_setoid CS1 CS2 → arrows1 BP CS1 CS2 ≝
  66  λCS1,CS2,c.rp ?? c.
  67
  68 coercion rp''.
  69
  70 definition convergent_relation_space_composition:
  71  ∀o1,o2,o3: concrete_space.
  72   binary_morphism1
  73    (convergent_relation_space_setoid o1 o2)
  74    (convergent_relation_space_setoid o2 o3)
  75    (convergent_relation_space_setoid o1 o3).
  76  intros; constructor 1;
  77      [ intros; whd in c c1 ⊢ %;
  78        constructor 1;
  79         [ apply (fun1 ??? (comp1 BP ???)); [apply (bp o2) |*: apply rp; assumption]
  80         | intros;
  81           change in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?) ?) with (c1 \sub \c ∘ c \sub \c);
  82           change in ⊢ (? ? ? ? (? ? ? ? (? ? ? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?) ?)))
  83             with (c1 \sub \f ∘ c \sub \f);
  84           change in ⊢ (? ? ? ? (? ? ? ? (? ? ? ? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?))))
  85             with (c1 \sub \f ∘ c \sub \f);
  86           apply (.= (extS_com ??????));
  87           apply (.= (†(respects_converges ?????)));
  88           apply (.= (respects_converges ?????));
  89           apply (.= (†(((extS_com ??????) \sup -1)‡(extS_com ??????)\sup -1)));
  90           apply refl1;
  91         | change in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?) ?) with (c1 \sub \c ∘ c \sub \c);
  92           apply (.= (extS_com ??????));
  93           apply (.= (†(respects_all_covered ???)));
  94           apply (.= respects_all_covered ???);
  95           apply refl1]
  96      | intros;
  97        change with (b ∘ a = b' ∘ a');
  98        change in H with (rp'' ?? a = rp'' ?? a');
  99        change in H1 with (rp'' ?? b = rp ?? b');
 100        apply (.= (H‡H1));
 101        apply refl1]
 102 qed.
 103
 104 definition CSPA: category1.
 105  constructor 1;
 106   [ apply concrete_space
 107   | apply convergent_relation_space_setoid
 108   | intro; constructor 1;
 109      [ apply id1
 110      | intros;
 111        unfold id; simplify;
 112        apply (.= (equalset_extS_id_X_X ??));
 113        apply (.= (†((equalset_extS_id_X_X ??)\sup -1‡
 114                     (equalset_extS_id_X_X ??)\sup -1)));
 115        apply refl1;
 116      | apply (.= (equalset_extS_id_X_X ??));
 117        apply refl1]
 118   | apply convergent_relation_space_composition
 119   | intros; simplify;
 120     change with (a34 ∘ (a23 ∘ a12) = (a34 ∘ a23) ∘ a12);
 121     apply (.= ASSOC1);
 122     apply refl1
 123   | intros; simplify;
 124     change with (a ∘ id1 ? o1 = a);
 125     apply (.= id_neutral_right1 ????);
 126     apply refl1
 127   | intros; simplify;
 128     change with (id1 ? o2 ∘ a = a);
 129     apply (.= id_neutral_left1 ????);
 130     apply refl1]
 131 qed.