helm/software/matita/contribs/ng_assembly/freescale/nat.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* ********************************************************************** *)
  16 (*                          Progetto FreeScale                            *)
  17 (*                                                                        *)
  18 (*   Sviluppato da: Cosimo Oliboni, oliboni@cs.unibo.it                   *)
  19 (*     Cosimo Oliboni, oliboni@cs.unibo.it                                *)
  20 (*                                                                        *)
  21 (* ********************************************************************** *)
  22
  23 include "freescale/pts.ma".
  24 include "freescale/bool.ma".
  25
  26 (* ******** *)
  27 (* NATURALI *)
  28 (* ******** *)
  29
  30 inductive nat : Type ≝
  31   O : nat
  32 | S : nat → nat.
  33
  34 interpretation "Natural numbers" 'N = nat.
  35
  36 default "natural numbers" cic:/matita/freescale/nat/nat.ind.
  37
  38 alias num (instance 0) = "natural number".
  39
  40 nlet rec eq_nat (n1,n2:nat) on n1 ≝
  41  match n1 with
  42   [ O ⇒ match n2 with [ O ⇒ true | S _ ⇒ false ]
  43   | S n1' ⇒ match n2 with [ O ⇒ false | S n2' ⇒ eq_nat n1' n2' ]
  44   ].
  45
  46 nlet rec le_nat n m ≝
  47  match n with
  48   [ O ⇒ true
  49   | (S p) ⇒ match m with
  50    [ O ⇒ false | (S q) ⇒ le_nat p q ]
  51   ].
  52
  53 nlet rec plus (n1,n2:nat) on n1 ≝
  54  match n1 with
  55   [ O ⇒ n2
  56   | (S n1') ⇒ S (plus n1' n2) ].
  57
  58 interpretation "natural plus" 'plus x y = (plus x y).
  59
  60 nlet rec times (n1,n2:nat) on n1 ≝
  61  match n1 with
  62   [ O ⇒ O
  63   | (S n1') ⇒ n2 + (times n1' n2) ].
  64
  65 interpretation "natural times" 'times x y = (times x y).
  66
  67 nlet rec minus n m ≝
  68  match n with
  69  [ O ⇒ O
  70  | (S p) ⇒
  71         match m with
  72         [O ⇒ (S p)
  73   | (S q) ⇒ minus p q ]].
  74
  75 interpretation "natural minus" 'minus x y = (minus x y).
  76
  77 nlet rec div_aux p m n : nat ≝
  78 match (le_nat m n) with
  79 [ true ⇒ O
  80 | false ⇒
  81   match p with
  82   [ O ⇒ O
  83   | (S q) ⇒ S (div_aux q (m-(S n)) n)]].
  84
  85 ndefinition div : nat → nat → nat ≝
  86 λn,m.match m with
  87  [ O ⇒ S n
  88  | (S p) ⇒ div_aux n n p].
  89
  90 interpretation "natural divide" 'divide x y = (div x y).