helm/software/matita/contribs/procedural/Coq/Logic/Eqdep.mma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "Coq.ma".
  18
  19 (*#**********************************************************************)
  20
  21 (*  v      *   The Coq Proof Assistant  /  The Coq Development Team    *)
  22
  23 (* <O___,, *        INRIA-Rocquencourt  &  LRI-CNRS-Orsay              *)
  24
  25 (*   \VV/  *************************************************************)
  26
  27 (*    //   *      This file is distributed under the terms of the      *)
  28
  29 (*         *       GNU Lesser General Public License Version 2.1       *)
  30
  31 (*#**********************************************************************)
  32
  33 (*i $Id: Eqdep.v,v 1.10 2004/01/27 14:37:30 herbelin Exp $ i*)
  34
  35 (*#* This file defines dependent equality and shows its equivalence with
  36     equality on dependent pairs (inhabiting sigma-types). It axiomatizes
  37     the invariance by substitution of reflexive equality proofs and
  38     shows the equivalence between the 4 following statements
  39
  40     - Invariance by Substitution of Reflexive Equality Proofs.
  41     - Injectivity of Dependent Equality
  42     - Uniqueness of Identity Proofs
  43     - Uniqueness of Reflexive Identity Proofs
  44     - Streicher's Axiom K
  45
  46   These statements are independent of the calculus of constructions [2].
  47
  48   References:
  49
  50   [1] T. Streicher, Semantical Investigations into Intensional Type Theory,
  51       Habilitationsschrift, LMU München, 1993.
  52   [2] M. Hofmann, T. Streicher, The groupoid interpretation of type theory,
  53       Proceedings of the meeting Twenty-five years of constructive
  54       type theory, Venice, Oxford University Press, 1998
  55 *)
  56
  57 (* UNEXPORTED
  58 Section Dependent_Equality
  59 *)
  60
  61 (* UNEXPORTED
  62 cic:/Coq/Logic/Eqdep/Dependent_Equality/U.var
  63 *)
  64
  65 (* UNEXPORTED
  66 cic:/Coq/Logic/Eqdep/Dependent_Equality/P.var
  67 *)
  68
  69 (*#* Dependent equality *)
  70
  71 inline procedural "cic:/Coq/Logic/Eqdep/eq_dep.ind".
  72
  73 (* UNEXPORTED
  74 Hint Constructors eq_dep: core v62.
  75 *)
  76
  77 inline procedural "cic:/Coq/Logic/Eqdep/eq_dep_sym.con" as lemma.
  78
  79 (* UNEXPORTED
  80 Hint Immediate eq_dep_sym: core v62.
  81 *)
  82
  83 inline procedural "cic:/Coq/Logic/Eqdep/eq_dep_trans.con" as lemma.
  84
  85 inline procedural "cic:/Coq/Logic/Eqdep/eq_indd.con" as theorem.
  86
  87 inline procedural "cic:/Coq/Logic/Eqdep/eq_dep1.ind".
  88
  89 inline procedural "cic:/Coq/Logic/Eqdep/eq_dep1_dep.con" as lemma.
  90
  91 inline procedural "cic:/Coq/Logic/Eqdep/eq_dep_dep1.con" as lemma.
  92
  93 (*#* Invariance by Substitution of Reflexive Equality Proofs *)
  94
  95 inline procedural "cic:/Coq/Logic/Eqdep/eq_rect_eq.con".
  96
  97 (*#* Injectivity of Dependent Equality is a consequence of *)
  98
  99 (*#* Invariance by Substitution of Reflexive Equality Proof *)
 100
 101 inline procedural "cic:/Coq/Logic/Eqdep/eq_dep1_eq.con" as lemma.
 102
 103 inline procedural "cic:/Coq/Logic/Eqdep/eq_dep_eq.con" as lemma.
 104
 105 (* UNEXPORTED
 106 End Dependent_Equality
 107 *)
 108
 109 (*#* Uniqueness of Identity Proofs (UIP) is a consequence of *)
 110
 111 (*#* Injectivity of Dependent Equality *)
 112
 113 inline procedural "cic:/Coq/Logic/Eqdep/UIP.con" as lemma.
 114
 115 (*#* Uniqueness of Reflexive Identity Proofs is a direct instance of UIP *)
 116
 117 inline procedural "cic:/Coq/Logic/Eqdep/UIP_refl.con" as lemma.
 118
 119 (*#* Streicher axiom K is a direct consequence of Uniqueness of
 120     Reflexive Identity Proofs *)
 121
 122 inline procedural "cic:/Coq/Logic/Eqdep/Streicher_K.con" as lemma.
 123
 124 (*#* We finally recover eq_rec_eq (alternatively eq_rect_eq) from K *)
 125
 126 inline procedural "cic:/Coq/Logic/Eqdep/eq_rec_eq.con" as lemma.
 127
 128 (*#* Dependent equality is equivalent to equality on dependent pairs *)
 129
 130 inline procedural "cic:/Coq/Logic/Eqdep/equiv_eqex_eqdep.con" as lemma.
 131
 132 (*#* UIP implies the injectivity of equality on dependent pairs *)
 133
 134 inline procedural "cic:/Coq/Logic/Eqdep/inj_pair2.con" as lemma.
 135
 136 (*#* UIP implies the injectivity of equality on dependent pairs *)
 137
 138 inline procedural "cic:/Coq/Logic/Eqdep/inj_pairT2.con" as lemma.
 139
 140 (*#* The main results to be exported *)
 141
 142 (* UNEXPORTED
 143 Hint Resolve eq_dep_intro eq_dep_eq: core v62.
 144 *)
 145
 146 (* UNEXPORTED
 147 Hint Immediate eq_dep_sym: core v62.
 148 *)
 149
 150 (* UNEXPORTED
 151 Hint Resolve inj_pair2 inj_pairT2: core.
 152 *)
 153