helm/software/matita/contribs/ng_assembly/num/exadecim_lemmas.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* ********************************************************************** *)
  16 (*                          Progetto FreeScale                            *)
  17 (*                                                                        *)
  18 (*   Sviluppato da: Ing. Cosimo Oliboni, oliboni@cs.unibo.it              *)
  19 (*   Sviluppo: 2008-2010                                                  *)
  20 (*                                                                        *)
  21 (* ********************************************************************** *)
  22
  23 include "num/exadecim.ma".
  24 include "num/bool_lemmas.ma".
  25
  26 (* *********** *)
  27 (* ESADECIMALI *)
  28 (* *********** *)
  29
  30 (*
  31 ndefinition exadecim_destruct_aux ≝
  32 Πe1,e2.ΠP:Prop.ΠH:e1 = e2.
  33  match eq_ex e1 e2 with [ true ⇒ P → P | false ⇒ P ].
  34
  35 ndefinition exadecim_destruct : exadecim_destruct_aux.
  36  #e1; #e2; #P; #H;
  37  nrewrite < H;
  38  nelim e1;
  39  nnormalize;
  40  napply (λx.x).
  41 nqed.
  42 *)
  43
  44 nlemma symmetric_andex : symmetricT exadecim exadecim and_ex.
  45  #e1; #e2;
  46  nelim e1;
  47  nelim e2;
  48  nnormalize;
  49  napply refl_eq.
  50 nqed.
  51
  52 nlemma associative_andex1 : ∀e2,e3.(and_ex (and_ex x0 e2) e3) = (and_ex x0 (and_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  53 nlemma associative_andex2 : ∀e2,e3.(and_ex (and_ex x1 e2) e3) = (and_ex x1 (and_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  54 nlemma associative_andex3 : ∀e2,e3.(and_ex (and_ex x2 e2) e3) = (and_ex x2 (and_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  55 nlemma associative_andex4 : ∀e2,e3.(and_ex (and_ex x3 e2) e3) = (and_ex x3 (and_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  56 nlemma associative_andex5 : ∀e2,e3.(and_ex (and_ex x4 e2) e3) = (and_ex x4 (and_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  57 nlemma associative_andex6 : ∀e2,e3.(and_ex (and_ex x5 e2) e3) = (and_ex x5 (and_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  58 nlemma associative_andex7 : ∀e2,e3.(and_ex (and_ex x6 e2) e3) = (and_ex x6 (and_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  59 nlemma associative_andex8 : ∀e2,e3.(and_ex (and_ex x7 e2) e3) = (and_ex x7 (and_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  60 nlemma associative_andex9 : ∀e2,e3.(and_ex (and_ex x8 e2) e3) = (and_ex x8 (and_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  61 nlemma associative_andex10 : ∀e2,e3.(and_ex (and_ex x9 e2) e3) = (and_ex x9 (and_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  62 nlemma associative_andex11 : ∀e2,e3.(and_ex (and_ex xA e2) e3) = (and_ex xA (and_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  63 nlemma associative_andex12 : ∀e2,e3.(and_ex (and_ex xB e2) e3) = (and_ex xB (and_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  64 nlemma associative_andex13 : ∀e2,e3.(and_ex (and_ex xC e2) e3) = (and_ex xC (and_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  65 nlemma associative_andex14 : ∀e2,e3.(and_ex (and_ex xD e2) e3) = (and_ex xD (and_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  66 nlemma associative_andex15 : ∀e2,e3.(and_ex (and_ex xE e2) e3) = (and_ex xE (and_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  67 nlemma associative_andex16 : ∀e2,e3.(and_ex (and_ex xF e2) e3) = (and_ex xF (and_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  68
  69 nlemma associative_andex : ∀e1,e2,e3.(and_ex (and_ex e1 e2) e3) = (and_ex e1 (and_ex e2 e3)).
