helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-concrete_spaces.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "o-basic_pairs.ma".
  16 include "o-saturations.ma".
  17
  18 notation "□ \sub b" non associative with precedence 90 for @{'box $b}.
  19 notation > "□_term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'box $b}.
  20 interpretation "Universal image ⊩⎻*" 'box x = (fun_1 _ _ (or_f_minus_star _ _) (rel x)).
  21
  22 notation "◊ \sub b" non associative with precedence 90 for @{'diamond $b}.
  23 notation > "◊_term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'diamond $b}.
  24 interpretation "Existential image ⊩" 'diamond x = (fun_1 _ _ (or_f _ _) (rel x)).
  25
  26 notation "'Rest' \sub b" non associative with precedence 90 for @{'rest $b}.
  27 notation > "'Rest'⎽term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'rest $b}.
  28 interpretation "Universal pre-image ⊩*" 'rest x = (fun_1 _ _ (or_f_star _ _) (rel x)).
  29
  30 notation "'Ext' \sub b" non associative with precedence 90 for @{'ext $b}.
  31 notation > "'Ext'⎽term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'ext $b}.
  32 interpretation "Existential pre-image ⊩⎻" 'ext x = (fun_1 _ _ (or_f_minus _ _) (rel x)).
  33
  34 lemma hint : ∀p,q.arrows1 OA p q → ORelation_setoid p q.
  35 intros; assumption;
  36 qed.
  37
  38 coercion hint nocomposites.
  39
  40 definition A : ∀b:BP. unary_morphism (oa_P (form b)) (oa_P (form b)).
  41 intros; constructor 1;
  42  [ apply (λx.□_b (Ext⎽b x));
  43  | do 2 unfold uncurry_arrows; intros; apply  (†(†H));]
  44 qed.
  45
  46 lemma xxx : ∀x.carr x → carr1 (setoid1_of_setoid x). intros; assumption; qed.
  47 coercion xxx nocomposites.
  48
  49 lemma down_p : ∀S,I:SET.∀u:S⇒S.∀c:arrows1 SET I S.∀a:I.∀a':I.a=a'→u (c a)=u (c a').
  50 intros; unfold uncurry_arrows; apply (†(†H));
  51 qed.
  52
  53 alias symbol "eq" = "setoid eq".
  54 alias symbol "and" = "o-algebra binary meet".
  55 record concrete_space : Type ≝
  56  { bp:> BP;
  57    (*distr : is_distributive (form bp);*)
  58    downarrow: unary_morphism (oa_P (form bp)) (oa_P (form bp));
  59    downarrow_is_sat: is_saturation ? downarrow;
  60    converges: ∀q1,q2.
  61      (Ext⎽bp q1 ∧ (Ext⎽bp q2)) = (Ext⎽bp ((downarrow q1) ∧ (downarrow q2)));
  62    all_covered: Ext⎽bp (oa_one (form bp)) = oa_one (concr bp);
  63    il2: ∀I:SET.∀p:arrows1 SET I (oa_P (form bp)).
  64      downarrow (∨ { x ∈ I | downarrow (p x) | down_p ???? }) =
  65      ∨ { x ∈ I | downarrow (p x) | down_p ???? };
  66    il1: ∀q.downarrow (A ? q) = A ? q
  67  }.
  68
  69 interpretation "o-concrete space downarrow" 'downarrow x =
  70   (fun_1 __ (downarrow _) x).
  71
  72 definition bp': concrete_space → basic_pair ≝ λc.bp c.
  73 coercion bp'.
  74
  75 lemma setoid_OF_OA : OA → setoid.
  76 intros; apply (oa_P o);
  77 qed.
  78
  79 coercion setoid_OF_OA.
  80
  81 definition binary_downarrow :
  82   ∀C:concrete_space.binary_morphism1 (form C) (form C) (form C).
  83 intros; constructor 1;
  84 [ intros; apply (↓ c ∧ ↓ c1);
  85 | intros; apply ((†H)‡(†H1));]
  86 qed.
  87
  88 interpretation "concrete_space binary ↓" 'fintersects a b = (fun1 _ _ _ (binary_downarrow _) a b).
