helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-concrete_spaces.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "o-basic_pairs.ma".
  16 include "o-saturations.ma".
  17
  18 notation "□ \sub b" non associative with precedence 90 for @{'box $b}.
  19 notation > "□_term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'box $b}.
  20 interpretation "Universal image ⊩⎻*" 'box x = (or_f_minus_star _ _ (rel x)).
  21
  22 notation "◊ \sub b" non associative with precedence 90 for @{'diamond $b}.
  23 notation > "◊_term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'diamond $b}.
  24 interpretation "Existential image ⊩" 'diamond x = (or_f _ _ (rel x)).
  25
  26 notation "'Rest' \sub b" non associative with precedence 90 for @{'rest $b}.
  27 notation > "'Rest'⎽term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'rest $b}.
  28 interpretation "Universal pre-image ⊩*" 'rest x = (or_f_star _ _ (rel x)).
  29
  30 notation "'Ext' \sub b" non associative with precedence 90 for @{'ext $b}.
  31 notation > "'Ext'⎽term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'ext $b}.
  32 interpretation "Existential pre-image ⊩⎻" 'ext x = (or_f_minus _ _ (rel x)).
  33
  34 definition A : ∀b:BP. unary_morphism (oa_P (form b)) (oa_P (form b)).
  35 intros; constructor 1;
  36  [ apply (λx.□_b (Ext⎽b x));
  37  | do 2 unfold FunClass_1_OF_carr1; intros; apply  (†(†H));]
  38 qed.
  39
  40 lemma xxx : ∀x.carr x → carr1 (setoid1_of_setoid x). intros; assumption; qed.
  41 coercion xxx.
  42
  43 definition d_p_i :
  44   ∀S,I:SET.∀d:unary_morphism S S.∀p:arrows1 SET I S.arrows1 SET I S.
  45 intros; constructor 1;
  46  [ apply (λi:I. u (c i));
  47  | unfold FunClass_1_OF_carr1; intros; apply (†(†H));].
  48 qed.
  49
  50 alias symbol "eq" = "setoid eq".
  51 alias symbol "and" = "o-algebra binary meet".
  52 record concrete_space : Type ≝
  53  { bp:> BP;
  54    (*distr : is_distributive (form bp);*)
  55    downarrow: unary_morphism (oa_P (form bp)) (oa_P (form bp));
  56    downarrow_is_sat: is_saturation ? downarrow;
  57    converges: ∀q1,q2.
  58      (Ext⎽bp q1 ∧ (Ext⎽bp q2)) = (Ext⎽bp ((downarrow q1) ∧ (downarrow q2)));
  59    all_covered: Ext⎽bp (oa_one (form bp)) = oa_one (concr bp);
  60    il2: ∀I:SET.∀p:arrows1 SET I (oa_P (form bp)).
  61      downarrow (oa_join ? I (d_p_i ?? downarrow p)) =
  62      oa_join ? I (d_p_i ?? downarrow p);
  63    il1: ∀q.downarrow (A ? q) = A ? q
  64  }.
  65
  66 interpretation "o-concrete space downarrow" 'downarrow x = (fun_1 __ (downarrow _) x).
  67
  68 definition bp': concrete_space → basic_pair ≝ λc.bp c.
  69 coercion bp'.
  70
  71 record convergent_relation_pair (CS1,CS2: concrete_space) : Type ≝
  72  { rp:> arrows1 ? CS1 CS2;
  73    respects_converges:
  74     ∀b,c.
  75      extS ?? rp \sub\c (BPextS CS2 (b ↓ c)) =
  76      BPextS CS1 ((extS ?? rp \sub\f b) ↓ (extS ?? rp \sub\f c));
  77    respects_all_covered:
  78     extS ?? rp\sub\c (BPextS CS2 (form CS2)) = BPextS CS1 (form CS1)
  79  }.
