helm/software/matita/contribs/ng_assembly/num/bitrigesim_lemmas.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* ********************************************************************** *)
  16 (*                          Progetto FreeScale                            *)
  17 (*                                                                        *)
  18 (*   Sviluppato da: Ing. Cosimo Oliboni, oliboni@cs.unibo.it              *)
  19 (*   Sviluppo: 2008-2010                                                  *)
  20 (*                                                                        *)
  21 (* ********************************************************************** *)
  22
  23 include "num/bitrigesim.ma".
  24 include "num/bool_lemmas.ma".
  25
  26 (* ************* *)
  27 (* BITRIGESIMALI *)
  28 (* ************* *)
  29
  30 (*
  31 ndefinition bitrigesim_destruct_aux ≝
  32 Πt1,t2:bitrigesim.ΠP:Prop.t1 = t2 →
  33  match eq_bit t1 t2 with [ true ⇒ P → P | false ⇒ P ].
  34
  35 ndefinition bitrigesim_destruct : bitrigesim_destruct_aux.
  36  #t1; #t2; #P; #H;
  37  nrewrite < H;
  38  nelim t1;
  39  nnormalize;
  40  napply (λx.x).
  41 nqed.
  42 *)
  43
  44 nlemma eq_to_eqbit : ∀n1,n2.n1 = n2 → eq_bit n1 n2 = true.
  45  #n1; #n2; #H;
  46  nrewrite > H;
  47  nelim n2;
  48  nnormalize;
  49  napply refl_eq.
  50 nqed.
  51
  52 nlemma neqbit_to_neq : ∀n1,n2.eq_bit n1 n2 = false → n1 ≠ n2.
  53  #n1; #n2; #H;
  54  napply (not_to_not (n1 = n2) (eq_bit n1 n2 = true) …);
  55  ##[ ##1: napply (eq_to_eqbit n1 n2)
  56  ##| ##2: napply (eqfalse_to_neqtrue … H)
  57  ##]
  58 nqed.
  59
  60 (* !!! per brevita... *)
  61 naxiom eqbit_to_eq : ∀t1,t2.eq_bit t1 t2 = true → t1 = t2.
  62
  63 nlemma neq_to_neqbit : ∀n1,n2.n1 ≠ n2 → eq_bit n1 n2 = false.
  64  #n1; #n2; #H;
  65  napply (neqtrue_to_eqfalse (eq_bit n1 n2));
  66  napply (not_to_not (eq_bit n1 n2 = true) (n1 = n2) ? H);
  67  napply (eqbit_to_eq n1 n2).
  68 nqed.
  69
  70 nlemma decidable_bit : ∀x,y:bitrigesim.decidable (x = y).
  71  #x; #y; nnormalize;
  72  napply (or2_elim (eq_bit x y = true) (eq_bit x y = false) ? (decidable_bexpr ?));
  73  ##[ ##1: #H; napply (or2_intro1 (x = y) (x ≠ y) (eqbit_to_eq … H))
  74  ##| ##2: #H; napply (or2_intro2 (x = y) (x ≠ y) (neqbit_to_neq … H))
  75  ##]
  76 nqed.
  77
  78 nlemma symmetric_eqbit : symmetricT bitrigesim bool eq_bit.
  79  #n1; #n2;
  80  napply (or2_elim (n1 = n2) (n1 ≠ n2) ? (decidable_bit n1 n2));
  81  ##[ ##1: #H; nrewrite > H; napply refl_eq
  82  ##| ##2: #H; nrewrite > (neq_to_neqbit n1 n2 H);
  83           napply (symmetric_eq ? (eq_bit n2 n1) false);
  84           napply (neq_to_neqbit n2 n1 (symmetric_neq ? n1 n2 H))
  85  ##]
  86 nqed.