helm/software/matita/contribs/ng_assembly/freescale/theory.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* ********************************************************************** *)
  16 (*                          Progetto FreeScale                            *)
  17 (*                                                                        *)
  18 (*   Sviluppato da: Cosimo Oliboni, oliboni@cs.unibo.it                   *)
  19 (*     Cosimo Oliboni, oliboni@cs.unibo.it                                *)
  20 (*                                                                        *)
  21 (* ********************************************************************** *)
  22
  23 include "freescale/pts.ma".
  24
  25 (* ********************************** *)
  26 (* SOTTOINSIEME MINIMALE DELLA TEORIA *)
  27 (* ********************************** *)
  28
  29 (* logic/connectives.ma *)
  30
  31 ninductive True: Prop ≝
  32  I : True.
  33
  34 (*ndefinition True_ind_xx : ΠP:Prop.P → True → P ≝
  35 λP:Prop.λp:P.λH:True.
  36  match H with [ I ⇒ p ].
  37
  38 ndefinition True_rec_xx : ΠP:Set.P → True → P ≝
  39 λP:Set.λp:P.λH:True.
  40  match H with [ I ⇒ p ].
  41
  42 ndefinition True_rect_xx : ΠP:Type.P → True → P ≝
  43 λP:Type.λp:P.λH:True.
  44  match H with [ I ⇒ p ].*)
  45
  46 ninductive False: Prop ≝.
  47
  48 (*ndefinition False_ind_xx : ΠP:Prop.False → P ≝
  49 λP:Prop.λH:False.
  50  match H in False return λH1:False.P with [].
  51
  52 ndefinition False_rec_xx : ΠP:Set.False → P ≝
  53 λP:Set.λH:False.
  54  match H in False return λH1:False.P with [].
  55
  56 ndefinition False_rect_xx : ΠP:Type.False → P ≝
  57 λP:Type.λH:False.
  58  match H in False return λH1:False.P with [].*)
  59
  60 ndefinition Not: Prop → Prop ≝
  61 λA.(A → False).
  62
  63 interpretation "logical not" 'not x = (Not x).
  64
  65 nlemma absurd : ∀A,C:Prop.A → ¬A → C.
  66  #A; #C; #H;
  67  nnormalize;
  68  #H1;
  69  (* perche' non fa nelim (H1 H). ??? *)
  70  napply (False_ind ? (H1 H)).
  71 nqed.
  72
  73 nlemma not_to_not : ∀A,B:Prop. (A → B) → ¬B →¬A.
  74  #A; #B; #H;
  75  nnormalize;
  76  #H1; #H2;
  77  nelim (H1 (H H2)).
  78 nqed.
  79
  80 ninductive And (A,B:Prop) : Prop ≝
  81  conj : A → B → (And A B).
  82
  83 (*ndefinition And_ind_xx : ΠA,B:Prop.ΠP:Prop.(A → B → P) → And A B → P ≝
  84 λA,B:Prop.λP:Prop.λf:A → B → P.λH:And A B.
  85  match H with [conj H1 H2 ⇒ f H1 H2 ].
  86
  87 ndefinition And_rec_xx : ΠA,B:Prop.ΠP:Set.(A → B → P) → And A B → P ≝
  88 λA,B:Prop.λP:Set.λf:A → B → P.λH:And A B.
  89  match H with [conj H1 H2 ⇒ f H1 H2 ].
  90
  91 ndefinition And_rect_xx : ΠA,B:Prop.ΠP:Type.(A → B → P) → And A B → P ≝
  92 λA,B:Prop.λP:Type.λf:A → B → P.λH:And A B.
  93  match H with [conj H1 H2 ⇒ f H1 H2 ].*)
  94
  95 interpretation "logical and" 'and x y = (And x y).
  96
  97 nlemma proj1: ∀A,B:Prop.A ∧ B → A.
