helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/r-o-basic_pairs.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_pairs_to_o-basic_pairs.ma".
  16 include "apply_functor.ma".
  17
  18 definition rOBP ≝ Apply ?? BP_to_OBP.
  19
  20 include "o-basic_pairs_to_o-basic_topologies.ma".
  21
  22 lemma rOR_full :
  23   ∀s,t:rOBP.∀f:arrows2 OBTop (OR (ℱ_2 s)) (OR (ℱ_2 t)).
  24     exT22 ? (λg:arrows2 rOBP s t.
  25        map_arrows2 ?? OR ?? (ℳ_2 g) = f).
  26 intro; cases s (s_2 s_1 s_eq); clear s; cases s_eq; clear s_eq s_2;
  27 intro; cases t (t_2 t_1 t_eq); clear t; cases t_eq; clear t_eq t_2;
  28 whd in ⊢ (%→?); whd in ⊢ (? (? ? ? ? %) (? ? ? ? %)→?);
  29 intro; whd in s_1 t_1;
  30 letin y ≝ (f⎻* ); clearbody y;
  31  change in y with (carr2 (POW (form s_1) ⇒ POW (form t_1)));
  32 alias symbol "Vdash" = "basic pair relation for subsets (non applied)".
  33 letin z ≝ (image ?? (⊩ \sub s_1)); clearbody z;
  34 change in z with ((POW (concr s_1) → POW (form s_1)));
  35  (*change in z with (carr2 (POW (concr s_1) ⇒ POW (form s_1)));*)
  36
  37  letin R ≝ (y ∘ z);
  38
  39  letin R ≝ (f* );∘ (⊩ \sub s_1));
  40
  41
  42 whd in ⊢ (? % ?→?);
  43 whd in ⊢ (? % ?→?);  cases s_eq; intro; whd in f;
  44 simplify;
  45 intro; cases f (g H1 H2); clear f; exists;
  46  [ constructor 1;
  47     [
  48     | unfold F1; simplify;
  49     |
  50     ]
  51  |
  52  ]
  53
  54  cases f (h H1 H2); clear f; simplify;
  55 change in ⊢ (? ? (λg:?.? ? ? (? ? ? %) ?)) with
  56   (o_continuous_relation_of_o_relation_pair ?? (ℳ_2 g)).
  57
  58 STOP;
  59
  60
  61 (* Todo: rename BTop → OBTop *)
  62
  63 (* scrivo gli statement qua cosi' verra' un conflitto :-)
  64
  65 1. definire il funtore OR
  66 2. dimostrare che ORel e' faithful
  67
  68 3. Definire la funzione
  69     Apply:
  70      \forall C1,C2: CAT2.  F: arrows3 CAT2 C1 C2 -> CAT2
  71     :=
  72      constructor 1;
  73       [ gli oggetti sono gli oggetti di C1 mappati da F
  74       | i morfismi i morfismi di C1 mappati da F
  75       | ....
  76       ]
  77
  78    E : objs CATS === Σx.∃y. F y = x
  79
  80    Quindi (Apply C1 C2 F) (che usando da ora in avanti una coercion
  81    scrivero' (F C1) ) e' l'immagine di C1 tramite F ed e'
  82    una sottocategoria di C2 (qualcosa da dimostare qui??? vedi sotto
  83    al punto 5)
  84
  85 4. Definire rOBP (le OBP rappresentabili) come (BP_to_OBP BP)
  86   [Si puo' fare lo stesso per le OA: rOA := Rel_to_OA REL ]
  87
  88 5. Dimostrare che OR (il funtore faithful da OBP a OBTop) e' full
  89    quando applicato a rOBP.
  90    Nota: puo' darsi che faccia storie ad accettare lo statement.
  91    Infatti rOBP e' (BP_to_OBP BP) ed e' "una sottocategoria di OBP"
  92    e OR va da OBP a OBTop. Non so se tipa subito o se devi dare
  93    una "proiezione" da rOBP a OBP.
  94
  95 6. Definire rOBTop come (OBP_to_OBTop rOBP).
  96
  97 7. Per composizione si ha un funtore full and faithful da BP a rOBTop:
  98    basta prendere (OR \circ BP_to_OBP).
  99
 100 8. Dimostrare (banale: quasi tutti i campi sono per conversione) che
 101    esiste un funtore da rOBTop a BTop. Dimostrare che tale funtore e'
 102    faithful e full (banale: tutta conversione).
 103
 104 9. Per composizione si ha un funtore full and faithful da BP a BTop.
 105
 106 10. Dimostrare che i seguenti funtori sono anche isomorphism-dense
 107     (http://planetmath.org/encyclopedia/DenseFunctor.html):
 108
 109     BP_to_OBP
 110     OBP_to_OBTop quando applicato alle rOBP
 111     OBTop_to_BTop quando applicato alle rOBTop
 112
 113     Concludere per composizione che anche il funtore da BP a BTop e'
 114     isomorphism-dense.
 115
 116 ====== Da qui in avanti non e' "necessario" nulla:
 117
 118 == altre cose mancanti
 119
 120 11. Dimostrare che le r* e le * orrizzontali
 121     sono isomorfe dando il funtore da r* a * e dimostrando che componendo i
 122     due funtori ottengo l'identita'
 123
 124 12. La definizione di r* fa schifo: in pratica dici solo come ottieni
 125     qualcosa, ma non come lo caratterizzeresti. Ora un teorema carino
 126     e' che una a* (e.g. una aOBP) e' sempre una rOBP dove "a" sta per
 127     atomic. Dimostrarlo per tutte le r*.
 128
 129 == categorish/future works
 130
 131 13. definire astrattamente la FG-completion e usare quella per
 132     ottenere le BP da Rel e le OBP da OA.
 133
 134 14. indebolire le OA, generalizzare le costruzioni, etc. come detto
 135     con Giovanni
 136
 137 *)
 138