helm/software/matita/dama/integration_algebras.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/integration_algebras/".
  16
  17 include "reals.ma".
  18
  19 record is_vector_space (K: field) (G:abelian_group) (emult:K→G→G) : Prop
  20 ≝
  21  { vs_nilpotent: ∀v. emult 0 v = 0;
  22    vs_neutral: ∀v. emult 1 v = v;
  23    vs_distributive: ∀a,b,v. emult (a + b) v = (emult a v) + (emult b v);
  24    vs_associative: ∀a,b,v. emult (a * b) v = emult a (emult b v)
  25  }.
  26
  27 record vector_space (K:field): Type \def
  28 { vs_abelian_group :> abelian_group;
  29   emult: K → vs_abelian_group → vs_abelian_group;
  30   vs_vector_space_properties :> is_vector_space K vs_abelian_group emult
  31 }.
  32
  33 interpretation "Vector space external product" 'times a b =
  34  (cic:/matita/integration_algebras/emult.con _ _ a b).
  35
  36 record is_lattice (C:Type) (join,meet:C→C→C) : Prop \def
  37  { (* abelian semigroup properties *)
  38    l_comm_j: symmetric ? join;
  39    l_associative_j: associative ? join;
  40    l_comm_m: symmetric ? meet;
  41    l_associative_m: associative ? meet;
  42    (* other properties *)
  43    l_adsorb_j_m: ∀f,g. join f (meet f g) = f;
  44    l_adsorb_m_j: ∀f,g. meet f (join f g) = f
  45  }.
  46
  47 record lattice (C:Type) : Type \def
  48  { join: C → C → C;
  49    meet: C → C → C;
  50    l_lattice_properties: is_lattice ? join meet
  51  }.
  52
  53 definition le \def λC:Type.λL:lattice C.λf,g. meet ? L f g = f.
  54
  55 interpretation "Lattice le" 'leq a b =
  56  (cic:/matita/integration_algebras/le.con _ _ a b).
  57
  58 definition carrier_of_lattice ≝
  59  λC:Type.λL:lattice C.C.
  60
  61 record is_riesz_space (K:ordered_field_ch0) (V:vector_space K)
  62  (L:lattice (Type_OF_vector_space ? V))
  63 : Prop
  64 \def
  65  { rs_compat_le_plus: ∀f,g,h. le ? L f g → le ? L (f+h) (g+h);
  66    rs_compat_le_times: ∀a:K.∀f. of_le ? 0 a → le ? L 0 f → le ? L 0 (a*f)
  67  }.
  68
  69 record riesz_space (K:ordered_field_ch0) : Type \def
  70  { rs_vector_space:> vector_space K;
  71    rs_lattice:> lattice rs_vector_space;
  72    rs_riesz_space_properties: is_riesz_space ? rs_vector_space rs_lattice
  73  }.
  74
  75 definition absolute_value \def λK.λS:riesz_space K.λf.join ? S f (-f).
  76
  77 record is_archimedean_riesz_space (K) (S:riesz_space K) : Prop
  78 \def
  79   { ars_archimedean: ∃u.∀n.∀a.∀p:n > O.
  80      le ? S
  81       (absolute_value ? S a)
  82       (emult ? S
  83         (inv ? (sum_field K n) (not_eq_sum_field_zero ? n p))
  84         u) →
  85      a = 0
  86   }.
  87
  88 record archimedean_riesz_space (K:ordered_field_ch0) : Type \def
  89  { ars_riesz_space:> riesz_space K;
  90    ars_archimedean_property: is_archimedean_riesz_space ? ars_riesz_space
  91  }.
  92
  93 record is_algebra (K: field) (V:vector_space K) (mult:V→V→V) (one:V) : Prop
  94 ≝
  95  { (* ring properties *)
  96    a_ring: is_ring V mult one;
  97    (* algebra properties *)
  98    a_associative_left: ∀a,f,g. a * (mult f g) = mult (a * f) g;
  99    a_associative_right: ∀a,f,g. a * (mult f g) = mult f (a * g)
 100  }.
