helm/software/matita/contribs/ng_assembly/num/bool_lemmas.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* ********************************************************************** *)
  16 (*                          Progetto FreeScale                            *)
  17 (*                                                                        *)
  18 (*   Sviluppato da: Ing. Cosimo Oliboni, oliboni@cs.unibo.it              *)
  19 (*   Ultima modifica: 05/08/2009                                          *)
  20 (*                                                                        *)
  21 (* ********************************************************************** *)
  22
  23 include "num/bool.ma".
  24
  25 (* ******** *)
  26 (* BOOLEANI *)
  27 (* ******** *)
  28
  29 ndefinition bool_destruct_aux ≝
  30 Πb1,b2:bool.ΠP:Prop.b1 = b2 →
  31  match eq_bool b1 b2 with [ true ⇒ P → P | false ⇒ P ].
  32
  33 ndefinition bool_destruct : bool_destruct_aux.
  34  #b1; #b2; #P; #H;
  35  nrewrite < H;
  36  nelim b1;
  37  nnormalize;
  38  napply (λx.x).
  39 nqed.
  40
  41 nlemma symmetric_eqbool : symmetricT bool bool eq_bool.
  42  #b1; #b2;
  43  nelim b1;
  44  nelim b2;
  45  nnormalize;
  46  napply refl_eq.
  47 nqed.
  48
  49 nlemma symmetric_andbool : symmetricT bool bool and_bool.
  50  #b1; #b2;
  51  nelim b1;
  52  nelim b2;
  53  nnormalize;
  54  napply refl_eq.
  55 nqed.
  56
  57 nlemma associative_andbool : ∀b1,b2,b3.((b1 ⊗ b2) ⊗ b3) = (b1 ⊗ (b2 ⊗ b3)).
  58  #b1; #b2; #b3;
  59  nelim b1;
  60  nelim b2;
  61  nelim b3;
  62  nnormalize;
  63  napply refl_eq.
  64 nqed.
  65
  66 nlemma symmetric_orbool : symmetricT bool bool or_bool.
  67  #b1; #b2;
  68  nelim b1;
  69  nelim b2;
  70  nnormalize;
  71  napply refl_eq.
  72 nqed.
  73
  74 nlemma associative_orbool : ∀b1,b2,b3.((b1 ⊕ b2) ⊕ b3) = (b1 ⊕ (b2 ⊕ b3)).
  75  #b1; #b2; #b3;
  76  nelim b1;
  77  nelim b2;
  78  nelim b3;
  79  nnormalize;
  80  napply refl_eq.
  81 nqed.
  82
  83 nlemma symmetric_xorbool : symmetricT bool bool xor_bool.
  84  #b1; #b2;
  85  nelim b1;
  86  nelim b2;
  87  nnormalize;
  88  napply refl_eq.
  89 nqed.
  90
  91 nlemma associative_xorbool : ∀b1,b2,b3.((b1 ⊙ b2) ⊙ b3) = (b1 ⊙ (b2 ⊙ b3)).
  92  #b1; #b2; #b3;
  93  nelim b1;
  94  nelim b2;
  95  nelim b3;
  96  nnormalize;
  97  napply refl_eq.
  98 nqed.
  99
 100 nlemma eqbool_to_eq : ∀b1,b2:bool.(eq_bool b1 b2 = true) → (b1 = b2).
 101  #b1; #b2;
 102  ncases b1;
 103  ncases b2;
 104  nnormalize;
 105  ##[ ##1,4: #H; napply refl_eq
 106  ##| ##*: #H; napply (bool_destruct … H)
 107  ##]
 108 nqed.
 109
 110 nlemma eq_to_eqbool : ∀b1,b2.b1 = b2 → eq_bool b1 b2 = true.
 111  #b1; #b2;
 112  ncases b1;
 113  ncases b2;
 114  nnormalize;
 115  ##[ ##1,4: #H; napply refl_eq
 116  ##| ##*: #H; napply (bool_destruct … H)
 117  ##]
 118 nqed.
 119
 120 nlemma decidable_bool : ∀x,y:bool.decidable (x = y).
