helm/software/matita/dama/integration_algebras.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/integration_algebras/".
  16
  17 include "reals.ma".
  18
  19 record is_vector_space (K: field) (G:abelian_group) (emult:K→G→G) : Prop
  20 ≝
  21  { vs_nilpotent: ∀v. emult 0 v = 0;
  22    vs_neutral: ∀v. emult 1 v = v;
  23    vs_distributive: ∀a,b,v. emult (a + b) v = (emult a v) + (emult b v);
  24    vs_associative: ∀a,b,v. emult (a * b) v = emult a (emult b v)
  25  }.
  26
  27 record vector_space (K:field): Type \def
  28 { vs_abelian_group :> abelian_group;
  29   emult: K → vs_abelian_group → vs_abelian_group;
  30   vs_vector_space_properties :> is_vector_space K vs_abelian_group emult
  31 }.
  32
  33 interpretation "Vector space external product" 'times a b =
  34  (cic:/matita/integration_algebras/emult.con _ _ a b).
  35
  36 record is_semi_norm (R:real) (V: vector_space R)
  37  (semi_norm:Type_OF_vector_space ? V→R) : Prop
  38 \def
  39  { sn_positive: ∀x:V. 0 ≤ semi_norm x;
  40    sn_omogeneous: ∀a:R.∀x:V. semi_norm (a*x) = (abs ? a) * semi_norm x;
  41    sn_triangle_inequality: ∀x,y:V. semi_norm (x + y) ≤ semi_norm x + semi_norm y
  42  }.
  43
  44 record is_norm (R:real) (V:vector_space R) (norm:Type_OF_vector_space ? V → R)
  45  : Prop \def
  46  { n_semi_norm:> is_semi_norm ? ? norm;
  47    n_properness: ∀x:V. norm x = 0 → x = 0
  48  }.
  49
  50 record is_lattice (C:Type) (join,meet:C→C→C) : Prop \def
  51  { (* abelian semigroup properties *)
  52    l_comm_j: symmetric ? join;
  53    l_associative_j: associative ? join;
  54    l_comm_m: symmetric ? meet;
  55    l_associative_m: associative ? meet;
  56    (* other properties *)
  57    l_adsorb_j_m: ∀f,g. join f (meet f g) = f;
  58    l_adsorb_m_j: ∀f,g. meet f (join f g) = f
  59  }.
  60
  61 record lattice (C:Type) : Type \def
  62  { join: C → C → C;
  63    meet: C → C → C;
  64    l_lattice_properties: is_lattice ? join meet
  65  }.
  66
  67 definition le \def λC:Type.λL:lattice C.λf,g. meet ? L f g = f.
  68
  69 interpretation "Lattice le" 'leq a b =
  70  (cic:/matita/integration_algebras/le.con _ _ a b).
  71
  72 definition carrier_of_lattice ≝
  73  λC:Type.λL:lattice C.C.
  74
  75 record is_riesz_space (K:ordered_field_ch0) (V:vector_space K)
  76  (L:lattice (Type_OF_vector_space ? V))
  77 : Prop
  78 \def
  79  { rs_compat_le_plus: ∀f,g,h. le ? L f g → le ? L (f+h) (g+h);
  80    rs_compat_le_times: ∀a:K.∀f. of_le ? 0 a → le ? L 0 f → le ? L 0 (a*f)
  81  }.
  82
  83 record riesz_space (K:ordered_field_ch0) : Type \def
  84  { rs_vector_space:> vector_space K;
  85    rs_lattice:> lattice rs_vector_space;
  86    rs_riesz_space_properties: is_riesz_space ? rs_vector_space rs_lattice
  87  }.
  88
  89 definition absolute_value \def λK.λS:riesz_space K.λf.join ? S f (-f).
  90
  91 record is_archimedean_riesz_space (K) (S:riesz_space K) : Prop
  92 \def
  93   { ars_archimedean: ∃u.∀n.∀a.∀p:n > O.
  94      le ? S
  95       (absolute_value ? S a)
  96       (emult ? S
  97         (inv ? (sum_field K n) (not_eq_sum_field_zero ? n p))
  98         u) →
  99      a = 0
 100   }.
 101
 102 record archimedean_riesz_space (K:ordered_field_ch0) : Type \def
 103  { ars_riesz_space:> riesz_space K;
 104    ars_archimedean_property: is_archimedean_riesz_space ? ars_riesz_space
 105  }.
 106
 107 record is_integral (K) (R:archimedean_riesz_space K) (I:Type_OF_archimedean_riesz_space ? R→K) : Prop
 108 \def
 109  { i_positive: ∀f:R. le ? R 0 f → of_le K 0 (I f);
 110    i_linear1: ∀f,g:R. I (f + g) = I f + I g;
 111    i_linear2: ∀f:R.∀k:K. I (emult ? R k f) = k*(I f)
 112  }.
