helm/software/matita/contribs/formal_topology/overlap/relations.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "subsets.ma".
  16
  17 record binary_relation (A,B: SET) : Type1 ≝
  18  { satisfy:> binary_morphism1 A B CPROP }.
  19
  20 notation < "hvbox (x \nbsp \natur term 90 r \nbsp y)"  with precedence 45 for @{'satisfy $r $x $y}.
  21 notation > "hvbox (x \natur term 90 r y)"  with precedence 45 for @{'satisfy $r $x $y}.
  22 interpretation "relation applied" 'satisfy r x y = (fun21 ___ (satisfy __ r) x y).
  23
  24 definition binary_relation_setoid: SET → SET → SET1.
  25  intros (A B);
  26  constructor 1;
  27   [ apply (binary_relation A B)
  28   | constructor 1;
  29      [ apply (λA,B.λr,r': binary_relation A B. ∀x,y. r x y ↔ r' x y)
  30      | simplify; intros 3; split; intro; assumption
  31      | simplify; intros 5; split; intro;
  32        [ apply (fi ?? (f ??)) | apply (if ?? (f ??))] assumption
  33      | simplify;  intros 7; split; intro;
  34         [ apply (if ?? (f1 ??)) | apply (fi ?? (f ??)) ]
  35         [ apply (if ?? (f ??)) | apply (fi ?? (f1 ??)) ]
  36        assumption]]
  37 qed.
  38
  39 definition composition:
  40  ∀A,B,C.
  41   binary_morphism1 (binary_relation_setoid A B) (binary_relation_setoid B C) (binary_relation_setoid A C).
  42  intros;
  43  constructor 1;
  44   [ intros (R12 R23);
  45     constructor 1;
  46     constructor 1;
  47      [ alias symbol "and" = "and_morphism".
  48        (* carr to avoid universe inconsistency *)
  49        apply (λs1:carr A.λs3:carr C.∃s2:carr B. s1 ♮R12 s2 ∧ s2 ♮R23 s3);
  50      | intros;
  51        split; intro; cases e2 (w H3); clear e2; exists; [1,3: apply w ]
  52         [ apply (. (e‡#)‡(#‡e1)); assumption
  53         | apply (. ((e \sup -1)‡#)‡(#‡(e1 \sup -1))); assumption]]
  54   | intros 8; split; intro H2; simplify in H2 ⊢ %;
  55     cases H2 (w H3); clear H2; exists [1,3: apply w] cases H3 (H2 H4); clear H3;
  56     [ lapply (if ?? (e x w) H2) | lapply (fi ?? (e x w) H2) ]
  57     [ lapply (if ?? (e1 w y) H4)| lapply (fi ?? (e1 w y) H4) ]
  58     exists; try assumption;
  59     split; assumption]
  60 qed.
  61
  62 definition REL: category1.
  63  constructor 1;
  64   [ apply setoid
  65   | intros (T T1); apply (binary_relation_setoid T T1)
  66   | intros; constructor 1;
  67     constructor 1; unfold setoid1_of_setoid; simplify;
  68      [ (* changes required to avoid universe inconsistency *)
  69        change with (carr o → carr o → CProp); intros; apply (eq ? c c1)
  70      | intros; split; intro; change in a a' b b' with (carr o);
  71        change in e with (eq ? a a'); change in e1 with (eq ? b b');
  72         [ apply (.= (e ^ -1));
  73           apply (.= e2);
  74           apply e1
  75         | apply (.= e);
  76           apply (.= e2);
  77           apply (e1 ^ -1)]]
  78   | apply composition
  79   | intros 9;
  80     split; intro;
  81     cases f (w H); clear f; cases H; clear H;
  82     [cases f (w1 H); clear f | cases f1 (w1 H); clear f1]
  83     cases H; clear H;
  84     exists; try assumption;
  85     split; try assumption;
  86     exists; try assumption;
  87     split; assumption
  88   |6,7: intros 5; unfold composition; simplify; split; intro;
  89         unfold setoid1_of_setoid in x y; simplify in x y;
  90         [1,3: cases e (w H1); clear e; cases H1; clear H1; unfold;
  91           [ apply (. (e ^ -1 : eq1 ? w x)‡#); assumption
  92           | apply (. #‡(e : eq1 ? w y)); assumption]
  93         |2,4: exists; try assumption; split;
  94           (* change required to avoid universe inconsistency *)
  95           change in x with (carr o1); change in y with (carr o2);
  96           first [apply refl | assumption]]]
  97 qed.
