helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/relations.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "subsets.ma".
  16
  17 record binary_relation (A,B: SET) : Type1 ≝
  18  { satisfy:> binary_morphism1 A B CPROP }.
  19
  20 notation < "hvbox (x \nbsp \natur term 90 r \nbsp y)"  with precedence 45 for @{'satisfy $r $x $y}.
  21 notation > "hvbox (x \natur term 90 r y)"  with precedence 45 for @{'satisfy $r $x $y}.
  22 interpretation "relation applied" 'satisfy r x y = (fun21 ___ (satisfy __ r) x y).
  23
  24 definition binary_relation_setoid: SET → SET → SET1.
  25  intros (A B);
  26  constructor 1;
  27   [ apply (binary_relation A B)
  28   | constructor 1;
  29      [ apply (λA,B.λr,r': binary_relation A B. ∀x,y. r x y ↔ r' x y)
  30      | simplify; intros 3; split; intro; assumption
  31      | simplify; intros 5; split; intro;
  32        [ apply (fi ?? (H ??)) | apply (if ?? (H ??))] assumption
  33      | simplify;  intros 7; split; intro;
  34         [ apply (if ?? (H1 ??)) | apply (fi ?? (H ??)) ]
  35         [ apply (if ?? (H ??)) | apply (fi ?? (H1 ??)) ]
  36        assumption]]
  37 qed.
  38
  39 definition composition:
  40  ∀A,B,C.
  41   binary_morphism1 (binary_relation_setoid A B) (binary_relation_setoid B C) (binary_relation_setoid A C).
  42  intros;
  43  constructor 1;
  44   [ intros (R12 R23);
  45     constructor 1;
  46     constructor 1;
  47      [ alias symbol "and" = "and_morphism".
  48        (* carr to avoid universe inconsistency *)
  49        apply (λs1:carr A.λs3:carr C.∃s2:carr B. s1 ♮R12 s2 ∧ s2 ♮R23 s3);
  50      | intros;
  51        split; intro; cases H (w H3); clear H; exists; [1,3: apply w ]
  52         [ apply (. (e‡#)‡(#‡e1)); assumption
  53         | apply (. ((e \sup -1)‡#)‡(#‡(e1 \sup -1))); assumption]]
  54   | intros 8; split; intro H2; simplify in H2 ⊢ %;
  55     cases H2 (w H3); clear H2; exists [1,3: apply w] cases H3 (H2 H4); clear H3;
  56     [ lapply (if ?? (e x w) H2) | lapply (fi ?? (e x w) H2) ]
  57     [ lapply (if ?? (e1 w y) H4)| lapply (fi ?? (e1 w y) H4) ]
  58     exists; try assumption;
  59     split; assumption]
  60 qed.
  61 axiom daemon: False.
  62 definition REL: category1.
  63  constructor 1;
  64   [ apply setoid
  65   | intros (T T1); apply (binary_relation_setoid T T1)
  66   | intros; constructor 1;
  67     constructor 1; unfold setoid1_of_setoid; simplify;
  68      [ change with (carr o → carr o → CProp); intros; apply (eq1 ? c c1) ]] cases daemon; qed.
  69      | intros; split; intro;
  70         [ apply (.= (e ^ -1));
  71           apply (.= e2);
  72           apply e1
  73         | apply (.= e);
  74           apply (.= e2);
  75           apply (e1 ^ -1)]]
  76   | apply composition
  77   | intros 9;
  78     split; intro;
  79     cases f (w H); clear f; cases H; clear H;
  80     [cases f (w1 H); clear f | cases f1 (w1 H); clear f1]
  81     cases H; clear H;
  82     exists; try assumption;
  83     split; try assumption;
  84     exists; try assumption;
  85     split; assumption
  86   |6,7: intros 5; unfold composition; simplify; split; intro;
  87         unfold setoid1_of_setoid in x y; simplify in x y;
  88         [1,3: cases H (w H1); clear H; cases H1; clear H1; unfold;
  89           [ apply (. (e ^ -1 : eq1 ? w x)‡#); assumption
  90           | apply (. #‡(e : eq1 ? w y)); assumption]
  91         |2,4: exists; try assumption; split; first [apply refl1 | assumption]]]
  92 qed.
  93
  94 definition full_subset: ∀s:REL. Ω \sup s.
  95  apply (λs.{x | True});
  96  intros; simplify; split; intro; assumption.
  97 qed.
  98
  99 coercion full_subset.
 100
 101 definition setoid1_of_REL: REL → setoid ≝ λS. S.
