1 (**************************************************************************)
4 (* ||A|| A project by Andrea Asperti *)
6 (* ||I|| Developers: *)
7 (* ||T|| The HELM team. *)
8 (* ||A|| http://helm.cs.unibo.it *)
10 (* \ / This file is distributed under the terms of the *)
11 (* v GNU General Public License Version 2 *)
13 (**************************************************************************)
15 include "basic_pairs_to_o-basic_pairs.ma".
16 include "apply_functor.ma".
18 definition rOBP ≝ Apply ?? BP_to_OBP.
20 include "o-basic_pairs_to_o-basic_topologies.ma".
23 ∀s,t:rOBP.∀f:arrows2 OBTop (OR (ℱ_2 s)) (OR (ℱ_2 t)).
24 exT22 ? (λg:arrows2 rOBP s t.
25 map_arrows2 ?? OR ?? (ℳ_2 g) = f).
26 intro; cases s (s_2 s_1 s_eq); clear s; cases s_eq; clear s_eq s_2;
27 intro; cases t (t_2 t_1 t_eq); clear t; cases t_eq; clear t_eq t_2;
28 whd in ⊢ (%→?); whd in ⊢ (? (? ? ? ? %) (? ? ? ? %)→?);
29 intro; whd in s_1 t_1;
30 letin R ≝ (? : (carr2 (arrows2 (category2_of_category1 BP) s_1 t_1)));
34 [2: simplify; apply R;
35 | simplify; apply (fun12 ?? (map_arrows2 ?? BP_to_OBP s_1 t_1)); apply R;
36 | simplify; apply rule #; ]]
39 [2: constructor 1; constructor 1;
40 [ intros (x y); apply (y ∈ f (singleton ? x));
41 | apply hide; intros; unfold FunClass_1_OF_Ocontinuous_relation;
42 unfold in ⊢ (? ? ? (? ? ? ? ? ? %) ?); apply (.= e1‡††e);
44 |1: constructor 1; constructor 1;
45 [ intros (x y); apply (y ∈ star_image ?? (⊩ \sub t_1) (f (image ?? (⊩ \sub s_1) (singleton ? x))));
46 | apply hide; intros; unfold FunClass_1_OF_Ocontinuous_relation;
47 unfold in ⊢ (? ? ? (? ? ? ? ? ? (? ? ? ? ? ? %)) ?);
48 apply (.= e1‡(#‡†(#‡†e))); apply rule #; ]
49 | whd; simplify; intros; simplify;
50 whd in ⊢ (? % %); simplify in ⊢ (? % %);
51 lapply (Oreduced ?? f (image (concr s_1) (form s_1) (⊩ \sub s_1) (singleton ? x)));
52 [ whd in Hletin; simplify in Hletin; cases Hletin; clear Hletin;
53 lapply (s y); clear s;
54 whd in Hletin:(? ? ? (? ? (? ? ? % ?)) ?); simplify in Hletin;
55 whd in Hletin; simplify in Hletin;
56 lapply (s1 y); clear s1;
57 split; intros; simplify; whd in f1 ⊢ %; simplify in f1 ⊢ %;
58 cases f1; clear f1; cases x1; clear x1;
67 (* Todo: rename BTop → OBTop *)
69 (* scrivo gli statement qua cosi' verra' un conflitto :-)
71 1. definire il funtore OR
72 2. dimostrare che ORel e' faithful
74 3. Definire la funzione
76 \forall C1,C2: CAT2. F: arrows3 CAT2 C1 C2 -> CAT2
79 [ gli oggetti sono gli oggetti di C1 mappati da F
80 | i morfismi i morfismi di C1 mappati da F
84 E : objs CATS === Σx.∃y. F y = x
86 Quindi (Apply C1 C2 F) (che usando da ora in avanti una coercion
87 scrivero' (F C1) ) e' l'immagine di C1 tramite F ed e'
88 una sottocategoria di C2 (qualcosa da dimostare qui??? vedi sotto
91 4. Definire rOBP (le OBP rappresentabili) come (BP_to_OBP BP)
92 [Si puo' fare lo stesso per le OA: rOA := Rel_to_OA REL ]
94 5. Dimostrare che OR (il funtore faithful da OBP a OBTop) e' full
95 quando applicato a rOBP.
96 Nota: puo' darsi che faccia storie ad accettare lo statement.
97 Infatti rOBP e' (BP_to_OBP BP) ed e' "una sottocategoria di OBP"
98 e OR va da OBP a OBTop. Non so se tipa subito o se devi dare
99 una "proiezione" da rOBP a OBP.
101 6. Definire rOBTop come (OBP_to_OBTop rOBP).
103 7. Per composizione si ha un funtore full and faithful da BP a rOBTop:
104 basta prendere (OR \circ BP_to_OBP).
106 8. Dimostrare (banale: quasi tutti i campi sono per conversione) che
107 esiste un funtore da rOBTop a BTop. Dimostrare che tale funtore e'
108 faithful e full (banale: tutta conversione).
110 9. Per composizione si ha un funtore full and faithful da BP a BTop.
112 10. Dimostrare che i seguenti funtori sono anche isomorphism-dense
113 (http://planetmath.org/encyclopedia/DenseFunctor.html):
116 OBP_to_OBTop quando applicato alle rOBP
117 OBTop_to_BTop quando applicato alle rOBTop
119 Concludere per composizione che anche il funtore da BP a BTop e'
122 ====== Da qui in avanti non e' "necessario" nulla:
124 == altre cose mancanti
126 11. Dimostrare che le r* e le * orrizzontali
127 sono isomorfe dando il funtore da r* a * e dimostrando che componendo i
128 due funtori ottengo l'identita'
130 12. La definizione di r* fa schifo: in pratica dici solo come ottieni
131 qualcosa, ma non come lo caratterizzeresti. Ora un teorema carino
132 e' che una a* (e.g. una aOBP) e' sempre una rOBP dove "a" sta per
133 atomic. Dimostrarlo per tutte le r*.
135 == categorish/future works
137 13. definire astrattamente la FG-completion e usare quella per
138 ottenere le BP da Rel e le OBP da OA.
140 14. indebolire le OA, generalizzare le costruzioni, etc. come detto