  70  #e1; nelim e1;
  71  ##[ ##1: napply  associative_andex1 ##| ##2: napply  associative_andex2
  72  ##| ##3: napply  associative_andex3 ##| ##4: napply  associative_andex4
  73  ##| ##5: napply  associative_andex5 ##| ##6: napply  associative_andex6
  74  ##| ##7: napply  associative_andex7 ##| ##8: napply  associative_andex8
  75  ##| ##9: napply  associative_andex9 ##| ##10: napply  associative_andex10
  76  ##| ##11: napply  associative_andex11 ##| ##12: napply  associative_andex12
  77  ##| ##13: napply  associative_andex13 ##| ##14: napply  associative_andex14
  78  ##| ##15: napply  associative_andex15 ##| ##16: napply  associative_andex16
  79  ##]
  80 nqed.
  81
  82 nlemma symmetric_orex : symmetricT exadecim exadecim or_ex.
  83  #e1; #e2;
  84  nelim e1;
  85  nelim e2;
  86  nnormalize;
  87  napply refl_eq.
  88 nqed.
  89
  90 nlemma associative_orex1 : ∀e2,e3.(or_ex (or_ex x0 e2) e3) = (or_ex x0 (or_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  91 nlemma associative_orex2 : ∀e2,e3.(or_ex (or_ex x1 e2) e3) = (or_ex x1 (or_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  92 nlemma associative_orex3 : ∀e2,e3.(or_ex (or_ex x2 e2) e3) = (or_ex x2 (or_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  93 nlemma associative_orex4 : ∀e2,e3.(or_ex (or_ex x3 e2) e3) = (or_ex x3 (or_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  94 nlemma associative_orex5 : ∀e2,e3.(or_ex (or_ex x4 e2) e3) = (or_ex x4 (or_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  95 nlemma associative_orex6 : ∀e2,e3.(or_ex (or_ex x5 e2) e3) = (or_ex x5 (or_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  96 nlemma associative_orex7 : ∀e2,e3.(or_ex (or_ex x6 e2) e3) = (or_ex x6 (or_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  97 nlemma associative_orex8 : ∀e2,e3.(or_ex (or_ex x7 e2) e3) = (or_ex x7 (or_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  98 nlemma associative_orex9 : ∀e2,e3.(or_ex (or_ex x8 e2) e3) = (or_ex x8 (or_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
  99 nlemma associative_orex10 : ∀e2,e3.(or_ex (or_ex x9 e2) e3) = (or_ex x9 (or_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 100 nlemma associative_orex11 : ∀e2,e3.(or_ex (or_ex xA e2) e3) = (or_ex xA (or_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 101 nlemma associative_orex12 : ∀e2,e3.(or_ex (or_ex xB e2) e3) = (or_ex xB (or_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 102 nlemma associative_orex13 : ∀e2,e3.(or_ex (or_ex xC e2) e3) = (or_ex xC (or_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 103 nlemma associative_orex14 : ∀e2,e3.(or_ex (or_ex xD e2) e3) = (or_ex xD (or_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 104 nlemma associative_orex15 : ∀e2,e3.(or_ex (or_ex xE e2) e3) = (or_ex xE (or_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 105 nlemma associative_orex16 : ∀e2,e3.(or_ex (or_ex xF e2) e3) = (or_ex xF (or_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 106
 107 nlemma associative_orex : ∀e1,e2,e3.(or_ex (or_ex e1 e2) e3) = (or_ex e1 (or_ex e2 e3)).
 108  #e1; nelim e1;
 109  ##[ ##1: napply associative_orex1 ##| ##2: napply associative_orex2
 110  ##| ##3: napply associative_orex3 ##| ##4: napply associative_orex4
 111  ##| ##5: napply associative_orex5 ##| ##6: napply associative_orex6
 112  ##| ##7: napply associative_orex7 ##| ##8: napply associative_orex8
 113  ##| ##9: napply associative_orex9 ##| ##10: napply associative_orex10
 114  ##| ##11: napply associative_orex11 ##| ##12: napply associative_orex12
 115  ##| ##13: napply associative_orex13 ##| ##14: napply associative_orex14
 116  ##| ##15: napply associative_orex15 ##| ##16: napply associative_orex16
 117  ##]
 118 nqed.