  98
  99 (*
 100 definition full_subset: ∀s:REL. Ω \sup s.
 101  apply (λs.{x | True});
 102  intros; simplify; split; intro; assumption.
 103 qed.
 104
 105 coercion full_subset.
 106 *)
 107
 108 definition setoid1_of_REL: REL → setoid ≝ λS. S.
 109 coercion setoid1_of_REL.
 110
 111 lemma Type_OF_setoid1_of_REL: ∀o1:Type_OF_category1 REL. Type_OF_objs1 o1 → Type_OF_setoid1 ?(*(setoid1_of_SET o1)*).
 112  [ apply (setoid1_of_SET o1);
 113  | intros; apply t;]
 114 qed.
 115 coercion Type_OF_setoid1_of_REL.
 116
 117 (*
 118 definition comprehension: ∀b:REL. (b ⇒ CPROP) → Ω \sup b.
 119  apply (λb:REL. λP: b ⇒ CPROP. {x | x ∈ b ∧ P x});
 120  intros; simplify; apply (.= (H‡#)‡(†H)); apply refl1.
 121 qed.
 122
 123 interpretation "subset comprehension" 'comprehension s p =
 124  (comprehension s (mk_unary_morphism __ p _)).
 125
 126 definition ext: ∀X,S:REL. binary_morphism1 (arrows1 ? X S) S (Ω \sup X).
 127  apply (λX,S.mk_binary_morphism1 ??? (λr:arrows1 ? X S.λf:S.{x ∈ X | x ♮r f}) ?);
 128   [ intros; simplify; apply (.= (H‡#)); apply refl1
 129   | intros; simplify; split; intros; simplify; intros; cases f; split; try assumption;
 130      [ apply (. (#‡H1)); whd in H; apply (if ?? (H ??)); assumption
 131      | apply (. (#‡H1\sup -1)); whd in H; apply (fi ?? (H ??));assumption]]
 132 qed.
 133
 134 definition extS: ∀X,S:REL. ∀r: arrows1 ? X S. Ω \sup S ⇒ Ω \sup X.
 135  (* ∃ is not yet a morphism apply (λX,S,r,F.{x ∈ X | ∃a. a ∈ F ∧ x ♮r a});*)
 136  intros (X S r); constructor 1;
 137   [ intro F; constructor 1; constructor 1;
 138     [ apply (λx. x ∈ X ∧ ∃a:S. a ∈ F ∧ x ♮r a);
 139     | intros; split; intro; cases f (H1 H2); clear f; split;
 140        [ apply (. (H‡#)); assumption
 141        |3: apply (. (H\sup -1‡#)); assumption
 142        |2,4: cases H2 (w H3); exists; [1,3: apply w]
 143          [ apply (. (#‡(H‡#))); assumption
 144          | apply (. (#‡(H \sup -1‡#))); assumption]]]
 145   | intros; split; simplify; intros; cases f; cases H1; split;
 146      [1,3: assumption
 147      |2,4: exists; [1,3: apply w]
 148       [ apply (. (#‡H)‡#); assumption
 149       | apply (. (#‡H\sup -1)‡#); assumption]]]
 150 qed.
 151
 152 lemma equalset_extS_id_X_X: ∀o:REL.∀X.extS ?? (id1 ? o) X = X.
 153  intros;
 154  unfold extS; simplify;
 155  split; simplify;
 156   [ intros 2; change with (a ∈ X);
 157     cases f; clear f;
 158     cases H; clear H;
 159     cases x; clear x;
 160     change in f2 with (eq1 ? a w);
 161     apply (. (f2\sup -1‡#));
 162     assumption
 163   | intros 2; change in f with (a ∈ X);
 164     split;
 165      [ whd; exact I
 166      | exists; [ apply a ]
 167        split;
 168         [ assumption
 169         | change with (a = a); apply refl]]]
 170 qed.
