helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/r-o-basic_pairs.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_pairs_to_o-basic_pairs.ma".
  16 include "apply_functor.ma".
  17
  18 definition rOBP ≝ Apply ?? BP_to_OBP.
  19
  20 include "o-basic_pairs_to_o-basic_topologies.ma".
  21
  22 lemma rOR_full :
  23   ∀s,t:rOBP.∀f:arrows2 OBTop (OR (ℱ_2 s)) (OR (ℱ_2 t)).
  24     exT22 ? (λg:arrows2 rOBP s t.
  25        map_arrows2 ?? OR ?? (ℳ_2 g) = f).
  26 intro; cases s (s_2 s_1 s_eq); clear s; cases s_eq; clear s_eq s_2;
  27 intro; cases t (t_2 t_1 t_eq); clear t; cases t_eq; clear t_eq t_2;
  28 whd in ⊢ (%→?); whd in ⊢ (? (? ? ? ? %) (? ? ? ? %)→?);
  29 intro; whd in s_1 t_1;
  30 letin R ≝ (? : (carr2 (arrows2 (category2_of_category1 BP) s_1 t_1)));
  31  [2:
  32    exists;
  33     [ constructor 1;
  34        [2: simplify; apply R;
  35        | simplify; apply (fun12 ?? (map_arrows2 ?? BP_to_OBP s_1 t_1)); apply R;
  36        | simplify; apply rule #; ]]
  37    simplify;
  38  | constructor 1;
  39     [2: constructor 1; constructor 1;
  40       [ intros (x y); apply (y ∈ f (singleton ? x));
  41       | intros; unfold FunClass_1_OF_Ocontinuous_relation;
  42         unfold in ⊢ (? ? ? (? ? ? ? ? ? %) ?); apply (.= e1‡††e);
  43         apply rule #; ]
  44     |1: constructor 1; constructor 1;
  45       [ intros (x y); apply (y ∈ star_image ?? (⊩ \sub t_1) (f (image ?? (⊩ \sub s_1) (singleton ? x))));
  46       | intros; unfold FunClass_1_OF_Ocontinuous_relation;
  47         unfold in ⊢ (? ? ? (? ? ? ? ? ? (? ? ? ? ? ? %)) ?);
  48         apply (.= e1‡(#‡†(#‡†e))); apply rule #; ]
  49     | whd; simplify; intros; split; intros; simplify; whd in f1 ⊢ %; simplify in f1 ⊢ %;
  50       cases f1; clear f1; cases x1; clear x1;
  51        [
  52        | exists;
  53        ]
  54  ]
  55
  56 STOP;
  57
  58
  59 (* Todo: rename BTop → OBTop *)
  60
  61 (* scrivo gli statement qua cosi' verra' un conflitto :-)
  62
  63 1. definire il funtore OR
  64 2. dimostrare che ORel e' faithful
  65
  66 3. Definire la funzione
  67     Apply:
  68      \forall C1,C2: CAT2.  F: arrows3 CAT2 C1 C2 -> CAT2
  69     :=
  70      constructor 1;
  71       [ gli oggetti sono gli oggetti di C1 mappati da F
  72       | i morfismi i morfismi di C1 mappati da F
  73       | ....
  74       ]
  75
  76    E : objs CATS === Σx.∃y. F y = x
  77
  78    Quindi (Apply C1 C2 F) (che usando da ora in avanti una coercion
  79    scrivero' (F C1) ) e' l'immagine di C1 tramite F ed e'
  80    una sottocategoria di C2 (qualcosa da dimostare qui??? vedi sotto
  81    al punto 5)
  82
  83 4. Definire rOBP (le OBP rappresentabili) come (BP_to_OBP BP)
  84   [Si puo' fare lo stesso per le OA: rOA := Rel_to_OA REL ]
  85
  86 5. Dimostrare che OR (il funtore faithful da OBP a OBTop) e' full
  87    quando applicato a rOBP.
  88    Nota: puo' darsi che faccia storie ad accettare lo statement.
  89    Infatti rOBP e' (BP_to_OBP BP) ed e' "una sottocategoria di OBP"
  90    e OR va da OBP a OBTop. Non so se tipa subito o se devi dare
  91    una "proiezione" da rOBP a OBP.
  92
  93 6. Definire rOBTop come (OBP_to_OBTop rOBP).
  94
  95 7. Per composizione si ha un funtore full and faithful da BP a rOBTop:
  96    basta prendere (OR \circ BP_to_OBP).
  97
  98 8. Dimostrare (banale: quasi tutti i campi sono per conversione) che
  99    esiste un funtore da rOBTop a BTop. Dimostrare che tale funtore e'
 100    faithful e full (banale: tutta conversione).
 101
 102 9. Per composizione si ha un funtore full and faithful da BP a BTop.
 103
 104 10. Dimostrare che i seguenti funtori sono anche isomorphism-dense
 105     (http://planetmath.org/encyclopedia/DenseFunctor.html):
 106
 107     BP_to_OBP
 108     OBP_to_OBTop quando applicato alle rOBP
 109     OBTop_to_BTop quando applicato alle rOBTop
 110
 111     Concludere per composizione che anche il funtore da BP a BTop e'
 112     isomorphism-dense.
 113
 114 ====== Da qui in avanti non e' "necessario" nulla:
 115
 116 == altre cose mancanti
 117
 118 11. Dimostrare che le r* e le * orrizzontali
 119     sono isomorfe dando il funtore da r* a * e dimostrando che componendo i
 120     due funtori ottengo l'identita'
 121
 122 12. La definizione di r* fa schifo: in pratica dici solo come ottieni
 123     qualcosa, ma non come lo caratterizzeresti. Ora un teorema carino
 124     e' che una a* (e.g. una aOBP) e' sempre una rOBP dove "a" sta per
 125     atomic. Dimostrarlo per tutte le r*.
 126
 127 == categorish/future works
 128
 129 13. definire astrattamente la FG-completion e usare quella per
 130     ottenere le BP da Rel e le OBP da OA.
 131
 132 14. indebolire le OA, generalizzare le costruzioni, etc. come detto
 133     con Giovanni
 134
 135 *)
 136