helm/software/matita/contribs/ng_assembly/freescale/nat.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* ********************************************************************** *)
  16 (*                          Progetto FreeScale                            *)
  17 (*                                                                        *)
  18 (*   Sviluppato da: Cosimo Oliboni, oliboni@cs.unibo.it                   *)
  19 (*     Cosimo Oliboni, oliboni@cs.unibo.it                                *)
  20 (*                                                                        *)
  21 (* ********************************************************************** *)
  22
  23 include "freescale/pts.ma".
  24 include "freescale/bool.ma".
  25
  26 (* ******** *)
  27 (* NATURALI *)
  28 (* ******** *)
  29
  30 inductive nat : Type ≝
  31   O : nat
  32 | S : nat → nat.
  33
  34 interpretation "Natural numbers" 'N = nat.
  35
  36 default "natural numbers" cic:/matita/freescale/nat/nat.ind.
  37
  38 alias num (instance 0) = "natural number".
  39
  40 nlet rec nat_ind (P:nat → Prop) (p:P O) (f:Πn:nat.P n → P (S n)) (n:nat) on n : P n ≝
  41  match n with [ O ⇒ p | S (n1:nat) ⇒ f n1 (nat_ind P p f n1) ].
  42
  43 nlet rec nat_rec (P:nat → Set) (p:P O) (f:Πn:nat.P n → P (S n)) (n:nat) on n : P n ≝
  44  match n with [ O ⇒ p | S (n1:nat) ⇒ f n1 (nat_rec P p f n1) ].
  45
  46 nlet rec nat_rect (P:nat → Type) (p:P O) (f:Πn:nat.P n → P (S n)) (n:nat) on n : P n ≝
  47  match n with [ O ⇒ p | S (n1:nat) ⇒ f n1 (nat_rect P p f n1) ].
  48
  49 nlet rec eq_nat (n1,n2:nat) on n1 ≝
  50  match n1 with
  51   [ O ⇒ match n2 with [ O ⇒ true | S _ ⇒ false ]
  52   | S n1' ⇒ match n2 with [ O ⇒ false | S n2' ⇒ eq_nat n1' n2' ]
  53   ].
  54
  55 nlet rec le_nat n m ≝
  56  match n with
  57   [ O ⇒ true
  58   | (S p) ⇒ match m with
  59    [ O ⇒ false | (S q) ⇒ le_nat p q ]
  60   ].
  61
  62 nlet rec plus (n1,n2:nat) on n1 ≝
  63  match n1 with
  64   [ O ⇒ n2
  65   | (S n1') ⇒ S (plus n1' n2) ].
  66
  67 interpretation "natural plus" 'plus x y = (plus x y).
  68
  69 nlet rec times (n1,n2:nat) on n1 ≝
  70  match n1 with
  71   [ O ⇒ O
  72   | (S n1') ⇒ n2 + (times n1' n2) ].
  73
  74 interpretation "natural times" 'times x y = (times x y).
  75
  76 nlet rec minus n m ≝
  77  match n with
  78  [ O ⇒ O
  79  | (S p) ⇒
  80         match m with
  81         [O ⇒ (S p)
  82   | (S q) ⇒ minus p q ]].
  83
  84 interpretation "natural minus" 'minus x y = (minus x y).
  85
  86 nlet rec div_aux p m n : nat ≝
  87 match (le_nat m n) with
  88 [ true ⇒ O
  89 | false ⇒
  90   match p with
  91   [ O ⇒ O
  92   | (S q) ⇒ S (div_aux q (m-(S n)) n)]].
  93
  94 ndefinition div : nat → nat → nat ≝
  95 λn,m.match m with
  96  [ O ⇒ S n
  97  | (S p) ⇒ div_aux n n p].
  98
  99 interpretation "natural divide" 'divide x y = (div x y).