 171
 172 lemma extS_com: ∀o1,o2,o3,c1,c2,S. extS o1 o3 (c2 ∘ c1) S = extS o1 o2 c1 (extS o2 o3 c2 S).
 173  intros; unfold extS; simplify; split; intros; simplify; intros;
 174   [ cases f (H1 H2); cases H2 (w H3); clear f H2; split; [assumption]
 175     cases H3 (H4 H5); cases H5 (w1 H6); clear H3 H5; cases H6 (H7 H8); clear H6;
 176     exists; [apply w1] split [2: assumption] constructor 1; [assumption]
 177     exists; [apply w] split; assumption
 178   | cases f (H1 H2); cases H2 (w H3); clear f H2; split; [assumption]
 179     cases H3 (H4 H5); cases H4 (w1 H6); clear H3 H4; cases H6 (w2 H7); clear H6;
 180     cases H7; clear H7; exists; [apply w2] split; [assumption] exists [apply w] split;
 181     assumption]
 182 qed.
 183 *)
 184
 185 (* the same as ⋄ for a basic pair *)
 186 definition image: ∀U,V:REL. binary_morphism1 (arrows1 ? U V) (Ω \sup U) (Ω \sup V).
 187  intros; constructor 1;
 188   [ apply (λr: arrows1 ? U V.λS: Ω \sup U. {y | ∃x:carr U. x ♮r y ∧ x ∈ S });
 189     intros; simplify; split; intro; cases e1; exists [1,3: apply w]
 190      [ apply (. (#‡e)‡#); assumption
 191      | apply (. (#‡e ^ -1)‡#); assumption]
 192   | intros; split; simplify; intros; cases e2; exists [1,3: apply w]
 193      [ apply (. #‡(#‡e1)); cases x; split; try assumption;
 194        apply (if ?? (e ??)); assumption
 195      | apply (. #‡(#‡e1 ^ -1)); cases x; split; try assumption;
 196        apply (if ?? (e ^ -1 ??)); assumption]]
 197 qed.
 198
 199 (* the same as □ for a basic pair *)
 200 definition minus_star_image: ∀U,V:REL. binary_morphism1 (arrows1 ? U V) (Ω \sup U) (Ω \sup V).
 201  intros; constructor 1;
 202   [ apply (λr: arrows1 ? U V.λS: Ω \sup U. {y | ∀x:carr U. x ♮r y → x ∈ S});
 203     intros; simplify; split; intros; apply f;
 204      [ apply (. #‡e ^ -1); assumption
 205      | apply (. #‡e); assumption]
 206   | intros; split; simplify; intros; [ apply (. #‡e1); | apply (. #‡e1 ^ -1)]
 207     apply f; [ apply (if ?? (e ^ -1 ??)); | apply (if ?? (e ??)) ] assumption]
 208 qed.
 209
 210 (* the same as Rest for a basic pair *)
 211 definition star_image: ∀U,V:REL. binary_morphism1 (arrows1 ? U V) (Ω \sup V) (Ω \sup U).
 212  intros; constructor 1;
 213   [ apply (λr: arrows1 ? U V.λS: Ω \sup V. {x | ∀y:carr V. x ♮r y → y ∈ S});
 214     intros; simplify; split; intros; apply f;
 215      [ apply (. e ^ -1‡#); assumption
 216      | apply (. e‡#); assumption]
 217   | intros; split; simplify; intros; [ apply (. #‡e1); | apply (. #‡e1 ^ -1)]
 218     apply f; [ apply (if ?? (e ^ -1 ??)); | apply (if ?? (e ??)) ] assumption]
 219 qed.
 220
 221 (* the same as Ext for a basic pair *)
 222 definition minus_image: ∀U,V:REL. binary_morphism1 (arrows1 ? U V) (Ω \sup V) (Ω \sup U).