 102
 103 coercion setoid1_of_REL.
 104
 105 definition comprehension: ∀b:REL. (b ⇒ CPROP) → Ω \sup b.
 106  apply (λb:REL. λP: b ⇒ CPROP. {x | x ∈ b ∧ P x});
 107  intros; simplify; apply (.= (H‡#)‡(†H)); apply refl1.
 108 qed.
 109
 110 interpretation "subset comprehension" 'comprehension s p =
 111  (comprehension s (mk_unary_morphism __ p _)).
 112
 113 definition ext: ∀X,S:REL. binary_morphism1 (arrows1 ? X S) S (Ω \sup X).
 114  apply (λX,S.mk_binary_morphism1 ??? (λr:arrows1 ? X S.λf:S.{x ∈ X | x ♮r f}) ?);
 115   [ intros; simplify; apply (.= (H‡#)); apply refl1
 116   | intros; simplify; split; intros; simplify; intros; cases f; split; try assumption;
 117      [ apply (. (#‡H1)); whd in H; apply (if ?? (H ??)); assumption
 118      | apply (. (#‡H1\sup -1)); whd in H; apply (fi ?? (H ??));assumption]]
 119 qed.
 120
 121 definition extS: ∀X,S:REL. ∀r: arrows1 ? X S. Ω \sup S ⇒ Ω \sup X.
 122  (* ∃ is not yet a morphism apply (λX,S,r,F.{x ∈ X | ∃a. a ∈ F ∧ x ♮r a});*)
 123  intros (X S r); constructor 1;
 124   [ intro F; constructor 1; constructor 1;
 125     [ apply (λx. x ∈ X ∧ ∃a:S. a ∈ F ∧ x ♮r a);
 126     | intros; split; intro; cases f (H1 H2); clear f; split;
 127        [ apply (. (H‡#)); assumption
 128        |3: apply (. (H\sup -1‡#)); assumption
 129        |2,4: cases H2 (w H3); exists; [1,3: apply w]
 130          [ apply (. (#‡(H‡#))); assumption
 131          | apply (. (#‡(H \sup -1‡#))); assumption]]]
 132   | intros; split; simplify; intros; cases f; cases H1; split;
 133      [1,3: assumption
 134      |2,4: exists; [1,3: apply w]
 135       [ apply (. (#‡H)‡#); assumption
 136       | apply (. (#‡H\sup -1)‡#); assumption]]]
 137 qed.
 138
 139 lemma equalset_extS_id_X_X: ∀o:REL.∀X.extS ?? (id1 ? o) X = X.
 140  intros;
 141  unfold extS; simplify;
 142  split; simplify;
 143   [ intros 2; change with (a ∈ X);
 144     cases f; clear f;
 145     cases H; clear H;
 146     cases x; clear x;
 147     change in f2 with (eq1 ? a w);
 148     apply (. (f2\sup -1‡#));
 149     assumption
 150   | intros 2; change in f with (a ∈ X);
 151     split;
 152      [ whd; exact I
 153      | exists; [ apply a ]
 154        split;
 155         [ assumption
 156         | change with (a = a); apply refl]]]
 157 qed.
 158
 159 lemma extS_com: ∀o1,o2,o3,c1,c2,S. extS o1 o3 (c2 ∘ c1) S = extS o1 o2 c1 (extS o2 o3 c2 S).
 160  intros; unfold extS; simplify; split; intros; simplify; intros;
 161   [ cases f (H1 H2); cases H2 (w H3); clear f H2; split; [assumption]
 162     cases H3 (H4 H5); cases H5 (w1 H6); clear H3 H5; cases H6 (H7 H8); clear H6;
 163     exists; [apply w1] split [2: assumption] constructor 1; [assumption]
 164     exists; [apply w] split; assumption
 165   | cases f (H1 H2); cases H2 (w H3); clear f H2; split; [assumption]
 166     cases H3 (H4 H5); cases H4 (w1 H6); clear H3 H4; cases H6 (w2 H7); clear H6;
 167     cases H7; clear H7; exists; [apply w2] split; [assumption] exists [apply w] split;
 168     assumption]
 169 qed.
 170
 171 (* the same as ⋄ for a basic pair *)
 172 definition image: ∀U,V:REL. binary_morphism1 (arrows1 ? U V) (Ω \sup U) (Ω \sup V).
