helm/software/matita/dama/lattice.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "excess.ma".
  16
  17 record semi_lattice_base : Type ≝ {
  18   sl_carr:> apartness;
  19   sl_op: sl_carr → sl_carr → sl_carr;
  20   sl_op_refl: ∀x.sl_op x x ≈ x;
  21   sl_op_comm: ∀x,y:sl_carr. sl_op x y ≈ sl_op y x;
  22   sl_op_assoc: ∀x,y,z:sl_carr. sl_op x (sl_op y z) ≈ sl_op (sl_op x y) z;
  23   sl_strong_extop: ∀x.strong_ext ? (sl_op x)
  24 }.
  25
  26 notation "a \cross b" left associative with precedence 50 for @{ 'op $a $b }.
  27 interpretation "semi lattice base operation" 'op a b = (cic:/matita/lattice/sl_op.con _ a b).
  28
  29 lemma excess_of_semi_lattice_base: semi_lattice_base → excess.
  30 intro l;
  31 apply mk_excess;
  32 [1: apply mk_excess_;
  33     [1: apply mk_excess_dual_smart;
  34
  35   apply (mk_excess_base (sl_carr l));
  36     [1: apply (λa,b:sl_carr l.a # (a ✗ b));
  37     |2: unfold; intros 2 (x H); simplify in H;
  38         lapply (Ap≪ ? (sl_op_refl ??) H) as H1; clear H;
  39         apply (ap_coreflexive ?? H1);
  40     |3: unfold; simplify; intros (x y z H1);
  41         cases (ap_cotransitive ??? ((x ✗ z) ✗ y) H1) (H2 H2);[2:
  42           lapply (Ap≪ ? (sl_op_comm ???) H2) as H21;
  43           lapply (Ap≫ ? (sl_op_comm ???) H21) as H22; clear H21 H2;
  44           lapply (sl_strong_extop ???? H22); clear H22;
  45           left; apply ap_symmetric; assumption;]
  46         cases (ap_cotransitive ??? (x ✗ z) H2) (H3 H3);[left;assumption]
  47         right; lapply (Ap≫ ? (sl_op_assoc ????) H3) as H31;
  48         apply (sl_strong_extop ???? H31);]
  49
  50     |2:
  51     apply apartness_of_excess_base;
  52
  53   apply (mk_excess_base (sl_carr l));
  54     [1: apply (λa,b:sl_carr l.a # (a ✗ b));
  55     |2: unfold; intros 2 (x H); simplify in H;
  56         lapply (Ap≪ ? (sl_op_refl ??) H) as H1; clear H;
  57         apply (ap_coreflexive ?? H1);
  58     |3: unfold; simplify; intros (x y z H1);
  59         cases (ap_cotransitive ??? ((x ✗ z) ✗ y) H1) (H2 H2);[2:
  60           lapply (Ap≪ ? (sl_op_comm ???) H2) as H21;
  61           lapply (Ap≫ ? (sl_op_comm ???) H21) as H22; clear H21 H2;
  62           lapply (sl_strong_extop ???? H22); clear H22;
  63           left; apply ap_symmetric; assumption;]
  64         cases (ap_cotransitive ??? (x ✗ z) H2) (H3 H3);[left;assumption]
  65         right; lapply (Ap≫ ? (sl_op_assoc ????) H3) as H31;
  66         apply (sl_strong_extop ???? H31);]
  67
  68     |3: apply refl_eq;]
  69 |2,3: intros (x y H); assumption;]
  70 qed.
  71
  72 record semi_lattice : Type ≝ {
  73   sl_exc:> excess;
  74   sl_meet: sl_exc → sl_exc → sl_exc;
  75   sl_meet_refl: ∀x.sl_meet x x ≈ x;
  76   sl_meet_comm: ∀x,y. sl_meet x y ≈ sl_meet y x;
  77   sl_meet_assoc: ∀x,y,z. sl_meet x (sl_meet y z) ≈ sl_meet (sl_meet x y) z;
  78   sl_strong_extm: ∀x.strong_ext ? (sl_meet x);
  79   sl_le_to_eqm: ∀x,y.x ≤ y → x ≈ sl_meet x y;
  80   sl_lem: ∀x,y.(sl_meet x y) ≤ y
  81 }.
  82
  83 interpretation "semi lattice meet" 'and a b = (cic:/matita/lattice/sl_meet.con _ a b).
  84
  85 lemma sl_feq_ml: ∀ml:semi_lattice.∀a,b,c:ml. a ≈ b → (c ∧ a) ≈ (c ∧ b).
  86 intros (l a b c H); unfold eq in H ⊢ %; unfold Not in H ⊢ %;
  87 intro H1; apply H; clear H; apply (sl_strong_extm ???? H1);
  88 qed.
  89
  90 lemma sl_feq_mr: ∀ml:semi_lattice.∀a,b,c:ml. a ≈ b → (a ∧ c) ≈ (b ∧ c).
  91 intros (l a b c H);
  92 apply (Eq≈ ? (sl_meet_comm ???)); apply (Eq≈ ?? (sl_meet_comm ???));
  93 apply sl_feq_ml; assumption;
  94 qed.