 223  intros; constructor 1;
 224   [ apply (λr: arrows1 ? U V.λS: Ω \sup V. {x | (*∃x:U. x ♮r y ∧ x ∈ S*)
 225       exT ? (λy:carr V.x ♮r y ∧ y ∈ S) });
 226     intros; simplify; split; intro; cases e1; exists [1,3: apply w]
 227      [ apply (. (e‡#)‡#); assumption
 228      | apply (. (e ^ -1‡#)‡#); assumption]
 229   | intros; split; simplify; intros; cases e2; exists [1,3: apply w]
 230      [ apply (. #‡(#‡e1)); cases x; split; try assumption;
 231        apply (if ?? (e ??)); assumption
 232      | apply (. #‡(#‡e1 ^ -1)); cases x; split; try assumption;
 233        apply (if ?? (e ^ -1 ??)); assumption]]
 234 qed.
 235
 236 (*
 237 (* minus_image is the same as ext *)
 238
 239 theorem image_id: ∀o,U. image o o (id1 REL o) U = U.
 240  intros; unfold image; simplify; split; simplify; intros;
 241   [ change with (a ∈ U);
 242     cases H; cases x; change in f with (eq1 ? w a); apply (. f‡#); assumption
 243   | change in f with (a ∈ U);
 244     exists; [apply a] split; [ change with (a = a); apply refl | assumption]]
 245 qed.
 246
 247 theorem minus_star_image_id: ∀o,U. minus_star_image o o (id1 REL o) U = U.
 248  intros; unfold minus_star_image; simplify; split; simplify; intros;
 249   [ change with (a ∈ U); apply H; change with (a=a); apply refl
 250   | change in f1 with (eq1 ? x a); apply (. f1 \sup -1‡#); apply f]
 251 qed.
 252
 253 theorem image_comp: ∀A,B,C,r,s,X. image A C (r ∘ s) X = image B C r (image A B s X).
 254  intros; unfold image; simplify; split; simplify; intros; cases H; clear H; cases x;
 255  clear x; [ cases f; clear f; | cases f1; clear f1 ]
 256  exists; try assumption; cases x; clear x; split; try assumption;
 257  exists; try assumption; split; assumption.
 258 qed.
 259
 260 theorem minus_star_image_comp:
 261  ∀A,B,C,r,s,X.
 262   minus_star_image A C (r ∘ s) X = minus_star_image B C r (minus_star_image A B s X).
 263  intros; unfold minus_star_image; simplify; split; simplify; intros; whd; intros;
 264   [ apply H; exists; try assumption; split; assumption
 265   | change with (x ∈ X); cases f; cases x1; apply H; assumption]
 266 qed.
 267
 268 (*CSC: unused! *)
 269 theorem ext_comp:
 270  ∀o1,o2,o3: REL.
 271   ∀a: arrows1 ? o1 o2.
 272    ∀b: arrows1 ? o2 o3.
 273     ∀x. ext ?? (b∘a) x = extS ?? a (ext ?? b x).
 274  intros;
 275  unfold ext; unfold extS; simplify; split; intro; simplify; intros;
 276  cases f; clear f; split; try assumption;
 277   [ cases f2; clear f2; cases x1; clear x1; exists; [apply w] split;
 278      [1: split] assumption;
 279   | cases H; clear H; cases x1; clear x1; exists [apply w]; split;
 280      [2: cases f] assumption]
 281 qed.
 282
 283 theorem extS_singleton:
 284  ∀o1,o2.∀a:arrows1 ? o1 o2.∀x.extS o1 o2 a (singleton o2 x) = ext o1 o2 a x.
 285  intros; unfold extS; unfold ext; unfold singleton; simplify;
 286  split; intros 2; simplify; cases f; split; try assumption;
 287   [ cases H; cases x1; change in f2 with (eq1 ? x w); apply (. #‡f2 \sup -1);
 288     assumption
 289   | exists; try assumption; split; try assumption; change with (x = x); apply refl]
 290 qed.
 291 *)
 292
 293 include "o-algebra.ma".
