helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/r-o-basic_pairs.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_pairs_to_o-basic_pairs.ma".
  16 include "apply_functor.ma".
  17
  18 definition rOBP ≝ Apply (category2_of_category1 BP) OBP BP_to_OBP.
  19
  20 include "o-basic_pairs_to_o-basic_topologies.ma".
  21
  22 lemma rOR_full :
  23   ∀s,t:rOBP.∀f:arrows2 OBTop (OR (ℱ_2 s)) (OR (ℱ_2 t)).
  24     exT22 ? (λg:arrows2 rOBP s t.
  25        map_arrows2 ?? OR ?? (ℳ_2 g) = f).
  26 intros 2 (s t); cases s (s_2 s_1 s_eq); clear s;
  27 change in match (F2 ??? (mk_Fo ??????)) with s_2;
  28 cases s_eq; clear s_eq s_2;
  29 letin s1 ≝ (BP_to_OBP s_1); change in match (BP_to_OBP s_1) with s1;
  30 cases t (t_2 t_1 t_eq); clear t;
  31 change in match (F2 ??? (mk_Fo ??????)) with t_2;
  32 cases t_eq; clear t_eq t_2;
  33 letin t1 ≝ (BP_to_OBP t_1); change in match (BP_to_OBP t_1) with t1;
  34 whd in ⊢ (%→?); whd in ⊢ (? (? ? ? ? %) (? ? ? ? %)→?);
  35 intro; whd in s_1 t_1;
  36 letin R ≝ (? : (carr2 (arrows2 (category2_of_category1 BP) s_1 t_1)));
  37  [2:
  38    exists;
  39     [ constructor 1;
  40        [2: simplify; apply R;
  41        | simplify; apply (fun12 ?? (map_arrows2 ?? BP_to_OBP s_1 t_1)); apply R;
  42        | simplify; apply rule #; ]]
  43    simplify;
  44  | constructor 1;
  45     [2: constructor 1; constructor 1;
  46       [ intros (x y); apply (y ∈ f (singleton ? x));
  47       | apply hide; intros; unfold FunClass_1_OF_Ocontinuous_relation;
  48         unfold in ⊢ (? ? ? (? ? ? ? ? ? %) ?); apply (.= e1‡††e);
  49         apply rule #; ]
  50     |1: constructor 1; constructor 1;
  51       [ intros (x y); apply (y ∈ star_image ?? (⊩ \sub t_1) (f (image ?? (⊩ \sub s_1) (singleton ? x))));
  52       | apply hide; intros; unfold FunClass_1_OF_Ocontinuous_relation;
  53         unfold in ⊢ (? ? ? (? ? ? ? ? ? (? ? ? ? ? ? %)) ?);
  54         apply (.= e1‡(#‡†(#‡†e))); apply rule #; ]
  55     | whd; simplify; intros; simplify;
  56       whd in ⊢ (? % %); simplify in ⊢ (? % %);
  57       lapply (Oreduced ?? f (image (concr s_1) (form s_1) (⊩ \sub s_1) (singleton ? x)));
  58        [ cases Hletin; clear Hletin;
  59          lapply (s y); clear s;
  60 whd in Hletin:(? ? ? (? ? (? ? ? % ?)) ?); simplify in Hletin;
  61 whd in Hletin; simplify in Hletin;
  62          lapply (s1 y); clear s1;
  63      split; intros; simplify; whd in f1 ⊢ %; simplify in f1 ⊢ %;
  64       cases f1; clear f1; cases x1; clear x1;
  65        [
  66        | exists;
  67        ]
  68  ]
  69
  70 STOP;
  71
  72
  73 (* Todo: rename BTop → OBTop *)
  74
  75 (* scrivo gli statement qua cosi' verra' un conflitto :-)
  76
  77 1. definire il funtore OR
  78 2. dimostrare che ORel e' faithful
  79
  80 3. Definire la funzione
  81     Apply:
  82     ∀C1,C2: CAT2.  F: arrows3 CAT2 C1 C2 → CAT2
  83     ≝
  84      constructor 1;
  85       [ gli oggetti sono gli oggetti di C1 mappati da F
  86       | i morfismi i morfismi di C1 mappati da F
  87       | ....
  88       ]
  89
  90    E : objs CATS === Σx.∃y. F y = x
  91
  92    Quindi (Apply C1 C2 F) (che usando da ora in avanti una coercion
  93    scrivero' (F C1) ) e' l'immagine di C1 tramite F ed e'
  94    una sottocategoria di C2 (qualcosa da dimostare qui??? vedi sotto
  95    al punto 5)
  96
  97 4. Definire rOBP (le OBP rappresentabili) come (BP_to_OBP BP)
  98   [Si puo' fare lo stesso per le OA: rOA ≝ Rel_to_OA REL ]
  99
 100 5. Dimostrare che OR (il funtore faithful da OBP a OBTop) e' full
 101    quando applicato a rOBP.
 102    Nota: puo' darsi che faccia storie ad accettare lo statement.
 103    Infatti rOBP e' (BP_to_OBP BP) ed e' "una sottocategoria di OBP"
 104    e OR va da OBP a OBTop. Non so se tipa subito o se devi dare
 105    una "proiezione" da rOBP a OBP.
 106
 107 6. Definire rOBTop come (OBP_to_OBTop rOBP).
 108
 109 7. Per composizione si ha un funtore full and faithful da BP a rOBTop:
 110    basta prendere (OR ∘ BP_to_OBP).
 111
 112 8. Dimostrare (banale: quasi tutti i campi sono per conversione) che
 113    esiste un funtore da rOBTop a BTop. Dimostrare che tale funtore e'
 114    faithful e full (banale: tutta conversione).
 115
 116 9. Per composizione si ha un funtore full and faithful da BP a BTop.
 117
 118 10. Dimostrare che i seguenti funtori sono anche isomorphism-dense
 119     (http://planetmath.org/encyclopedia/DenseFunctor.html):
 120
 121     BP_to_OBP
 122     OBP_to_OBTop quando applicato alle rOBP
 123     OBTop_to_BTop quando applicato alle rOBTop
 124
 125     Concludere per composizione che anche il funtore da BP a BTop e'
 126     isomorphism-dense.
 127
 128 ====== Da qui in avanti non e' "necessario" nulla:
 129
 130 == altre cose mancanti
 131
 132 11. Dimostrare che le r* e le * orrizzontali
 133     sono isomorfe dando il funtore da r* a * e dimostrando che componendo i
 134     due funtori ottengo l'identita'
 135
 136 12. La definizione di r* fa schifo: in pratica dici solo come ottieni
 137     qualcosa, ma non come lo caratterizzeresti. Ora un teorema carino
 138     e' che una a* (e.g. una aOBP) e' sempre una rOBP dove "a" sta per
 139     atomic. Dimostrarlo per tutte le r*.
 140
 141 == categorish/future works
 142
 143 13. definire astrattamente la FG-completion e usare quella per
 144     ottenere le BP da Rel e le OBP da OA.
 145
 146 14. indebolire le OA, generalizzare le costruzioni, etc. come detto
 147     con Giovanni
 148
 149 *)
 150