  80
  81 definition rp' : ∀CS1,CS2. convergent_relation_pair CS1 CS2 → relation_pair CS1 CS2 ≝
  82  λCS1,CS2,c. rp CS1 CS2 c.
  83
  84 coercion rp'.
  85
  86 definition convergent_relation_space_setoid: concrete_space → concrete_space → setoid1.
  87  intros;
  88  constructor 1;
  89   [ apply (convergent_relation_pair c c1)
  90   | constructor 1;
  91      [ intros;
  92        apply (relation_pair_equality c c1 c2 c3);
  93      | intros 1; apply refl1;
  94      | intros 2; apply sym1;
  95      | intros 3; apply trans1]]
  96 qed.
  97
  98 definition rp'': ∀CS1,CS2.convergent_relation_space_setoid CS1 CS2 → arrows1 BP CS1 CS2 ≝
  99  λCS1,CS2,c.rp ?? c.
 100
 101 coercion rp''.
 102
 103 definition convergent_relation_space_composition:
 104  ∀o1,o2,o3: concrete_space.
 105   binary_morphism1
 106    (convergent_relation_space_setoid o1 o2)
 107    (convergent_relation_space_setoid o2 o3)
 108    (convergent_relation_space_setoid o1 o3).
 109  intros; constructor 1;
 110      [ intros; whd in c c1 ⊢ %;
 111        constructor 1;
 112         [ apply (fun1 ??? (comp1 BP ???)); [apply (bp o2) |*: apply rp; assumption]
 113         | intros;
 114           change in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?) ?) with (c1 \sub \c ∘ c \sub \c);
 115           change in ⊢ (? ? ? ? (? ? ? ? (? ? ? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?) ?)))
 116             with (c1 \sub \f ∘ c \sub \f);
 117           change in ⊢ (? ? ? ? (? ? ? ? (? ? ? ? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?))))
 118             with (c1 \sub \f ∘ c \sub \f);
 119           apply (.= (extS_com ??????));
 120           apply (.= (†(respects_converges ?????)));
 121           apply (.= (respects_converges ?????));
 122           apply (.= (†(((extS_com ??????) \sup -1)‡(extS_com ??????)\sup -1)));
 123           apply refl1;
 124         | change in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?) ?) with (c1 \sub \c ∘ c \sub \c);
 125           apply (.= (extS_com ??????));
 126           apply (.= (†(respects_all_covered ???)));
 127           apply (.= respects_all_covered ???);
 128           apply refl1]
 129      | intros;
 130        change with (b ∘ a = b' ∘ a');
 131        change in H with (rp'' ?? a = rp'' ?? a');
 132        change in H1 with (rp'' ?? b = rp ?? b');
 133        apply (.= (H‡H1));
 134        apply refl1]
 135 qed.
 136
 137 definition CSPA: category1.
 138  constructor 1;
 139   [ apply concrete_space
 140   | apply convergent_relation_space_setoid
 141   | intro; constructor 1;
 142      [ apply id1
 143      | intros;
 144        unfold id; simplify;
 145        apply (.= (equalset_extS_id_X_X ??));
 146        apply (.= (†((equalset_extS_id_X_X ??)\sup -1‡
 147                     (equalset_extS_id_X_X ??)\sup -1)));
 148        apply refl1;
 149      | apply (.= (equalset_extS_id_X_X ??));
 150        apply refl1]
 151   | apply convergent_relation_space_composition
 152   | intros; simplify;
 153     change with (a34 ∘ (a23 ∘ a12) = (a34 ∘ a23) ∘ a12);
 154     apply (.= ASSOC1);
 155     apply refl1
 156   | intros; simplify;
 157     change with (a ∘ id1 ? o1 = a);
 158     apply (.= id_neutral_right1 ????);
 159     apply refl1
 160   | intros; simplify;
 161     change with (id1 ? o2 ∘ a = a);
 162     apply (.= id_neutral_left1 ????);
 163     apply refl1]
 164 qed.