 113
 114 definition is_weak_unit ≝
 115 (* This definition is by Spitters. He cites Fremlin 353P, but:
 116    1. that theorem holds only in f-algebras (as in Spitters, but we are
 117       defining it on Riesz spaces)
 118    2. Fremlin proves |x|/\u=0 \to u=0. How do we remove the absolute value?
 119  λR:real.λV:archimedean_riesz_space R.λunit: V.
 120   ∀x:V. meet x unit = 0 → u = 0.
 121 *) λR:real.λV:archimedean_riesz_space R.λe:V.True.
 122
 123 record integration_riesz_space (R:real) : Type \def
 124  { irs_archimedean_riesz_space:> archimedean_riesz_space R;
 125    irs_unit: Type_OF_archimedean_riesz_space ? irs_archimedean_riesz_space;
 126    irs_weak_unit: is_weak_unit ? ? irs_unit;
 127    integral: Type_OF_archimedean_riesz_space ? irs_archimedean_riesz_space → R;
 128    irs_integral_properties: is_integral R irs_archimedean_riesz_space integral;
 129    irs_limit1:
 130     ∀f:irs_archimedean_riesz_space.
 131      tends_to ?
 132       (λn.integral (meet ? irs_archimedean_riesz_space f
 133        ((sum_field R n)*irs_unit)))
 134        (integral f);
 135    irs_limit2:
 136     ∀f:irs_archimedean_riesz_space.
 137      tends_to ?
 138       (λn.
 139         integral (meet ? irs_archimedean_riesz_space f
 140          ((inv ? (sum_field R (S n))
 141            (not_eq_sum_field_zero R (S n) (le_S_S O n (le_O_n n)))
 142          ) * irs_unit))) 0;
 143    irs_quotient_space1:
 144     ∀f,g:irs_archimedean_riesz_space.
 145      f=g → integral (absolute_value ? irs_archimedean_riesz_space (f - g)) = 0
 146  }.
 147
 148 record is_algebra (K: field) (V:vector_space K) (mult:V→V→V) (one:V) : Prop
 149 ≝
 150  { (* ring properties *)
 151    a_ring: is_ring V mult one;
 152    (* algebra properties *)
 153    a_associative_left: ∀a,f,g. a * (mult f g) = mult (a * f) g;
 154    a_associative_right: ∀a,f,g. a * (mult f g) = mult f (a * g)
 155  }.
 156
 157 record algebra (K: field) (V:vector_space K) (a_one:V) : Type \def
 158  { a_mult: V → V → V;
 159    a_algebra_properties: is_algebra K V a_mult a_one
 160  }.
 161
 162 interpretation "Algebra product" 'times a b =
 163  (cic:/matita/integration_algebras/a_mult.con _ _ _ a b).
 164
 165 definition ring_of_algebra ≝
 166  λK.λV:vector_space K.λone:Type_OF_vector_space ? V.λA:algebra ? V one.
 167   mk_ring V (a_mult ? ? ? A) one
 168    (a_ring ? ? ? ? (a_algebra_properties ? ? ? A)).
 169
 170 coercion cic:/matita/integration_algebras/ring_of_algebra.con.
 171
 172 record is_f_algebra (K) (S:archimedean_riesz_space K) (one: S)
 173  (A:algebra ? S one) : Prop
 174 \def
 175 { compat_mult_le:
 176    ∀f,g:S.
 177     le ? S 0 f → le ? S 0 g → le ? S 0 (a_mult ? ? ? A f g);
 178   compat_mult_meet:
 179    ∀f,g,h:S.
 180     meet ? S f g = 0 → meet ? S (a_mult ? ? ? A h f) g = 0
 181 }.
 182
 183 record f_algebra (K:ordered_field_ch0) (R:archimedean_riesz_space K)
 184  (one:Type_OF_archimedean_riesz_space ? R) :
 185 Type \def
 186 { fa_algebra:> algebra ? R one;
 187   fa_f_algebra_properties: is_f_algebra ? ? ? fa_algebra
 188 }.
 189
 190 (* to be proved; see footnote 2 in the paper by Spitters *)
 191 axiom symmetric_a_mult:
 192  ∀K,R,one.∀A:f_algebra K R one. symmetric ? (a_mult ? ? ? A).
 193
 194 (* Here we are avoiding a construction (the quotient space to define
 195    f=g iff I(|f-g|)=0 *)
 196 record integration_f_algebra (R:real) : Type \def
 197  { ifa_integration_riesz_space:> integration_riesz_space R;
 198    ifa_f_algebra:>
 199     f_algebra ? ifa_integration_riesz_space
 200      (irs_unit ? ifa_integration_riesz_space)
 201  }.