  98  #A; #B; #H;
  99  napply (And_ind A B ?? H);
 100  #H1; #H2;
 101  napply H1.
 102 nqed.
 103
 104 nlemma proj2: ∀A,B:Prop.A ∧ B → B.
 105  #A; #B; #H;
 106  napply (And_ind A B ?? H);
 107  #H1; #H2;
 108  napply H2.
 109 nqed.
 110
 111 ninductive Or (A,B:Prop) : Prop ≝
 112   or_introl : A → (Or A B)
 113 | or_intror : B → (Or A B).
 114
 115 (*ndefinition Or_ind_xx : ΠA,B:Prop.ΠP:Prop.(A → P) → (B → P) → Or A B → P ≝
 116 λA,B:Prop.λP:Prop.λf1:A → P.λf2:B → P.λH:Or A B.
 117  match H with [ or_introl H1 ⇒ f1 H1 | or_intror H1 ⇒ f2 H1 ].*)
 118
 119 interpretation "logical or" 'or x y = (Or x y).
 120
 121 ndefinition decidable : Prop → Prop ≝ λA:Prop.A ∨ ¬A.
 122
 123 ninductive ex (A:Type) (Q:A → Prop) : Prop ≝
 124  ex_intro: ∀x:A.Q x → ex A Q.
 125
 126 (*ndefinition ex_ind_xx : ΠA:Type.ΠQ:A → Prop.ΠP:Prop.(Πa:A.Q a → P) → ex A Q → P ≝
 127 λA:Type.λQ:A → Prop.λP:Prop.λf:(Πa:A.Q a → P).λH:ex A Q.
 128  match H with [ ex_intro H1 H2 ⇒ f H1 H2 ].*)
 129
 130 interpretation "exists" 'exists x = (ex ? x).
 131
 132 ninductive ex2 (A:Type) (Q,R:A → Prop) : Prop ≝
 133  ex_intro2: ∀x:A.Q x → R x → ex2 A Q R.
 134
 135 (*ndefinition ex2_ind_xx : ΠA:Type.ΠQ,R:A → Prop.ΠP:Prop.(Πa:A.Q a → R a → P) → ex2 A Q R → P ≝
 136 λA:Type.λQ,R:A → Prop.λP:Prop.λf:(Πa:A.Q a → R a → P).λH:ex2 A Q R.
 137  match H with [ ex_intro2 H1 H2 H3 ⇒ f H1 H2 H3 ].*)
 138
 139 ndefinition iff ≝
 140 λA,B.(A -> B) ∧ (B -> A).
 141
 142 (* higher_order_defs/relations *)
 143
 144 ndefinition relation : Type → Type ≝
 145 λA:Type.A → A → Prop.
 146
 147 ndefinition reflexive : ∀A:Type.∀R:relation A.Prop ≝
 148 λA.λR.∀x:A.R x x.
 149
 150 ndefinition symmetric : ∀A:Type.∀R:relation A.Prop ≝
 151 λA.λR.∀x,y:A.R x y → R y x.
 152
 153 ndefinition transitive : ∀A:Type.∀R:relation A.Prop ≝
 154 λA.λR.∀x,y,z:A.R x y → R y z → R x z.
 155
 156 ndefinition irreflexive : ∀A:Type.∀R:relation A.Prop ≝
 157 λA.λR.∀x:A.¬ (R x x).
 158
 159 ndefinition cotransitive : ∀A:Type.∀R:relation A.Prop ≝
 160 λA.λR.∀x,y:A.R x y → ∀z:A. R x z ∨ R z y.
 161
 162 ndefinition tight_apart : ∀A:Type.∀eq,ap:relation A.Prop ≝
 163 λA.λeq,ap.∀x,y:A. (¬ (ap x y) → eq x y) ∧ (eq x y → ¬ (ap x y)).
 164
 165 ndefinition antisymmetric : ∀A:Type.∀R:relation A.Prop ≝
 166 λA.λR.∀x,y:A.R x y → ¬ (R y x).