 101
 102 record algebra (K: field) (V:vector_space K) : Type \def
 103  { a_mult: V → V → V;
 104    a_one: V;
 105    a_algebra_properties: is_algebra K V a_mult a_one
 106  }.
 107
 108 interpretation "Algebra product" 'times a b =
 109  (cic:/matita/integration_algebras/a_mult.con _ _ _ a b).
 110
 111 interpretation "Algebra one" 'one =
 112  (cic:/matita/integration_algebras/a_one.con _ _ _).
 113
 114 definition ring_of_algebra ≝
 115  λK.λV:vector_space K.λA:algebra ? V.
 116   mk_ring V (a_mult ? ? A) (a_one ? ? A)
 117    (a_ring ? ? ? ? (a_algebra_properties ? ? A)).
 118
 119 coercion cic:/matita/integration_algebras/ring_of_algebra.con.
 120
 121 record is_f_algebra (K) (S:archimedean_riesz_space K) (A:algebra ? S) : Prop
 122 \def
 123 { compat_mult_le:
 124    ∀f,g:S.
 125     le ? S 0 f → le ? S 0 g → le ? S 0 (a_mult ? ? A f g);
 126   compat_mult_meet:
 127    ∀f,g,h:S.
 128     meet ? S f g = 0 → meet ? S (a_mult ? ? A h f) g = 0
 129 }.
 130
 131 record f_algebra (K:ordered_field_ch0) : Type \def
 132 { fa_archimedean_riesz_space:> archimedean_riesz_space K;
 133   fa_algebra:> algebra ? fa_archimedean_riesz_space;
 134   fa_f_algebra_properties: is_f_algebra ? fa_archimedean_riesz_space fa_algebra
 135 }.
 136
 137 (* to be proved; see footnote 2 in the paper by Spitters *)
 138 axiom symmetric_a_mult: ∀K.∀A:f_algebra K. symmetric ? (a_mult ? ? A).
 139
 140
 141 definition tends_to : ∀F:ordered_field_ch0.∀f:nat→F.∀l:F.Prop.
 142  alias symbol "leq" = "Ordered field le".
 143  alias id "le" = "cic:/matita/nat/orders/le.ind#xpointer(1/1)".
 144  apply
 145   (λF:ordered_field_ch0.λf:nat → F.λl:F.
 146     ∀n:nat.∃m:nat.∀j:nat. le m j →
 147      l - (inv F (sum_field F (S n)) ?) ≤ f j ∧
 148      f j ≤ l + (inv F (sum_field F (S n)) ?));
 149  apply not_eq_sum_field_zero;
 150  unfold;
 151  auto new.
 152 qed.
 153
 154 record is_integral (K) (A:f_algebra K) (I:Type_OF_f_algebra ? A→K) : Prop
 155 \def
 156  { i_positive: ∀f:Type_OF_f_algebra ? A. le ? (lattice_OF_f_algebra ? A) 0 f → of_le K 0 (I f);
 157    i_linear1: ∀f,g:Type_OF_f_algebra ? A. I (f + g) = I f + I g;
 158    i_linear2: ∀f:A.∀k:K. I (emult ? A k f) = k*(I f)
 159  }.
 160
 161 (* Here we are avoiding a construction (the quotient space to define
 162    f=g iff I(|f-g|)=0 *)
 163 record is_integration_f_algebra (K) (A:f_algebra K) (I:Type_OF_f_algebra ? A→K) : Prop
 164 \def
 165  { ifa_integral: is_integral ? ? I;
 166    ifa_limit1:
 167     ∀f:A. tends_to ? (λn.I(meet ? A f ((sum_field K n)*(a_one ? ? A)))) (I f);
 168    ifa_limit2:
 169     ∀f:A.
 170      tends_to ?
 171       (λn.
 172         I (meet ? A f
 173          ((inv ? (sum_field K (S n))
 174            (not_eq_sum_field_zero K (S n) (le_S_S O n (le_O_n n)))
 175          ) * (a_one ? ? A)))) 0;
 176    ifa_quotient_space1:
 177     ∀f,g:A. f=g → I(absolute_value ? A (f - g)) = 0
 178  }.