]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - helm/software/matita/dama/constructive_pointfree/lebesgue.ma
0dac6fc9941c991f16cb48c55d3a5e947440db8c
[helm.git] / helm / software / matita / dama / constructive_pointfree / lebesgue.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                              *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15 set "baseuri" "cic:/matita/lebesgue/".
16
17 include "reals.ma".
18 include "lattice.ma".
19
20 axiom ltT : ∀R:real.∀a,b:R.Type.  
21   
22    
23 alias symbol "or" = "constructive or".
24 definition rapart ≝ λR:real.λa,b:R.a < b ∨ b < a. 
25
26 notation "a # b" non associative with precedence 50 for
27  @{ 'apart $a $b}.
28 notation "a \approx b" non associative with precedence 50 for
29  @{ 'napart $a $b}.    
30 interpretation "real apartness" 'apart a b =
31  (cic:/matita/lebesgue/rapart.con _ a b). 
32 interpretation "real non apartness" 'napart a b =
33  (cic:/matita/constructive_connectives/Not.con
34    (cic:/matita/lebesgue/rapart.con _ a b)). 
35
36 record is_semi_metric (R : real) (T : Type) (d : T → T → R): Prop ≝ {
37  sm_positive: ∀a,b:T. d a b ≤ 0; 
38  sm_reflexive: ∀a. d a a ≈ 0;
39  sm_symmetric: ∀a,b. d a b ≈ d b a;
40  sm_tri_ineq: ∀a,b,c:T. d a b ≤ d a c + d c b
41 }.
42
43 record semimetric_set (R : real) : Type ≝ {
44   ms_carr :> Type;
45   ms_semimetric: ms_carr → ms_carr → R;
46   ms_properties:> is_semi_metric R ms_carr ms_semimetric
47 }.
48
49 notation < "\nbsp \delta a \nbsp b" non associative with precedence 80 for @{ 'delta2 $a $b}.
50 interpretation "semimetric" 'delta2 a b = (cic:/matita/lebesgue/ms_semimetric.con _ _ a b).
51 notation "\delta" non associative with precedence 80 for @{ 'delta }.
52 interpretation "semimetric" 'delta = (cic:/matita/lebesgue/ms_semimetric.con _ _).
53
54 record pre_semimetric_lattice (R : real) : Type ≝ {
55   ml_lattice :> lattice;
56   ml_semimetric_set_ : semimetric_set R;
57   with_ml_lattice_eq_ml_semimetric_set_: ms_carr ? ml_semimetric_set_ = ml_lattice
58 }.
59
60 lemma ml_semimetric_set : ∀R.∀ms:pre_semimetric_lattice R. semimetric_set R.
61 intros (R ml); constructor 1; [apply (ml : Type);]
62 cases ml (l ms with_); clear ml; simplify;
63 [1: rewrite < with_; apply (ms_semimetric ? ms);  
64 |2: cases with_; simplify; apply (ms_properties ? ms);]
65 qed.
66
67 coercion cic:/matita/lebesgue/ml_semimetric_set.con.
68
69 record is_semimetric_lattice (R : real) (ml : pre_semimetric_lattice R) : Prop ≝ {
70   prop1a: ∀a : ml.δ (a ∧ a) a ≈ 0;
71   prop1b: ∀a : ml.δ (a ∨ a) a ≈ 0;
72   prop2a: ∀a,b: ml. δ (a ∨ b) (b ∨ a) ≈ 0;
73   prop2b: ∀a,b: ml. δ (a ∧ b) (b ∧ a) ≈ 0;
74   prop3a: ∀a,b,c: ml. δ (a ∨ (b ∨ c)) ((a ∨ b) ∨ c) ≈ 0;
75   prop3b: ∀a,b,c: ml. δ (a ∧ (b ∧ c)) ((a ∧ b) ∧ c) ≈ 0;
76   prop4a: ∀a,b: ml. δ (a ∨ (a ∧ b)) a ≈ 0;
77   prop4b: ∀a,b: ml. δ (a ∧ (a ∨ b)) a ≈ 0;
78   prop5: ∀a,b,c: ml. δ (a ∨ b) (a ∨ c) + δ (a ∧ b) (a ∧ c) ≤ δ b c
79 }. 
80   
81 record semimetric_lattice (R : real) : Type ≝ {
82   ml_pre_semimetric_lattice:> pre_semimetric_lattice R;
83   ml_semimetric_lattice_properties: is_semimetric_lattice R ml_pre_semimetric_lattice
84 }.
85
86 definition apart:= 
87  λR: real. λml: semimetric_lattice R. λa,b: ml. 
88  (* 0 < δ a b *) ltT ? 0 (δ a b).
89  (* < scazzato, ma CSC dice che poi si cambia dopo  *)    
90
91 interpretation "semimetric lattice apartness" 'apart a b =
92  (cic:/matita/lebesgue/apart.con _ _ a b). 
93 interpretation "semimetric lattice non apartness" 'napart a b =
94  (cic:/matita/constructive_connectives/Not.con
95    (cic:/matita/lebesgue/apart.con _ _ a b)).
96   
97
98 lemma triangular_inequality : ∀R: real. ∀ms: semimetric_set R.∀a,b,c:ms.
99  δ a b ≤ δ a c + δ c b.
100 intros (R ms a b c); exact (sm_tri_ineq R ms (ms_semimetric R ms) ms a b c);
101 qed. 
102
103 lemma foo : ∀R: real. ∀ml: semimetric_lattice R.∀a,b,a1,b1: ml. 
104   a ≈ a1 → b ≈ b1 → (δ a b ≈ δ a1 b1).  
105 intros;
106 lapply (triangular_inequality ? ? a b a1) as H1;
107 lapply (triangular_inequality ? ? a1 b b1) as H2;
108 lapply (og_ordered_abelian_group_properties R ? ? (δ a a1) H2) as H3;