 121  #x; #y;
 122  nnormalize;
 123  nelim x;
 124  nelim y;
 125  ##[ ##1,4: napply (or2_intro1 (? = ?) (? ≠ ?) …); napply refl_eq
 126  ##| ##*: napply (or2_intro2 (? = ?) (? ≠ ?) …);
 127           nnormalize; #H;
 128           napply False_ind;
 129           napply (bool_destruct … H)
 130  ##]
 131 nqed.
 132
 133 nlemma neqbool_to_neq : ∀b1,b2:bool.(eq_bool b1 b2 = false) → (b1 ≠ b2).
 134  #b1; #b2;
 135  ncases b1;
 136  ncases b2;
 137  nnormalize;
 138  ##[ ##1,4: #H; napply (bool_destruct … H)
 139  ##| ##*: #H; #H1; napply (bool_destruct … H1)
 140  ##]
 141 nqed.
 142
 143 nlemma neq_to_neqbool : ∀b1,b2.b1 ≠ b2 → eq_bool b1 b2 = false.
 144  #b1; #b2;
 145  ncases b1;
 146  ncases b2;
 147  nnormalize;
 148  ##[ ##1,4: #H; nelim (H (refl_eq …))
 149  ##| ##*: #H; napply refl_eq
 150  ##]
 151 nqed.
 152
 153 nlemma andb_true_true_l: ∀b1,b2.(b1 ⊗ b2) = true → b1 = true.
 154  #b1; #b2;
 155  ncases b1;
 156  ncases b2;
 157  nnormalize;
 158  ##[ ##1,2: #H; napply refl_eq
 159  ##| ##*: #H; napply (bool_destruct … H)
 160  ##]
 161 nqed.
 162
 163 nlemma andb_true_true_r: ∀b1,b2.(b1 ⊗ b2) = true → b2 = true.
 164  #b1; #b2;
 165  ncases b1;
 166  ncases b2;
 167  nnormalize;
 168  ##[ ##1,3: #H; napply refl_eq
 169  ##| ##*: #H; napply (bool_destruct … H)
 170  ##]
 171 nqed.
 172
 173 nlemma andb_false2
 174  : ∀b1,b2.(b1 ⊗ b2) = false →
 175    (b1 = false) ∨ (b2 = false).
 176  #b1; #b2;
 177  ncases b1;
 178  ncases b2;
 179  nnormalize;
 180  ##[ ##1: #H; napply (bool_destruct … H)
 181  ##| ##2,4: #H; napply (or2_intro2 … H)
 182  ##| ##3: #H; napply (or2_intro1 … H)
 183  ##]
 184 nqed.
 185
 186 nlemma andb_false3
 187  : ∀b1,b2,b3.(b1 ⊗ b2 ⊗ b3) = false →
 188    Or3 (b1 = false) (b2 = false) (b3 = false).
 189  #b1; #b2; #b3;
 190  ncases b1;
 191  ncases b2;
 192  ncases b3;
 193  nnormalize;
 194  ##[ ##1: #H; napply (bool_destruct … H)
 195  ##| ##5,6,7,8: #H; napply (or3_intro1 … H)
 196  ##| ##2,4: #H; napply (or3_intro3 … H)
 197  ##| ##3: #H; napply (or3_intro2 … H)
 198  ##]
 199 nqed.
 200
 201 nlemma andb_false4
 202  : ∀b1,b2,b3,b4.(b1 ⊗ b2 ⊗ b3 ⊗ b4) = false →
 203    Or4 (b1 = false) (b2 = false) (b3 = false) (b4 = false).
 204  #b1; #b2; #b3; #b4;
 205  ncases b1;
 206  ncases b2;
 207  ncases b3;
 208  ncases b4;
 209  nnormalize;
 210  ##[ ##1: #H; napply (bool_destruct … H)
 211  ##| ##9,10,11,12,13,14,15,16: #H; napply (or4_intro1 … H)
 212  ##| ##5,6,7,8: #H; napply (or4_intro2 … H)
 213  ##| ##3,4: #H; napply (or4_intro3 … H)
 214  ##| ##2: #H; napply (or4_intro4 … H)
 215  ##]
 216 nqed.
