helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/o-concrete_spaces.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "o-basic_pairs.ma".
  16 include "o-saturations.ma".
  17
  18 notation "□ \sub b" non associative with precedence 90 for @{'box $b}.
  19 notation > "□_term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'box $b}.
  20 interpretation "Universal image ⊩⎻*" 'box x = (fun_1 _ _ (or_f_minus_star _ _) (rel x)).
  21
  22 notation "◊ \sub b" non associative with precedence 90 for @{'diamond $b}.
  23 notation > "◊_term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'diamond $b}.
  24 interpretation "Existential image ⊩" 'diamond x = (fun_1 _ _ (or_f _ _) (rel x)).
  25
  26 notation "'Rest' \sub b" non associative with precedence 90 for @{'rest $b}.
  27 notation > "'Rest'⎽term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'rest $b}.
  28 interpretation "Universal pre-image ⊩*" 'rest x = (fun_1 _ _ (or_f_star _ _) (rel x)).
  29
  30 notation "'Ext' \sub b" non associative with precedence 90 for @{'ext $b}.
  31 notation > "'Ext'⎽term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'ext $b}.
  32 interpretation "Existential pre-image ⊩⎻" 'ext x = (fun_1 _ _ (or_f_minus _ _) (rel x)).
  33
  34 lemma hint : ∀p,q.arrows1 OA p q → ORelation_setoid p q.
  35 intros; assumption;
  36 qed.
  37
  38 coercion hint nocomposites.
  39
  40 definition A : ∀b:BP. unary_morphism (oa_P (form b)) (oa_P (form b)).
  41 intros; constructor 1;
  42  [ apply (λx.□_b (Ext⎽b x));
  43  | do 2 unfold uncurry_arrows; intros; apply  (†(†H));]
  44 qed.
  45
  46 lemma xxx : ∀x.carr x → carr1 (setoid1_of_setoid x). intros; assumption; qed.
  47 coercion xxx nocomposites.
  48
  49 lemma down_p : ∀S,I:SET.∀u:S⇒S.∀c:arrows1 SET I S.∀a:I.∀a':I.a=a'→u (c a)=u (c a').
  50 intros; unfold uncurry_arrows; apply (†(†H));
  51 qed.
  52
  53 alias symbol "eq" = "setoid eq".
  54 alias symbol "and" = "o-algebra binary meet".
  55 record concrete_space : Type ≝
  56  { bp:> BP;
  57    (*distr : is_distributive (form bp);*)
  58    downarrow: unary_morphism (oa_P (form bp)) (oa_P (form bp));
  59    downarrow_is_sat: is_saturation ? downarrow;
  60    converges: ∀q1,q2.
  61      (Ext⎽bp q1 ∧ (Ext⎽bp q2)) = (Ext⎽bp ((downarrow q1) ∧ (downarrow q2)));
  62    all_covered: Ext⎽bp (oa_one (form bp)) = oa_one (concr bp);
  63    il2: ∀I:SET.∀p:arrows1 SET I (oa_P (form bp)).
  64      downarrow (∨ { x ∈ I | downarrow (p x) | down_p ???? }) =
  65      ∨ { x ∈ I | downarrow (p x) | down_p ???? };
  66    il1: ∀q.downarrow (A ? q) = A ? q
  67  }.
  68
  69 interpretation "o-concrete space downarrow" 'downarrow x =
  70   (fun_1 __ (downarrow _) x).
  71
  72 definition bp': concrete_space → basic_pair ≝ λc.bp c.
  73 coercion bp'.
  74
  75 lemma setoid_OF_OA : OA → setoid.
  76 intros; apply (oa_P o);
  77 qed.
  78
  79 coercion setoid_OF_OA.
  80
  81 definition binary_downarrow :
  82   ∀C:concrete_space.binary_morphism1 (form C) (form C) (form C).
  83 intros; constructor 1;
  84 [ intros; apply (↓ c ∧ ↓ c1);
  85 | intros; apply ((†H)‡(†H1));]
  86 qed.
