helm/software/matita/contribs/ng_assembly/num/bool_lemmas.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* ********************************************************************** *)
  16 (*                          Progetto FreeScale                            *)
  17 (*                                                                        *)
  18 (*   Sviluppato da: Cosimo Oliboni, oliboni@cs.unibo.it                   *)
  19 (*     Cosimo Oliboni, oliboni@cs.unibo.it                                *)
  20 (*                                                                        *)
  21 (* ********************************************************************** *)
  22
  23 include "num/bool.ma".
  24
  25 (* ******** *)
  26 (* BOOLEANI *)
  27 (* ******** *)
  28
  29 ndefinition bool_destruct_aux ≝
  30 Πb1,b2:bool.ΠP:Prop.b1 = b2 →
  31  match b1 with
  32   [ true ⇒ match b2 with [ true ⇒ P → P | false ⇒ P ]
  33   | false ⇒ match b2 with [ true ⇒ P | false ⇒ P → P ]
  34   ].
  35
  36 ndefinition bool_destruct : bool_destruct_aux.
  37  #b1; #b2; #P;
  38  nelim b1;
  39  nelim b2;
  40  nnormalize;
  41  #H;
  42  ##[ ##2: napply False_ind;
  43           nchange with (match true with [ true ⇒ False | false ⇒ True]);
  44           nrewrite > H;
  45           nnormalize;
  46           napply I
  47  ##| ##3: napply False_ind;
  48           nchange with (match true with [ true ⇒ False | false ⇒ True]);
  49           nrewrite < H;
  50           nnormalize;
  51           napply I
  52  ##| ##1,4: napply (λx:P.x)
  53  ##]
  54 nqed.
  55
  56 nlemma symmetric_eqbool : symmetricT bool bool eq_bool.
  57  #b1; #b2;
  58  nelim b1;
  59  nelim b2;
  60  nnormalize;
  61  napply refl_eq.
  62 nqed.
  63
  64 nlemma symmetric_andbool : symmetricT bool bool and_bool.
  65  #b1; #b2;
  66  nelim b1;
  67  nelim b2;
  68  nnormalize;
  69  napply refl_eq.
  70 nqed.
  71
  72 nlemma associative_andbool : ∀b1,b2,b3.((b1 ⊗ b2) ⊗ b3) = (b1 ⊗ (b2 ⊗ b3)).
  73  #b1; #b2; #b3;
  74  nelim b1;
  75  nelim b2;
  76  nelim b3;
  77  nnormalize;
  78  napply refl_eq.
  79 nqed.
  80
  81 nlemma symmetric_orbool : symmetricT bool bool or_bool.
  82  #b1; #b2;
  83  nelim b1;
  84  nelim b2;
  85  nnormalize;
  86  napply refl_eq.
  87 nqed.
  88
  89 nlemma associative_orbool : ∀b1,b2,b3.((b1 ⊕ b2) ⊕ b3) = (b1 ⊕ (b2 ⊕ b3)).
  90  #b1; #b2; #b3;
  91  nelim b1;
  92  nelim b2;
  93  nelim b3;
  94  nnormalize;
  95  napply refl_eq.
  96 nqed.
  97
  98 nlemma symmetric_xorbool : symmetricT bool bool xor_bool.
  99  #b1; #b2;
 100  nelim b1;
 101  nelim b2;
 102  nnormalize;
 103  napply refl_eq.
 104 nqed.
 105
 106 nlemma associative_xorbool : ∀b1,b2,b3.((b1 ⊙ b2) ⊙ b3) = (b1 ⊙ (b2 ⊙ b3)).
 107  #b1; #b2; #b3;
 108  nelim b1;
 109  nelim b2;
 110  nelim b3;
 111  nnormalize;
 112  napply refl_eq.
 113 nqed.
 114
 115 nlemma eqbool_to_eq : ∀b1,b2:bool.(eq_bool b1 b2 = true) → (b1 = b2).
 116  #b1; #b2;
 117  ncases b1;
 118  ncases b2;
 119  nnormalize;
 120  ##[ ##1,4: #H; napply refl_eq
 121  ##| ##*: #H; napply (bool_destruct … H)
 122  ##]
 123 nqed.
 124
 125 nlemma eq_to_eqbool : ∀b1,b2.b1 = b2 → eq_bool b1 b2 = true.
 126  #b1; #b2;
 127  ncases b1;
 128  ncases b2;
 129  nnormalize;
 130  ##[ ##1,4: #H; napply refl_eq
 131  ##| ##*: #H; napply (bool_destruct … H)
 132  ##]
 133 nqed.
 134
 135 nlemma andb_true_true_l: ∀b1,b2.(b1 ⊗ b2) = true → b1 = true.
 136  #b1; #b2;
 137  ncases b1;
 138  ncases b2;
 139  nnormalize;
 140  ##[ ##1,2: #H; napply refl_eq
 141  ##| ##*: #H; napply (bool_destruct … H)
 142  ##]
 143 nqed.
 144
 145 nlemma andb_true_true_r: ∀b1,b2.(b1 ⊗ b2) = true → b2 = true.
 146  #b1; #b2;
 147  ncases b1;
 148  ncases b2;
 149  nnormalize;
 150  ##[ ##1,3: #H; napply refl_eq
 151  ##| ##*: #H; napply (bool_destruct … H)
 152  ##]
 153 nqed.
 154
 155 nlemma andb_false : ∀b1,b2.(b1 ⊗ b2) = false → (b1 = false) ∨ (b2 = false).
 156  #b1; #b2;
 157  ncases b1;
 158  ncases b2;
 159  nnormalize;
 160  ##[ ##1: #H; napply (bool_destruct … H)
 161  ##| ##2,4: #H; napply (or_intror … H)
 162  ##| ##3: #H; napply (or_introl … H)
 163  ##]
 164 nqed.
 165
 166 nlemma orb_false_false_l : ∀b1,b2:bool.(b1 ⊕ b2) = false → b1 = false.
 167  #b1; #b2;
 168  ncases b1;
 169  ncases b2;
 170  nnormalize;
 171  ##[ ##4: #H; napply refl_eq
 172  ##| ##*: #H; napply (bool_destruct … H)
 173  ##]
 174 nqed.
 175
 176 nlemma orb_false_false_r : ∀b1,b2:bool.(b1 ⊕ b2) = false → b2 = false.
 177  #b1; #b2;
 178  ncases b1;
 179  ncases b2;
 180  nnormalize;
 181  ##[ ##4: #H; napply refl_eq
 182  ##| ##*: #H; napply (bool_destruct … H)
 183  ##]
 184 nqed.