 217
 218 nlemma andb_false5
 219  : ∀b1,b2,b3,b4,b5.(b1 ⊗ b2 ⊗ b3 ⊗ b4 ⊗ b5) = false →
 220    Or5 (b1 = false) (b2 = false) (b3 = false) (b4 = false) (b5 = false).
 221  #b1; #b2; #b3; #b4; #b5;
 222  ncases b1;
 223  ncases b2;
 224  ncases b3;
 225  ncases b4;
 226  ncases b5;
 227  nnormalize;
 228  ##[ ##1: #H; napply (bool_destruct … H)
 229  ##| ##17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32: #H; napply (or5_intro1 … H)
 230  ##| ##9,10,11,12,13,14,15,16: #H; napply (or5_intro2 … H)
 231  ##| ##5,6,7,8: #H; napply (or5_intro3 … H)
 232  ##| ##3,4: #H; napply (or5_intro4 … H)
 233  ##| ##2: #H; napply (or5_intro5 … H)
 234  ##]
 235 nqed.
 236
 237 nlemma andb_false2_1 : ∀b.(false ⊗ b) = false.
 238  #b; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 239 nlemma andb_false2_2 : ∀b.(b ⊗ false) = false.
 240  #b; nelim b; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 241
 242 nlemma andb_false3_1 : ∀b1,b2.(false ⊗ b1 ⊗ b2) = false.
 243  #b1; #b2; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 244 nlemma andb_false3_2 : ∀b1,b2.(b1 ⊗ false ⊗ b2) = false.
 245  #b1; #b2; nelim b1; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 246 nlemma andb_false3_3 : ∀b1,b2.(b1 ⊗ b2 ⊗ false) = false.
 247  #b1; #b2; nelim b1; nelim b2; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 248
 249 nlemma andb_false4_1 : ∀b1,b2,b3.(false ⊗ b1 ⊗ b2 ⊗ b3) = false.
 250  #b1; #b2; #b3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 251 nlemma andb_false4_2 : ∀b1,b2,b3.(b1 ⊗ false ⊗ b2 ⊗ b3) = false.
 252  #b1; #b2; #b3; nelim b1; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 253 nlemma andb_false4_3 : ∀b1,b2,b3.(b1 ⊗ b2 ⊗ false ⊗ b3) = false.
 254  #b1; #b2; #b3; nelim b1; nelim b2; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 255 nlemma andb_false4_4 : ∀b1,b2,b3.(b1 ⊗ b2 ⊗ b3 ⊗ false) = false.
 256  #b1; #b2; #b3; nelim b1; nelim b2; nelim b3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 257
 258 nlemma andb_false5_1 : ∀b1,b2,b3,b4.(false ⊗ b1 ⊗ b2 ⊗ b3 ⊗ b4) = false.
 259  #b1; #b2; #b3; #b4; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 260 nlemma andb_false5_2 : ∀b1,b2,b3,b4.(b1 ⊗ false ⊗ b2 ⊗ b3 ⊗ b4) = false.
 261  #b1; #b2; #b3; #b4; nelim b1; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 262 nlemma andb_false5_3 : ∀b1,b2,b3,b4.(b1 ⊗ b2 ⊗ false ⊗ b3 ⊗ b4) = false.
 263  #b1; #b2; #b3; #b4; nelim b1; nelim b2; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 264 nlemma andb_false5_4 : ∀b1,b2,b3,b4.(b1 ⊗ b2 ⊗ b3 ⊗ false ⊗ b4) = false.
 265  #b1; #b2; #b3; #b4; nelim b1; nelim b2; nelim b3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 266 nlemma andb_false5_5 : ∀b1,b2,b3,b4.(b1 ⊗ b2 ⊗ b3 ⊗ b4 ⊗ false) = false.
 267  #b1; #b2; #b3; #b4; nelim b1; nelim b2; nelim b3; nelim b4; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 268
 269 nlemma orb_false_false_l : ∀b1,b2:bool.(b1 ⊕ b2) = false → b1 = false.
 270  #b1; #b2;
 271  ncases b1;
 272  ncases b2;
 273  nnormalize;
 274  ##[ ##4: #H; napply refl_eq
 275  ##| ##*: #H; napply (bool_destruct … H)
 276  ##]
 277 nqed.
 278
 279 nlemma orb_false_false_r : ∀b1,b2:bool.(b1 ⊕ b2) = false → b2 = false.
 280  #b1; #b2;
 281  ncases b1;
 282  ncases b2;
 283  nnormalize;
 284  ##[ ##4: #H; napply refl_eq
 285  ##| ##*: #H; napply (bool_destruct … H)
 286  ##]
 287 nqed.