 167
 168 (* logic/equality.ma *)
 169
 170 ninductive eq (A:Type) (x:A) : A → Prop ≝
 171  refl_eq : eq A x x.
 172
 173 (*ndefinition eq_ind_xx : ΠA:Type.Πx:A.ΠP:A → Prop.P x → Πa:A.eq A x a → P a ≝
 174 λA:Type.λx:A.λP:A → Prop.λp:P x.λa:A.λH:eq A x a.
 175  match H with [refl_eq ⇒ p ].
 176
 177 ndefinition eq_rec_xx : ΠA:Type.Πx:A.ΠP:A → Set.P x → Πa:A.eq A x a → P a ≝
 178 λA:Type.λx:A.λP:A → Set.λp:P x.λa:A.λH:eq A x a.
 179  match H with [refl_eq ⇒ p ].
 180
 181 ndefinition eq_rect_xx : ΠA:Type.Πx:A.ΠP:A → Type.P x → Πa:A.eq A x a → P a ≝
 182 λA:Type.λx:A.λP:A → Type.λp:P x.λa:A.λH:eq A x a.
 183  match H with [refl_eq ⇒ p ].*)
 184
 185 interpretation "leibnitz's equality" 'eq t x y = (eq t x y).
 186
 187 interpretation "leibnitz's non-equality" 'neq t x y = (Not (eq t x y)).
 188
 189 nlemma symmetric_eq: ∀A:Type. symmetric A (eq A).
 190  #A;
 191  nnormalize;
 192  #x; #y; #H;
 193  (* rifiuta nrewrite >, nrewrite <
 194     e la prima volta mi ha risposto con assert false,
 195     poi con errori di tipo ??? *)
 196  nrewrite < H;
 197  napply (refl_eq ??).
 198 nqed.
 199
 200 nlemma eq_elim_r: ∀A:Type.∀x:A.∀P:A → Prop.P x → ∀y:A.y=x → P y.
 201  #A; #x; #P; #H; #y; #H1;
 202  napply (eq_ind ? x ? H y ?);
 203  nrewrite < H1;
 204  napply (refl_eq ??).
 205 nqed.
 206
 207 ndefinition relationT : Type → Type → Type ≝
 208 λA,T:Type.A → A → T.
 209
 210 ndefinition symmetricT: ∀A,T:Type.∀R:relationT A T.Prop ≝
 211 λA,T.λR.∀x,y:A.R x y = R y x.
 212
 213 ndefinition associative : ∀A:Type.∀R:relationT A A.Prop ≝
 214 λA.λR.∀x,y,z:A.R (R x y) z = R x (R y z).
 215
 216 (* list/list.ma *)
 217
 218 ninductive list (A:Type) : Type ≝
 219   nil: list A
 220 | cons: A -> list A -> list A.
 221
 222 nlet rec list_ind (A:Type) (P:list A → Prop) (p:P (nil A)) (f:(Πa:A.Πl':list A.P l' → P (cons A a l'))) (l:list A) on l ≝
 223  match l with [ nil ⇒ p | cons h t ⇒ f h t (list_ind A P p f t) ].
 224
 225 nlet rec list_rec (A:Type) (P:list A → Set) (p:P (nil A)) (f:Πa:A.Πl':list A.P l' → P (cons A a l')) (l:list A) on l ≝
 226  match l with [ nil ⇒ p | cons h t ⇒ f h t (list_rec A P p f t) ].
 227
 228 nlet rec list_rect (A:Type) (P:list A → Type) (p:P (nil A)) (f:Πa:A.Πl':list A.P l' → P (cons A a l')) (l:list A) on l ≝
 229  match l with [ nil ⇒ p | cons h t ⇒ f h t (list_rect A P p f t) ].
 230
 231 nlet rec append A (l1: list A) l2 on l1 ≝
 232  match l1 with
 233   [ nil => l2
 234   | (cons hd tl) => cons A hd (append A tl l2) ].
