helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-concrete_spaces.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "o-basic_pairs.ma".
  16 include "o-saturations.ma".
  17
  18 definition A : ∀b:BP. unary_morphism1 (form b) (form b).
  19 intros; constructor 1;
  20  [ apply (λx.□_b (Ext⎽b x));
  21  | intros; apply  (†(†e));]
  22 qed.
  23
  24 lemma down_p : ∀S:SET1.∀I:SET.∀u:S⇒S.∀c:arrows2 SET1 I S.∀a:I.∀a':I.a=a'→u (c a)=u (c a').
  25 intros; apply (†(†e));
  26 qed.
  27
  28 record concrete_space : Type2 ≝
  29  { bp:> BP;
  30    (*distr : is_distributive (form bp);*)
  31    downarrow: unary_morphism1 (form bp) (form bp);
  32    downarrow_is_sat: is_o_saturation ? downarrow;
  33    converges: ∀q1,q2.
  34      (Ext⎽bp q1 ∧ (Ext⎽bp q2)) = (Ext⎽bp ((downarrow q1) ∧ (downarrow q2)));
  35    all_covered: Ext⎽bp (oa_one (form bp)) = oa_one (concr bp);
  36    il2: ∀I:SET.∀p:arrows2 SET1 I (form bp).
  37      downarrow (∨ { x ∈ I | downarrow (p x) | down_p ???? }) =
  38      ∨ { x ∈ I | downarrow (p x) | down_p ???? };
  39    il1: ∀q.downarrow (A ? q) = A ? q
  40  }.
  41
  42 interpretation "o-concrete space downarrow" 'downarrow x =
  43   (fun11 __ (downarrow _) x).
  44
  45 definition binary_downarrow :
  46   ∀C:concrete_space.binary_morphism1 (form C) (form C) (form C).
  47 intros; constructor 1;
  48 [ intros; apply (↓ c ∧ ↓ c1);
  49 | intros;
  50   alias symbol "prop2" = "prop21".
  51   alias symbol "prop1" = "prop11".
  52   apply ((†e)‡(†e1));]
  53 qed.
  54
  55 interpretation "concrete_space binary ↓" 'fintersects a b = (fun21 _ _ _ (binary_downarrow _) a b).
  56
  57 record convergent_relation_pair (CS1,CS2: concrete_space) : Type2 ≝
  58  { rp:> arrows2 ? CS1 CS2;
  59    respects_converges:
  60     ∀b,c. eq1 ? (rp\sub\c⎻ (Ext⎽CS2 (b ↓ c))) (Ext⎽CS1 (rp\sub\f⎻ b ↓ rp\sub\f⎻ c));
  61    respects_all_covered:
  62      eq1 ? (rp\sub\c⎻ (Ext⎽CS2 (oa_one (form CS2))))
  63            (Ext⎽CS1 (oa_one (form CS1)))
  64  }.
  65
  66 definition convergent_relation_space_setoid: concrete_space → concrete_space → setoid2.
  67  intros;
  68  constructor 1;
  69   [ apply (convergent_relation_pair c c1)
  70   | constructor 1;
  71      [ intros;
  72        apply (relation_pair_equality c c1 c2 c3);
  73      | intros 1; apply refl2;
  74      | intros 2; apply sym2;
  75      | intros 3; apply trans2]]
  76 qed.
  77
  78 definition convergent_relation_space_of_convergent_relation_space_setoid:
  79   ∀CS1,CS2.carr2 (convergent_relation_space_setoid CS1 CS2) →
  80     convergent_relation_pair CS1 CS2  ≝ λP,Q,c.c.
  81 coercion convergent_relation_space_of_convergent_relation_space_setoid.
  82
  83 definition convergent_relation_space_composition:
  84  ∀o1,o2,o3: concrete_space.
  85   binary_morphism2
  86    (convergent_relation_space_setoid o1 o2)
  87    (convergent_relation_space_setoid o2 o3)
  88    (convergent_relation_space_setoid o1 o3).
  89  intros; constructor 1;
  90      [ intros; whd in t t1 ⊢ %;
  91        constructor 1;
  92         [ apply (c1 ∘ c);
  93         | intros;
  94           change in ⊢ (? ? ? % ?) with (c\sub\c⎻ (c1\sub\c⎻ (Ext⎽o3 (b↓c2))));
  95           alias symbol "trans" = "trans1".
  96           apply (.= († (respects_converges : ?)));
  97           apply (respects_converges ?? c (c1\sub\f⎻ b) (c1\sub\f⎻ c2));
  98         | change in ⊢ (? ? ? % ?) with (c\sub\c⎻ (c1\sub\c⎻ (Ext⎽o3 (oa_one (form o3)))));
  99           apply (.= (†(respects_all_covered :?)));
 100           apply rule (respects_all_covered ?? c);]
 101      | intros;
 102        change with (b ∘ a = b' ∘ a');
 103        change in e with (rp ?? a = rp ?? a');
 104        change in e1 with (rp ?? b = rp ?? b');
 105        apply (e‡e1);]
 106 qed.
 107
 108 definition CSPA: category2.
 109  constructor 1;
 110   [ apply concrete_space
 111   | apply convergent_relation_space_setoid
 112   | intro; constructor 1;
 113      [ apply id2
 114      | intros; apply refl1;
 115      | apply refl1]
 116   | apply convergent_relation_space_composition
 117   | intros; simplify; whd in a12 a23 a34;
 118     change with (a34 ∘ (a23 ∘ a12) = (a34 ∘ a23) ∘ a12);
 119     apply rule ASSOC;
 120   | intros; simplify;
 121     change with (a ∘ id2 BP o1 = a);
 122     apply (id_neutral_right2 : ?);
 123   | intros; simplify;
 124     change with (id2 ? o2 ∘ a = a);
 125     apply (id_neutral_left2 : ?);]
 126 qed.
 127
 128 definition concrete_space_of_CSPA : objs2 CSPA → concrete_space ≝ λx.x.
 129 coercion concrete_space_of_CSPA.
 130
 131 definition convergent_relation_space_setoid_of_arrows2_CSPA :
 132  ∀P,Q. arrows2 CSPA P Q → convergent_relation_space_setoid P Q ≝ λP,Q,x.x.
 133 coercion convergent_relation_space_setoid_of_arrows2_CSPA.
 134