helm/software/matita/contribs/ng_assembly/common/nat.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* ********************************************************************** *)
  16 (*                          Progetto FreeScale                            *)
  17 (*                                                                        *)
  18 (*   Sviluppato da: Cosimo Oliboni, oliboni@cs.unibo.it                   *)
  19 (*     Cosimo Oliboni, oliboni@cs.unibo.it                                *)
  20 (*                                                                        *)
  21 (* ********************************************************************** *)
  22
  23 include "num/bool.ma".
  24
  25 (* ******** *)
  26 (* NATURALI *)
  27 (* ******** *)
  28
  29 inductive nat : Type ≝
  30   O : nat
  31 | S : nat → nat.
  32
  33 interpretation "Natural numbers" 'N = nat.
  34
  35 default "natural numbers" cic:/matita/common/nat/nat.ind.
  36
  37 alias num (instance 0) = "natural number".
  38
  39 nlet rec eq_nat (n1,n2:nat) on n1 ≝
  40  match n1 with
  41   [ O ⇒ match n2 with [ O ⇒ true | S _ ⇒ false ]
  42   | S n1' ⇒ match n2 with [ O ⇒ false | S n2' ⇒ eq_nat n1' n2' ]
  43   ].
  44
  45 nlet rec le_nat n m ≝
  46  match n with
  47   [ O ⇒ true
  48   | (S p) ⇒ match m with
  49    [ O ⇒ false | (S q) ⇒ le_nat p q ]
  50   ].
  51
  52 nlet rec plus (n1,n2:nat) on n1 ≝
  53  match n1 with
  54   [ O ⇒ n2
  55   | (S n1') ⇒ S (plus n1' n2) ].
  56
  57 interpretation "natural plus" 'plus x y = (plus x y).
  58
  59 nlet rec times (n1,n2:nat) on n1 ≝
  60  match n1 with
  61   [ O ⇒ O
  62   | (S n1') ⇒ n2 + (times n1' n2) ].
  63
  64 interpretation "natural times" 'times x y = (times x y).
  65
  66 nlet rec minus n m ≝
  67  match n with
  68  [ O ⇒ O
  69  | (S p) ⇒
  70         match m with
  71         [O ⇒ (S p)
  72   | (S q) ⇒ minus p q ]].
  73
  74 interpretation "natural minus" 'minus x y = (minus x y).
  75
  76 nlet rec div_aux p m n : nat ≝
  77 match (le_nat m n) with
  78 [ true ⇒ O
  79 | false ⇒
  80   match p with
  81   [ O ⇒ O
  82   | (S q) ⇒ S (div_aux q (m-(S n)) n)]].
  83
  84 ndefinition div : nat → nat → nat ≝
  85 λn,m.match m with
  86  [ O ⇒ S n
  87  | (S p) ⇒ div_aux n n p].
  88
  89 interpretation "natural divide" 'divide x y = (div x y).