 294
 295 definition orelation_of_relation: ∀o1,o2:REL. arrows1 ? o1 o2 → arrows2 OA (SUBSETS o1) (SUBSETS o2).
 296  intros;
 297  constructor 1;
 298   [ constructor 1;
 299      [ apply (λU.image ?? t U);
 300      | intros; apply (#‡e); ]
 301   | constructor 1;
 302      [ apply (λU.minus_star_image ?? t U);
 303      | intros; apply (#‡e); ]
 304   | constructor 1;
 305      [ apply (λU.star_image ?? t U);
 306      | intros; apply (#‡e); ]
 307   | constructor 1;
 308      [ apply (λU.minus_image ?? t U);
 309      | intros; apply (#‡e); ]
 310   | intros; split; intro;
 311      [ change in f with (∀a. a ∈ image ?? t p → a ∈ q);
 312        change with (∀a:o1. a ∈ p → a ∈ star_image ?? t q);
 313        intros 4; apply f; exists; [apply a] split; assumption;
 314      | change in f with (∀a:o1. a ∈ p → a ∈ star_image ?? t q);
 315        change with (∀a. a ∈ image ?? t p → a ∈ q);
 316        intros; cases f1; cases x; clear f1 x; apply (f ? f3); assumption; ]
 317   | intros; split; intro;
 318      [ change in f with (∀a. a ∈ minus_image ?? t p → a ∈ q);
 319        change with (∀a:o2. a ∈ p → a ∈ minus_star_image ?? t q);
 320        intros 4; apply f; exists; [apply a] split; assumption;
 321      | change in f with (∀a:o2. a ∈ p → a ∈ minus_star_image ?? t q);
 322        change with (∀a. a ∈ minus_image ?? t p → a ∈ q);
 323        intros; cases f1; cases x; clear f1 x; apply (f ? f3); assumption; ]
 324   | intros; split; intro; cases f; clear f;
 325      [ cases x; cases x2; clear x x2; exists; [apply w1]
 326         [ assumption;
 327         | exists; [apply w] split; assumption]
 328      | cases x1; cases x2; clear x1 x2; exists; [apply w1]
 329         [ exists; [apply w] split; assumption;
 330         | assumption; ]]]
 331 qed.
 332
 333 lemma orelation_of_relation_preserves_equality:
 334  ∀o1,o2:REL.∀t,t': arrows1 ? o1 o2. eq1 ? t t' → orelation_of_relation ?? t = orelation_of_relation ?? t'.
 335  intros; split; unfold orelation_of_relation; simplify; intro; split; intro;
 336  simplify; whd in o1 o2;
 337   [ change with (a1 ∈ minus_star_image ?? t a → a1 ∈ minus_star_image ?? t' a);
 338     apply (. #‡(e‡#));
 339   | change with (a1 ∈ minus_star_image ?? t' a → a1 ∈ minus_star_image ?? t a);
 340     apply (. #‡(e ^ -1‡#));
 341   | change with (a1 ∈ minus_image ?? t a → a1 ∈ minus_image ?? t' a);
 342     apply (. #‡(e‡#));
 343   | change with (a1 ∈ minus_image ?? t' a → a1 ∈ minus_image ?? t a);
 344     apply (. #‡(e ^ -1‡#));
 345   | change with (a1 ∈ image ?? t a → a1 ∈ image ?? t' a);
 346     apply (. #‡(e‡#));
 347   | change with (a1 ∈ image ?? t' a → a1 ∈ image ?? t a);
 348     apply (. #‡(e ^ -1‡#));
 349   | change with (a1 ∈ star_image ?? t a → a1 ∈ star_image ?? t' a);
 350     apply (. #‡(e‡#));
 351   | change with (a1 ∈ star_image ?? t' a → a1 ∈ star_image ?? t a);
 352     apply (. #‡(e ^ -1‡#)); ]
 353 qed.
 354
 355 lemma hint: ∀o1,o2:OA. Type_OF_setoid2 (arrows2 ? o1 o2) → carr2 (arrows2 OA o1 o2).
 356  intros; apply t;
 357 qed.
 358 coercion hint.