 173  intros; constructor 1;
 174   [ apply (λr: arrows1 ? U V.λS: Ω \sup U. {y | ∃x:U. x ♮r y ∧ x ∈ S});
 175     intros; simplify; split; intro; cases H1; exists [1,3: apply w]
 176      [ apply (. (#‡H)‡#); assumption
 177      | apply (. (#‡H \sup -1)‡#); assumption]
 178   | intros; split; simplify; intros; cases H2; exists [1,3: apply w]
 179      [ apply (. #‡(#‡H1)); cases x; split; try assumption;
 180        apply (if ?? (H ??)); assumption
 181      | apply (. #‡(#‡H1 \sup -1)); cases x; split; try assumption;
 182        apply (if ?? (H \sup -1 ??)); assumption]]
 183 qed.
 184
 185 (* the same as □ for a basic pair *)
 186 definition minus_star_image: ∀U,V:REL. binary_morphism1 (arrows1 ? U V) (Ω \sup U) (Ω \sup V).
 187  intros; constructor 1;
 188   [ apply (λr: arrows1 ? U V.λS: Ω \sup U. {y | ∀x:U. x ♮r y → x ∈ S});
 189     intros; simplify; split; intros; apply H1;
 190      [ apply (. #‡H \sup -1); assumption
 191      | apply (. #‡H); assumption]
 192   | intros; split; simplify; intros; [ apply (. #‡H1); | apply (. #‡H1 \sup -1)]
 193     apply H2; [ apply (if ?? (H \sup -1 ??)); | apply (if ?? (H ??)) ] assumption]
 194 qed.
 195
 196 (* minus_image is the same as ext *)
 197
 198 theorem image_id: ∀o,U. image o o (id1 REL o) U = U.
 199  intros; unfold image; simplify; split; simplify; intros;
 200   [ change with (a ∈ U);
 201     cases H; cases x; change in f with (eq1 ? w a); apply (. f‡#); assumption
 202   | change in f with (a ∈ U);
 203     exists; [apply a] split; [ change with (a = a); apply refl | assumption]]
 204 qed.
 205
 206 theorem minus_star_image_id: ∀o,U. minus_star_image o o (id1 REL o) U = U.
 207  intros; unfold minus_star_image; simplify; split; simplify; intros;
 208   [ change with (a ∈ U); apply H; change with (a=a); apply refl
 209   | change in f1 with (eq1 ? x a); apply (. f1 \sup -1‡#); apply f]
 210 qed.
 211
 212 theorem image_comp: ∀A,B,C,r,s,X. image A C (r ∘ s) X = image B C r (image A B s X).
 213  intros; unfold image; simplify; split; simplify; intros; cases H; clear H; cases x;
 214  clear x; [ cases f; clear f; | cases f1; clear f1 ]
 215  exists; try assumption; cases x; clear x; split; try assumption;
 216  exists; try assumption; split; assumption.
 217 qed.
 218
 219 theorem minus_star_image_comp:
 220  ∀A,B,C,r,s,X.
 221   minus_star_image A C (r ∘ s) X = minus_star_image B C r (minus_star_image A B s X).
 222  intros; unfold minus_star_image; simplify; split; simplify; intros; whd; intros;
 223   [ apply H; exists; try assumption; split; assumption
 224   | change with (x ∈ X); cases f; cases x1; apply H; assumption]
 225 qed.
 226
 227 (*CSC: unused! *)
 228 theorem ext_comp:
 229  ∀o1,o2,o3: REL.
 230   ∀a: arrows1 ? o1 o2.
 231    ∀b: arrows1 ? o2 o3.
 232     ∀x. ext ?? (b∘a) x = extS ?? a (ext ?? b x).
 233  intros;
 234  unfold ext; unfold extS; simplify; split; intro; simplify; intros;
 235  cases f; clear f; split; try assumption;
 236   [ cases f2; clear f2; cases x1; clear x1; exists; [apply w] split;
 237      [1: split] assumption;
 238   | cases H; clear H; cases x1; clear x1; exists [apply w]; split;
 239      [2: cases f] assumption]
 240 qed.
 241
 242 theorem extS_singleton:
 243  ∀o1,o2.∀a:arrows1 ? o1 o2.∀x.extS o1 o2 a (singleton o2 x) = ext o1 o2 a x.
 244  intros; unfold extS; unfold ext; unfold singleton; simplify;
 245  split; intros 2; simplify; cases f; split; try assumption;
 246   [ cases H; cases x1; change in f2 with (eq1 ? x w); apply (. #‡f2 \sup -1);
 247     assumption
 248   | exists; try assumption; split; try assumption; change with (x = x); apply refl]
 249 qed.