  87
  88 record convergent_relation_pair (CS1,CS2: concrete_space) : Type ≝
  89  { rp:> arrows1 ? CS1 CS2;
  90    respects_converges:
  91     ∀b,c. (rp\sub\c)⎻ (Ext⎽CS2 (b ↓ c)) = ?(*
  92      extS ?? rp \sub\c (BPextS CS2 (b ↓ c)) =
  93      BPextS CS1 ((extS ?? rp \sub\f b) ↓ (extS ?? rp \sub\f c));
  94    respects_all_covered:
  95     extS ?? rp\sub\c (BPextS CS2 (form CS2)) = BPextS CS1 (form CS1)*)
  96  }.
  97
  98 definition rp' : ∀CS1,CS2. convergent_relation_pair CS1 CS2 → relation_pair CS1 CS2 ≝
  99  λCS1,CS2,c. rp CS1 CS2 c.
 100
 101 coercion rp'.
 102
 103 definition convergent_relation_space_setoid: concrete_space → concrete_space → setoid1.
 104  intros;
 105  constructor 1;
 106   [ apply (convergent_relation_pair c c1)
 107   | constructor 1;
 108      [ intros;
 109        apply (relation_pair_equality c c1 c2 c3);
 110      | intros 1; apply refl1;
 111      | intros 2; apply sym1;
 112      | intros 3; apply trans1]]
 113 qed.
 114
 115 definition rp'': ∀CS1,CS2.convergent_relation_space_setoid CS1 CS2 → arrows1 BP CS1 CS2 ≝
 116  λCS1,CS2,c.rp ?? c.
 117
 118 coercion rp''.
 119
 120 definition convergent_relation_space_composition:
 121  ∀o1,o2,o3: concrete_space.
 122   binary_morphism1
 123    (convergent_relation_space_setoid o1 o2)
 124    (convergent_relation_space_setoid o2 o3)
 125    (convergent_relation_space_setoid o1 o3).
 126  intros; constructor 1;
 127      [ intros; whd in c c1 ⊢ %;
 128        constructor 1;
 129         [ apply (fun1 ??? (comp1 BP ???)); [apply (bp o2) |*: apply rp; assumption]
 130         | intros;
 131           change in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?) ?) with (c1 \sub \c ∘ c \sub \c);
 132           change in ⊢ (? ? ? ? (? ? ? ? (? ? ? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?) ?)))
 133             with (c1 \sub \f ∘ c \sub \f);
 134           change in ⊢ (? ? ? ? (? ? ? ? (? ? ? ? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?))))
 135             with (c1 \sub \f ∘ c \sub \f);
 136           apply (.= (extS_com ??????));
 137           apply (.= (†(respects_converges ?????)));
 138           apply (.= (respects_converges ?????));
 139           apply (.= (†(((extS_com ??????) \sup -1)‡(extS_com ??????)\sup -1)));
 140           apply refl1;
 141         | change in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? ? ? %) ?) ?) with (c1 \sub \c ∘ c \sub \c);
 142           apply (.= (extS_com ??????));
 143           apply (.= (†(respects_all_covered ???)));
 144           apply (.= respects_all_covered ???);
 145           apply refl1]
 146      | intros;
 147        change with (b ∘ a = b' ∘ a');
 148        change in H with (rp'' ?? a = rp'' ?? a');
 149        change in H1 with (rp'' ?? b = rp ?? b');
 150        apply (.= (H‡H1));
 151        apply refl1]
 152 qed.
 153
 154 definition CSPA: category1.
 155  constructor 1;
 156   [ apply concrete_space
 157   | apply convergent_relation_space_setoid
 158   | intro; constructor 1;
 159      [ apply id1
 160      | intros;
 161        unfold id; simplify;
 162        apply (.= (equalset_extS_id_X_X ??));
 163        apply (.= (†((equalset_extS_id_X_X ??)\sup -1‡
 164                     (equalset_extS_id_X_X ??)\sup -1)));
 165        apply refl1;
 166      | apply (.= (equalset_extS_id_X_X ??));
 167        apply refl1]
 168   | apply convergent_relation_space_composition
 169   | intros; simplify;
 170     change with (a34 ∘ (a23 ∘ a12) = (a34 ∘ a23) ∘ a12);
 171     apply (.= ASSOC1);
 172     apply refl1
 173   | intros; simplify;
 174     change with (a ∘ id1 ? o1 = a);
 175     apply (.= id_neutral_right1 ????);
 176     apply refl1
 177   | intros; simplify;
 178     change with (id1 ? o2 ∘ a = a);
 179     apply (.= id_neutral_left1 ????);
 180     apply refl1]
 181 qed.