 359
 360 lemma orelation_of_relation_preserves_identity:
 361  ∀o1:REL. orelation_of_relation ?? (id1 ? o1) = id2 OA (SUBSETS o1).
 362  intros; split; intro; split; whd; intro;
 363   [ change with ((∀x. x ♮(id1 REL o1) a1→x∈a) → a1 ∈ a); intros;
 364     apply (f a1); change with (a1 = a1); apply refl1;
 365   | change with (a1 ∈ a → ∀x. x ♮(id1 REL o1) a1→x∈a); intros;
 366     change in f1 with (x = a1); apply (. f1 ^ -1‡#); apply f;
 367   | alias symbol "and" = "and_morphism".
 368     change with ((∃y: carr o1.a1 ♮(id1 REL o1) y ∧ y∈a) → a1 ∈ a);
 369     intro; cases e; clear e; cases x; clear x; change in f with (a1=w);
 370     apply (. f^-1‡#); apply f1;
 371   | change with (a1 ∈ a → ∃y: carr o1.a1 ♮(id1 REL o1) y ∧ y∈a);
 372     intro; exists; [apply a1]; split; [ change with (a1=a1); apply refl1; | apply f]
 373   | change with ((∃x: carr o1.x ♮(id1 REL o1) a1∧x∈a) → a1 ∈ a);
 374     intro; cases e; clear e; cases x; clear x; change in f with (w=a1);
 375     apply (. f‡#); apply f1;
 376   | change with (a1 ∈ a → ∃x: carr o1.x ♮(id1 REL o1) a1∧x∈a);
 377     intro; exists; [apply a1]; split; [ change with (a1=a1); apply refl1; | apply f]
 378   | change with ((∀y.a1 ♮(id1 REL o1) y→y∈a) → a1 ∈ a); intros;
 379     apply (f a1); change with (a1 = a1); apply refl1;
 380   | change with (a1 ∈ a → ∀y.a1 ♮(id1 REL o1) y→y∈a); intros;
 381     change in f1 with (a1 = y); apply (. f1‡#); apply f;]
 382 qed.
 383
 384 lemma hint2: ∀S,T. carr2 (arrows2 OA S T) → Type_OF_setoid2 (arrows2 OA S T).
 385  intros; apply c;
 386 qed.
 387 coercion hint2.
 388
 389 (* CSC: ???? forse un uncertain mancato *)
 390 lemma orelation_of_relation_preserves_composition:
 391  ∀o1,o2,o3:REL.∀F: arrows1 ? o1 o2.∀G: arrows1 ? o2 o3.
 392   orelation_of_relation ?? (G ∘ F) =
 393    comp2 OA (SUBSETS o1) (SUBSETS o2) (SUBSETS o3)
 394     ?? (*(orelation_of_relation ?? F) (orelation_of_relation ?? G)*).
 395  [ apply (orelation_of_relation ?? F); | apply (orelation_of_relation ?? G); ]
 396  intros; split; intro; split; whd; intro; whd in ⊢ (% → %); intros;
 397   [ whd; intros; apply f; exists; [ apply x] split; assumption;
 398   | cases f1; clear f1; cases x1; clear x1; apply (f w); assumption;
 399   | cases e; cases x; cases f; cases x1; clear e x f x1; exists; [ apply w1 ]
 400     split; [ assumption | exists; [apply w] split; assumption ]
 401   | cases e; cases x; cases f1; cases x1; clear e x f1 x1; exists; [apply w1 ]
 402     split; [ exists; [apply w] split; assumption | assumption ]
 403   | cases e; cases x; cases f; cases x1; clear e x f x1; exists; [ apply w1 ]
 404     split; [ assumption | exists; [apply w] split; assumption ]
 405   | cases e; cases x; cases f1; cases x1; clear e x f1 x1; exists; [apply w1 ]
 406     split; [ exists; [apply w] split; assumption | assumption ]
 407   | whd; intros; apply f; exists; [ apply y] split; assumption;
 408   | cases f1; clear f1; cases x; clear x; apply (f w); assumption;]
 409 qed.