  95
  96
  97 (*
  98 lemma semi_lattice_of_semi_lattice_base: semi_lattice_base → semi_lattice.
  99 intro slb; apply (mk_semi_lattice (excess_of_semi_lattice_base slb));
 100 [1: apply (sl_op slb);
 101 |2: intro x; apply (eq_trans (excess_of_semi_lattice_base slb)); [2:
 102       apply (sl_op_refl slb);|1:skip] (sl_op slb x x)); ? (sl_op_refl slb x));
 103
 104  unfold excess_of_semi_lattice_base; simplify;
 105     intro H; elim H;
 106     [
 107
 108
 109     lapply (ap_rewl (excess_of_semi_lattice_base slb) x ? (sl_op slb x x)
 110       (eq_sym (excess_of_semi_lattice_base slb) ?? (sl_op_refl slb x)) t);
 111     change in x with (sl_carr slb);
 112     apply (Ap≪ (x ✗ x)); (sl_op_refl slb x));
 113
 114 whd in H; elim H; clear H;
 115     [ apply (ap_coreflexive (excess_of_semi_lattice_base slb) (x ✗ x) t);
 116
 117 prelattice (excess_of_directed l_)); [apply (sl_op l_);]
 118 unfold excess_of_directed; try unfold apart_of_excess; simplify;
 119 unfold excl; simplify;
 120 [intro x; intro H; elim H; clear H;
 121  [apply (sl_op_refl l_ x);
 122   lapply (Ap≫ ? (sl_op_comm ???) t) as H; clear t;
 123   lapply (sl_strong_extop l_ ??? H); apply ap_symmetric; assumption
 124  | lapply (Ap≪ ? (sl_op_refl ?x) t) as H; clear t;
 125    lapply (sl_strong_extop l_ ??? H); apply (sl_op_refl l_ x);
 126    apply ap_symmetric; assumption]
 127 |intros 3 (x y H); cases H (H1 H2); clear H;
 128  [lapply (Ap≪ ? (sl_op_refl ? (sl_op l_ x y)) H1) as H; clear H1;
 129   lapply (sl_strong_extop l_ ??? H) as H1; clear H;
 130   lapply (Ap≪ ? (sl_op_comm ???) H1); apply (ap_coreflexive ?? Hletin);
 131  |lapply (Ap≪ ? (sl_op_refl ? (sl_op l_ y x)) H2) as H; clear H2;
 132   lapply (sl_strong_extop l_ ??? H) as H1; clear H;
 133   lapply (Ap≪ ? (sl_op_comm ???) H1);apply (ap_coreflexive ?? Hletin);]
 134 |intros 4 (x y z H); cases H (H1 H2); clear H;
 135  [lapply (Ap≪ ? (sl_op_refl ? (sl_op l_ x (sl_op l_ y z))) H1) as H; clear H1;
 136   lapply (sl_strong_extop l_ ??? H) as H1; clear H;
 137   lapply (Ap≪ ? (eq_sym ??? (sl_op_assoc ?x y z)) H1) as H; clear H1;
 138   apply (ap_coreflexive ?? H);
 139  |lapply (Ap≪ ? (sl_op_refl ? (sl_op l_ (sl_op l_ x y) z)) H2) as H; clear H2;
 140   lapply (sl_strong_extop l_ ??? H) as H1; clear H;
 141   lapply (Ap≪ ? (sl_op_assoc ?x y z) H1) as H; clear H1;
 142   apply (ap_coreflexive ?? H);]
 143 |intros (x y z H); elim H (H1 H1); clear H;
 144  lapply (Ap≪ ? (sl_op_refl ??) H1) as H; clear H1;
 145  lapply (sl_strong_extop l_ ??? H) as H1; clear H;
 146  lapply (sl_strong_extop l_ ??? H1) as H; clear H1;
 147  cases (ap_cotransitive ??? (sl_op l_ y z) H);[left|right|right|left] try assumption;
 148  [apply ap_symmetric;apply (Ap≪ ? (sl_op_comm ???));
 149  |apply (Ap≫ ? (sl_op_comm ???));
 150  |apply ap_symmetric;] assumption;
 151 |intros 4 (x y H H1); apply H; clear H; elim H1 (H H);
 152  lapply (Ap≪ ? (sl_op_refl ??) H) as H1; clear H;
 153  lapply (sl_strong_extop l_ ??? H1) as H; clear H1;[2: apply ap_symmetric]
 154  assumption
 155 |intros 3 (x y H);
 156  cut (sl_op l_ x y ≈ sl_op l_ x (sl_op l_ y y)) as H1;[2:
 157    intro; lapply (sl_strong_extop ???? a); apply (sl_op_refl l_ y);
 158    apply ap_symmetric; assumption;]
 159  lapply (Ap≪ ? (eq_sym ??? H1) H); apply (sl_op_assoc l_ x y y);
 160  assumption; ]
 161 qed.
 162 *)
 163
 164 (* ED(≰,≱) → EB(≰') → ED(≰',≱') *)
 165 lemma subst_excess_base: excess_dual → excess_base → excess_dual.