 119
 120 nlemma symmetric_xorex : symmetricT exadecim exadecim xor_ex.
 121  #e1; #e2;
 122  nelim e1;
 123  nelim e2;
 124  nnormalize;
 125  napply refl_eq.
 126 nqed.
 127
 128 nlemma associative_xorex1 : ∀e2,e3.(xor_ex (xor_ex x0 e2) e3) = (xor_ex x0 (xor_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 129 nlemma associative_xorex2 : ∀e2,e3.(xor_ex (xor_ex x1 e2) e3) = (xor_ex x1 (xor_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 130 nlemma associative_xorex3 : ∀e2,e3.(xor_ex (xor_ex x2 e2) e3) = (xor_ex x2 (xor_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 131 nlemma associative_xorex4 : ∀e2,e3.(xor_ex (xor_ex x3 e2) e3) = (xor_ex x3 (xor_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 132 nlemma associative_xorex5 : ∀e2,e3.(xor_ex (xor_ex x4 e2) e3) = (xor_ex x4 (xor_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 133 nlemma associative_xorex6 : ∀e2,e3.(xor_ex (xor_ex x5 e2) e3) = (xor_ex x5 (xor_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 134 nlemma associative_xorex7 : ∀e2,e3.(xor_ex (xor_ex x6 e2) e3) = (xor_ex x6 (xor_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 135 nlemma associative_xorex8 : ∀e2,e3.(xor_ex (xor_ex x7 e2) e3) = (xor_ex x7 (xor_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 136 nlemma associative_xorex9 : ∀e2,e3.(xor_ex (xor_ex x8 e2) e3) = (xor_ex x8 (xor_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 137 nlemma associative_xorex10 : ∀e2,e3.(xor_ex (xor_ex x9 e2) e3) = (xor_ex x9 (xor_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 138 nlemma associative_xorex11 : ∀e2,e3.(xor_ex (xor_ex xA e2) e3) = (xor_ex xA (xor_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 139 nlemma associative_xorex12 : ∀e2,e3.(xor_ex (xor_ex xB e2) e3) = (xor_ex xB (xor_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 140 nlemma associative_xorex13 : ∀e2,e3.(xor_ex (xor_ex xC e2) e3) = (xor_ex xC (xor_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 141 nlemma associative_xorex14 : ∀e2,e3.(xor_ex (xor_ex xD e2) e3) = (xor_ex xD (xor_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 142 nlemma associative_xorex15 : ∀e2,e3.(xor_ex (xor_ex xE e2) e3) = (xor_ex xE (xor_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 143 nlemma associative_xorex16 : ∀e2,e3.(xor_ex (xor_ex xF e2) e3) = (xor_ex xF (xor_ex e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 144
 145 nlemma associative_xorex : ∀e1,e2,e3.(xor_ex (xor_ex e1 e2) e3) = (xor_ex e1 (xor_ex e2 e3)).
 146  #e1; nelim e1;
 147  ##[ ##1: napply associative_xorex1 ##| ##2: napply associative_xorex2
 148  ##| ##3: napply associative_xorex3 ##| ##4: napply associative_xorex4
 149  ##| ##5: napply associative_xorex5 ##| ##6: napply associative_xorex6
 150  ##| ##7: napply associative_xorex7 ##| ##8: napply associative_xorex8
 151  ##| ##9: napply associative_xorex9 ##| ##10: napply associative_xorex10
 152  ##| ##11: napply associative_xorex11 ##| ##12: napply associative_xorex12
 153  ##| ##13: napply associative_xorex13 ##| ##14: napply associative_xorex14
 154  ##| ##15: napply associative_xorex15 ##| ##16: napply associative_xorex16
 155  ##]
 156 nqed.
 157
 158 nlemma symmetric_plusex_dc_dc : ∀e1,e2,c.plus_ex_dc_dc e1 e2 c = plus_ex_dc_dc e2 e1 c.