  89
  90 record convergent_relation_pair (CS1,CS2: concrete_space) : Type ≝
  91  { rp:> arrows1 ? CS1 CS2;
  92    respects_converges:
  93     ∀b,c. eq1 ? (rp\sub\c⎻ (Ext⎽CS2 (b ↓ c))) (Ext⎽CS1 (rp\sub\f⎻ b ↓ rp\sub\f⎻ c));
  94    respects_all_covered:
  95      eq1 ? (rp\sub\c⎻ (Ext⎽CS2 (oa_one (form CS2))))
  96            (Ext⎽CS1 (oa_one (form CS1)))
  97  }.
  98
  99 definition rp' : ∀CS1,CS2. convergent_relation_pair CS1 CS2 → relation_pair CS1 CS2 ≝
 100  λCS1,CS2,c. rp CS1 CS2 c.
 101
 102 coercion rp'.
 103
 104 definition convergent_relation_space_setoid: concrete_space → concrete_space → setoid1.
 105  intros;
 106  constructor 1;
 107   [ apply (convergent_relation_pair c c1)
 108   | constructor 1;
 109      [ intros;
 110        apply (relation_pair_equality c c1 c2 c3);
 111      | intros 1; apply refl1;
 112      | intros 2; apply sym1;
 113      | intros 3; apply trans1]]
 114 qed.
 115
 116 definition rp'': ∀CS1,CS2.convergent_relation_space_setoid CS1 CS2 → arrows1 BP CS1 CS2 ≝
 117  λCS1,CS2,c.rp ?? c.
 118
 119 coercion rp''.
 120
 121 definition prop_1_SET :
 122  ∀A,B:SET.∀w:arrows1 SET A B.∀a,b:A.eq1 ? a b→eq1 ? (w a) (w b).
 123 intros; apply (prop_1 A B w a b H);
 124 qed.
 125
 126 interpretation "SET dagger" 'prop1 h = (prop_1_SET _ _ _ _ _ h).
 127
 128 definition convergent_relation_space_composition:
 129  ∀o1,o2,o3: concrete_space.
 130   binary_morphism1
 131    (convergent_relation_space_setoid o1 o2)
 132    (convergentin ⊢ (? (? ? ? (? ? ? (? ? ? ? ? (? ? ? (? ? ? (% ? ?))) ?)) ?) ? ? ?)_relation_space_setoid o2 o3)
 133    (convergent_relation_space_setoid o1 o3).
 134  intros; constructor 1;
 135      [ intros; whd in c c1 ⊢ %;
 136        constructor 1;
 137         [ apply (c1 ∘ c);
 138         | intros;
 139           change in ⊢ (? ? ? % ?) with (c\sub\c⎻ (c1\sub\c⎻ (Ext⎽o3 (b↓c2))));
 140           alias symbol "trans" = "trans1".
 141           apply (.= († (respects_converges : ?)));
 142           apply (.= (respects_converges : ?));
 143           apply refl1;
 144         | change in ⊢ (? ? ? % ?) with (c\sub\c⎻ (c1\sub\c⎻ (Ext⎽o3 (oa_one (form o3)))));
 145           apply (.= (†(respects_all_covered :?)));
 146           apply (.= (respects_all_covered :?));
 147           apply refl1]
 148      | intros;
 149        change with (b ∘ a = b' ∘ a');
 150        change in H with (rp'' ?? a = rp'' ?? a');
 151        change in H1 with (rp'' ?? b = rp ?? b');
 152        apply ( (H‡H1));]
 153 qed.
 154
 155 definition CSPA: category1.
 156  constructor 1;
 157   [ apply concrete_space
 158   | apply convergent_relation_space_setoid
 159   | intro; constructor 1;
 160      [ apply id1
 161      | intros; apply refl1;
 162      | apply refl1]
 163   | apply convergent_relation_space_composition
 164   | intros; simplify;
 165     change with (a34 ∘ (a23 ∘ a12) = (a34 ∘ a23) ∘ a12);
 166     apply ASSOC1;
 167   | intros; simplify;
 168     change with (a ∘ id1 ? o1 = a);
 169     apply (id_neutral_right1 : ?);
 170   | intros; simplify;
 171     change with (id1 ? o2 ∘ a = a);
 172     apply (id_neutral_left1 : ?);]
 173 qed.