 235
 236 notation "hvbox(hd break :: tl)"
 237   right associative with precedence 47
 238   for @{'cons $hd $tl}.
 239
 240 notation "[ list0 x sep ; ]"
 241   non associative with precedence 90
 242   for ${fold right @'nil rec acc @{'cons $x $acc}}.
 243
 244 notation "hvbox(l1 break @ l2)"
 245   right associative with precedence 47
 246   for @{'append $l1 $l2 }.
 247
 248 interpretation "nil" 'nil = (nil ?).
 249 interpretation "cons" 'cons hd tl = (cons ? hd tl).
 250 interpretation "append" 'append l1 l2 = (append ? l1 l2).
 251
 252 nlemma list_destruct_1 : ∀T.∀x1,x2:T.∀y1,y2:list T.cons T x1 y1 = cons T x2 y2 → x1 = x2.
 253  #T; #x1; #x2; #y1; #y2; #H;
 254  nchange with (match cons T x2 y2 with [ nil ⇒ False | cons a _ ⇒ x1 = a ]);
 255  nrewrite < H;
 256  nnormalize;
 257  napply (refl_eq ??).
 258 nqed.
 259
 260 nlemma list_destruct_2 : ∀T.∀x1,x2:T.∀y1,y2:list T.cons T x1 y1 = cons T x2 y2 → y1 = y2.
 261  #T; #x1; #x2; #y1; #y2; #H;
 262  nchange with (match cons T x2 y2 with [ nil ⇒ False | cons _ b ⇒ y1 = b ]);
 263  nrewrite < H;
 264  nnormalize;
 265  napply (refl_eq ??).
 266 nqed.
 267
 268 nlemma list_destruct_cons_nil : ∀T.∀x:T.∀y:list T.cons T x y = nil T → False.
 269  #T; #x; #y; #H;
 270  nchange with (match cons T x y with [ nil ⇒ True | cons a b ⇒ False ]);
 271  nrewrite > H;
 272  nnormalize;
 273  napply I.
 274 nqed.
 275
 276 nlemma list_destruct_nil_cons : ∀T.∀x:T.∀y:list T.nil T = cons T x y → False.
 277  #T; #x; #y; #H;
 278  nchange with (match cons T x y with [ nil ⇒ True | cons a b ⇒ False ]);
 279  nrewrite < H;
 280  nnormalize;
 281  napply I.
 282 nqed.
 283
 284 nlemma append_nil : ∀T:Type.∀l:list T.(l@[]) = l.
 285  #T; #l;
 286  napply (list_ind T ??? l);
 287  nnormalize;
 288  ##[ ##1: napply (refl_eq ??)
 289  ##| ##2: #x; #y; #H;
 290           nrewrite > H;
 291           napply (refl_eq ??)
 292  ##]
 293 nqed.
 294
 295 nlemma associative_list : ∀T.associative (list T) (append T).
 296  #T; #x; #y; #z;
 297  napply (list_ind T ??? x);
 298  nnormalize;
 299  ##[ ##1: napply (refl_eq ??)
 300  ##| ##2: #a; #b; #H;
 301           nrewrite > H;
 302           napply (refl_eq ??)
 303  ##]
 304 nqed.
 305
 306 nlemma cons_append_commute : ∀T:Type.∀l1,l2:list T.∀a:T.a :: (l1 @ l2) = (a :: l1) @ l2.
 307  #T; #l1; #l2; #a;
 308  nnormalize;
 309  napply (refl_eq ??).
 310 nqed.
 311
 312 nlemma append_cons_commute : ∀T:Type.∀a:T.∀l,l1:list T.l @ (a::l1) = (l@[a]) @ l1.
 313  #T; #a; #l; #l1;
 314  nrewrite > (associative_list T l [a] l1);
 315  nnormalize;
 316  napply (refl_eq ??).
 317 nqed.