 159  #e1; #e2; #c;
 160  nelim e1;
 161  nelim e2;
 162  nelim c;
 163  nnormalize;
 164  napply refl_eq.
 165 nqed.
 166
 167 nlemma plusex_dc_dc_to_dc_d : ∀e1,e2,c.fst … (plus_ex_dc_dc e1 e2 c) = plus_ex_dc_d e1 e2 c.
 168  #e1; #e2; #c;
 169  nelim e1;
 170  nelim e2;
 171  nelim c;
 172  nnormalize;
 173  napply refl_eq.
 174 nqed.
 175
 176 nlemma plusex_dc_dc_to_dc_c : ∀e1,e2,c.snd … (plus_ex_dc_dc e1 e2 c) = plus_ex_dc_c e1 e2 c.
 177  #e1; #e2; #c;
 178  nelim e1;
 179  nelim e2;
 180  nelim c;
 181  nnormalize;
 182  napply refl_eq.
 183 nqed.
 184
 185 nlemma plusex_dc_dc_to_d_dc : ∀e1,e2.plus_ex_dc_dc e1 e2 false = plus_ex_d_dc e1 e2.
 186  #e1; #e2;
 187  nelim e1;
 188  nelim e2;
 189  nnormalize;
 190  napply refl_eq.
 191 nqed.
 192
 193 nlemma plusex_dc_dc_to_d_d : ∀e1,e2.fst … (plus_ex_dc_dc e1 e2 false) = plus_ex_d_d e1 e2.
 194  #e1; #e2;
 195  nelim e1;
 196  nelim e2;
 197  nnormalize;
 198  napply refl_eq.
 199 nqed.
 200
 201 nlemma plusex_dc_dc_to_d_c : ∀e1,e2.snd … (plus_ex_dc_dc e1 e2 false) = plus_ex_d_c e1 e2.
 202  #e1; #e2;
 203  nelim e1;
 204  nelim e2;
 205  nnormalize;
 206  napply refl_eq.
 207 nqed.
 208
 209 nlemma symmetric_plusex_dc_d : ∀e1,e2,c.plus_ex_dc_d e1 e2 c = plus_ex_dc_d e2 e1 c.
 210  #e1; #e2; #c;
 211  nelim e1;
 212  nelim e2;
 213  nelim c;
 214  nnormalize;
 215  napply refl_eq.
 216 nqed.
 217
 218 nlemma symmetric_plusex_dc_c : ∀e1,e2,c.plus_ex_dc_c e1 e2 c = plus_ex_dc_c e2 e1 c.
 219  #e1; #e2; #c;
 220  nelim e1;
 221  nelim e2;
 222  nelim c;
 223  nnormalize;
 224  napply refl_eq.
 225 nqed.
 226
 227 nlemma symmetric_plusex_d_dc : ∀e1,e2.plus_ex_d_dc e1 e2 = plus_ex_d_dc e2 e1.
 228  #e1; #e2;
 229  nelim e1;
 230  nelim e2;
 231  nnormalize;
 232  napply refl_eq.
 233 nqed.
 234
 235 nlemma plusex_d_dc_to_d_d : ∀e1,e2.fst … (plus_ex_d_dc e1 e2) = plus_ex_d_d e1 e2.
 236  #e1; #e2;
 237  nelim e1;
 238  nelim e2;
 239  nnormalize;
 240  napply refl_eq.
 241 nqed.
 242
 243 nlemma plusex_d_dc_to_d_c : ∀e1,e2.snd … (plus_ex_d_dc e1 e2) = plus_ex_d_c e1 e2.
 244  #e1; #e2;
 245  nelim e1;
 246  nelim e2;
 247  nnormalize;
 248  napply refl_eq.
 249 nqed.
 250
 251 nlemma symmetric_plusex_d_d : ∀e1,e2.plus_ex_d_d e1 e2 = plus_ex_d_d e2 e1.
