helm/software/matita/dama/infsup.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "sandwich_corollary.ma".
  16
  17 (* 3.19 *)
  18 definition supremum ≝
  19   λR.λml:mlattice R.λxn:sequence ml.λx:ml.
  20     increasing ? xn → upper_bound ? xn x ∧ xn ⇝ x.
  21
  22 definition infimum ≝
  23   λR.λml:mlattice R.λxn:sequence ml.λx:ml.
  24     decreasing ? xn → lower_bound ? xn x ∧ xn ⇝ x.
  25
  26 (* 3.20 *)
  27 lemma supremum_uniq:
  28   ∀R.∀ml:mlattice R.∀xn:sequence ml.increasing ? xn → (* BUG again the wrong coercion is chosen *)
  29    ∀x,y:apart_of_metric_space ? ml.supremum ?? xn x → supremum ?? xn y → x ≈ y.
  30 intros (R ml xn Hxn x y Sx Sy);
  31 elim (Sx Hxn) (_ Hx); elim (Sy Hxn) (_ Hy);
  32 apply (tends_uniq ?? xn ?? Hx Hy);
  33 qed.
  34
  35 definition shift : ∀R.∀ml:mlattice R.∀xn:sequence ml.nat → sequence ml ≝
  36  λR.λml:mlattice R.λxn:sequence ml.λm:nat.λn.xn (n+m).
  37
  38 definition ank ≝
  39   λR.λml:mlattice R.λxn:sequence ml.λk:nat.
  40     let rec ank_aux (i : nat) ≝
  41       match i with
  42       [ O ⇒ (shift ?? xn k) O
  43       | S n1 ⇒ (shift ?? xn k) (S n1) ∧ ank_aux n1]
  44     in ank_aux.
  45
  46 definition bnk ≝
  47   λR.λml:mlattice R.λxn:sequence ml.λk:nat.
  48     let rec bnk_aux (i : nat) ≝
  49       match i with
  50       [ O ⇒ (shift ?? xn k) O
  51       | S n1 ⇒ (shift ?? xn k) (S n1) ∨ bnk_aux n1]
  52     in bnk_aux.
  53
  54 lemma ank_decreasing:
  55   ∀R.∀ml:mlattice R.∀xn:sequence ml.∀m.decreasing ? (ank ?? xn m).
  56 intros (R ml xn m); unfold; intro n; simplify; apply lem;
  57 qed.
  58
  59 (* 3.26 *)
  60 lemma ankS:
  61   ∀R.∀ml:mlattice R.∀xn:sequence ml.∀k,n:nat.
  62     ((ank ?? xn k) (S n)) ≈ (xn k ∧ ank ?? xn (S k) n).
  63 intros (R ml xn k n); elim n; simplify; [apply meet_comm]
  64 simplify in H; apply (Eq≈ ? (feq_ml ???? (H))); clear H;
  65 apply (Eq≈ ? (meet_assoc ????));
  66 apply (Eq≈ ?? (eq_sym ??? (meet_assoc ????)));
  67 apply feq_mr; rewrite > sym_plus in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? (? %))));
  68 simplify; rewrite > sym_plus in ⊢ (? ? ? (? ? ? (? (? %))));
  69 apply meet_comm;
  70 qed.
  71
  72
  73