 252  #e1; #e2;
 253  nelim e1;
 254  nelim e2;
 255  nnormalize;
 256  napply refl_eq.
 257 nqed.
 258
 259 nlemma associative_plusex_d_d1 : ∀e2,e3.(plus_ex_d_d (plus_ex_d_d x0 e2) e3) = (plus_ex_d_d x0 (plus_ex_d_d e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 260 nlemma associative_plusex_d_d2 : ∀e2,e3.(plus_ex_d_d (plus_ex_d_d x1 e2) e3) = (plus_ex_d_d x1 (plus_ex_d_d e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 261 nlemma associative_plusex_d_d3 : ∀e2,e3.(plus_ex_d_d (plus_ex_d_d x2 e2) e3) = (plus_ex_d_d x2 (plus_ex_d_d e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 262 nlemma associative_plusex_d_d4 : ∀e2,e3.(plus_ex_d_d (plus_ex_d_d x3 e2) e3) = (plus_ex_d_d x3 (plus_ex_d_d e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 263 nlemma associative_plusex_d_d5 : ∀e2,e3.(plus_ex_d_d (plus_ex_d_d x4 e2) e3) = (plus_ex_d_d x4 (plus_ex_d_d e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 264 nlemma associative_plusex_d_d6 : ∀e2,e3.(plus_ex_d_d (plus_ex_d_d x5 e2) e3) = (plus_ex_d_d x5 (plus_ex_d_d e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 265 nlemma associative_plusex_d_d7 : ∀e2,e3.(plus_ex_d_d (plus_ex_d_d x6 e2) e3) = (plus_ex_d_d x6 (plus_ex_d_d e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 266 nlemma associative_plusex_d_d8 : ∀e2,e3.(plus_ex_d_d (plus_ex_d_d x7 e2) e3) = (plus_ex_d_d x7 (plus_ex_d_d e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 267 nlemma associative_plusex_d_d9 : ∀e2,e3.(plus_ex_d_d (plus_ex_d_d x8 e2) e3) = (plus_ex_d_d x8 (plus_ex_d_d e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 268 nlemma associative_plusex_d_d10 : ∀e2,e3.(plus_ex_d_d (plus_ex_d_d x9 e2) e3) = (plus_ex_d_d x9 (plus_ex_d_d e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 269 nlemma associative_plusex_d_d11 : ∀e2,e3.(plus_ex_d_d (plus_ex_d_d xA e2) e3) = (plus_ex_d_d xA (plus_ex_d_d e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 270 nlemma associative_plusex_d_d12 : ∀e2,e3.(plus_ex_d_d (plus_ex_d_d xB e2) e3) = (plus_ex_d_d xB (plus_ex_d_d e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 271 nlemma associative_plusex_d_d13 : ∀e2,e3.(plus_ex_d_d (plus_ex_d_d xC e2) e3) = (plus_ex_d_d xC (plus_ex_d_d e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 272 nlemma associative_plusex_d_d14 : ∀e2,e3.(plus_ex_d_d (plus_ex_d_d xD e2) e3) = (plus_ex_d_d xD (plus_ex_d_d e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 273 nlemma associative_plusex_d_d15 : ∀e2,e3.(plus_ex_d_d (plus_ex_d_d xE e2) e3) = (plus_ex_d_d xE (plus_ex_d_d e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 274 nlemma associative_plusex_d_d16 : ∀e2,e3.(plus_ex_d_d (plus_ex_d_d xF e2) e3) = (plus_ex_d_d xF (plus_ex_d_d e2 e3)). #e2; #e3; nelim e2; nelim e3; nnormalize; napply refl_eq. nqed.
 275
 276 nlemma associative_plusex_d_d : ∀e1,e2,e3.(plus_ex_d_d (plus_ex_d_d e1 e2) e3) = (plus_ex_d_d e1 (plus_ex_d_d e2 e3)).
 277  #e1; nelim e1;
 278  ##[ ##1: napply associative_plusex_d_d1 ##| ##2: napply associative_plusex_d_d2
 279  ##| ##3: napply associative_plusex_d_d3 ##| ##4: napply associative_plusex_d_d4
 280  ##| ##5: napply associative_plusex_d_d5 ##| ##6: napply associative_plusex_d_d6
 281  ##| ##7: napply associative_plusex_d_d7 ##| ##8: napply associative_plusex_d_d8
 282  ##| ##9: napply associative_plusex_d_d9 ##| ##10: napply associative_plusex_d_d10
 283  ##| ##11: napply associative_plusex_d_d11 ##| ##12: napply associative_plusex_d_d12
 284  ##| ##13: napply associative_plusex_d_d13 ##| ##14: napply associative_plusex_d_d14
 285  ##| ##15: napply associative_plusex_d_d15 ##| ##16: napply associative_plusex_d_d16
 286  ##]
 287 nqed.
 288
 289 nlemma symmetric_plusex_d_c : ∀e1,e2.plus_ex_d_c e1 e2 = plus_ex_d_c e2 e1.
 290  #e1; #e2;
 291  nelim e1;
 292  nelim e2;
 293  nnormalize;
 294  napply refl_eq.
 295 nqed.
 296
 297 nlemma eq_to_eqex : ∀n1,n2.n1 = n2 → eq_ex n1 n2 = true.
 298  #n1; #n2; #H;
 299  nrewrite > H;
 300  nelim n2;
 301  nnormalize;
 302  napply refl_eq.
 303 nqed.
 304
 305 nlemma neqex_to_neq : ∀n1,n2.eq_ex n1 n2 = false → n1 ≠ n2.
 306  #n1; #n2; #H;
 307  napply (not_to_not (n1 = n2) (eq_ex n1 n2 = true) …);
 308  ##[ ##1: napply (eq_to_eqex n1 n2)
 309  ##| ##2: napply (eqfalse_to_neqtrue … H)
 310  ##]
 311 nqed.
 312
 313 nlemma eqex_to_eq : ∀n1,n2.eq_ex n1 n2 = true → n1 = n2.
 314  #n1; #n2;
 315  ncases n1;
 316  ncases n2;
 317  nnormalize;
 318  ##[ ##1,18,35,52,69,86,103,120,137,154,171,188,205,222,239,256: #H; napply refl_eq
 319  ##| ##*: #H; ndestruct (*napply (bool_destruct … H)*)
 320  ##]
 321 nqed.
 322
 323 nlemma neq_to_neqex : ∀n1,n2.n1 ≠ n2 → eq_ex n1 n2 = false.
 324  #n1; #n2; #H;
 325  napply (neqtrue_to_eqfalse (eq_ex n1 n2));
 326  napply (not_to_not (eq_ex n1 n2 = true) (n1 = n2) ? H);
 327  napply (eqex_to_eq n1 n2).
 328 nqed.
 329
 330 nlemma decidable_ex : ∀x,y:exadecim.decidable (x = y).
 331  #x; #y; nnormalize;
 332  napply (or2_elim (eq_ex x y = true) (eq_ex x y = false) ? (decidable_bexpr ?));
 333  ##[ ##1: #H; napply (or2_intro1 (x = y) (x ≠ y) (eqex_to_eq … H))
 334  ##| ##2: #H; napply (or2_intro2 (x = y) (x ≠ y) (neqex_to_neq … H))
 335  ##]
 336 nqed.
 337
 338 nlemma symmetric_eqex : symmetricT exadecim bool eq_ex.
 339  #n1; #n2;
 340  napply (or2_elim (n1 = n2) (n1 ≠ n2) ? (decidable_ex n1 n2));
 341  ##[ ##1: #H; nrewrite > H; napply refl_eq
 342  ##| ##2: #H; nrewrite > (neq_to_neqex n1 n2 H);
 343           napply (symmetric_eq ? (eq_ex n2 n1) false);
 344           napply (neq_to_neqex n2 n1 (symmetric_neq ? n1 n2 H))
 345  ##]
 346 nqed.