 166 intros; apply (mk_excess_dual_smart e1);
 167 qed.
 168
 169 (* E_(ED(≰,≱),AP(#),c ED = c AP) → ED' → c DE' = c E_ → E_(ED',#,p) *)
 170 lemma subst_dual_excess: ∀e:excess_.∀e1:excess_dual.exc_carr e = exc_carr e1 → excess_.
 171 intros (e e1 p); apply (mk_excess_ e1 e); cases p; reflexivity;
 172 qed.
 173
 174 (* E(E_,H1,H2) → E_' → H1' → H2' → E(E_',H1',H2') *)
 175 alias symbol "nleq" = "Excess excess_".
 176 lemma subst_excess_: ∀e:excess. ∀e1:excess_.
 177   (∀y,x:e1. y # x → y ≰ x ∨ x ≰ y) →
 178   (∀y,x:e1.y ≰ x ∨ x ≰ y →  y # x) →
 179   excess.
 180 intros (e e1 H1 H2); apply (mk_excess e1 H1 H2);
 181 qed.
 182
 183 (* SL(E,M,H2-5(#),H67(≰)) → E' → c E = c E' → H67'(≰') → SL(E,M,p2-5,H67') *)
 184 lemma subst_excess:
 185   ∀l:semi_lattice.
 186   ∀e:excess.
 187   ∀p:exc_ap l = exc_ap e.
 188   (∀x,y:e.(le (exc_dual_base e)) x y → x ≈ (?(sl_meet l)) x y) →
 189   (∀x,y:e.(le (exc_dual_base e)) ((?(sl_meet l)) x y) y) →
 190   semi_lattice.
 191 [1,2:intro M;
 192  change with ((λx.ap_carr x) e -> (λx.ap_carr x) e -> (λx.ap_carr x) e);
 193  cases p; apply M;
 194 |intros (l e p H1 H2);
 195  apply (mk_semi_lattice e);
 196    [ change with ((λx.ap_carr x) e -> (λx.ap_carr x) e -> (λx.ap_carr x) e);
 197      cases p; simplify; apply (sl_meet l);
 198    |2: change in ⊢ (% → ?) with ((λx.ap_carr x) e); cases p; simplify; apply sl_meet_refl;
 199    |3: change in ⊢ (% → % → ?) with ((λx.ap_carr x) e); cases p; simplify; apply sl_meet_comm;
 200    |4: change in ⊢ (% → % → % → ?) with ((λx.ap_carr x) e); cases p; simplify; apply sl_meet_assoc;
 201    |5: change in ⊢ (% → ?) with ((λx.ap_carr x) e); cases p; simplify; apply sl_strong_extm;
 202    |6: clear H2; apply H1;
 203    |7: clear H1; apply H2;]]
 204 qed.
 205
 206 lemma excess_of_excess_base: excess_base → excess.
 207 intro eb;
 208 apply mk_excess;
 209   [apply (mk_excess_ (mk_excess_dual_smart eb));
 210     [apply (apartness_of_excess_base eb);
 211     |reflexivity]
 212   |2,3: intros; assumption]
 213 qed.
 214
 215 lemma subst_excess_preserves_aprtness:
 216   ∀l:semi_lattice.
 217   ∀e:excess.
 218   ∀p,H1,H2.
 219   exc_ap l = exc_ap (subst_excess l e p H1 H2).
 220 intros;
 221 unfold subst_excess;
 222 simplify; assumption;
 223 qed.
 224
 225
 226 lemma subst_excess__preserves_aprtness:
 227   ∀l:excess.
 228   ∀e:excess_base.
 229   ∀p,H1,H2.
 230   exc_ap l = apartness_OF_excess (subst_excess_ l (subst_dual_excess l (subst_excess_base l e) p) H1 H2).
 231 intros 3; (unfold subst_excess_; unfold subst_dual_excess; unfold subst_excess_base; unfold exc_ap; unfold mk_excess_dual_smart; simplify);
 232 (unfold subst_excess_base in p; unfold mk_excess_dual_smart in p; simplify in p);
 233 intros; cases p;
 234 reflexivity;
 235 qed.
 236
 237 lemma subst_excess_base_in_excess_:
 238   ∀d:excess_.
 239   ∀eb:excess_base.
 240   ∀p:exc_carr d = exc_carr eb.
 241   excess_.
 242 intros (e_ eb);
 243 apply (subst_dual_excess e_);
 244   [apply (subst_excess_base e_ eb);
 245   |assumption]
 246 qed.
 247
 248 definition hole ≝ λT:Type.λx:T.x.
 249
 250 notation < "\ldots" non associative with precedence 50 for @{'hole}.
 251 interpretation "hole" 'hole = (cic:/matita/lattice/hole.con _ _).
 252
 253 lemma subst_excess_base_in_excess:
 254   ∀d:excess.
 255   ∀eb:excess_base.
 256   ∀p:exc_carr d = exc_carr eb.
 257   (∀y1,x1:eb. (?(ap_apart d)) y1  x1 → y1 ≰ x1 ∨ x1 ≰ y1) →
 258   (∀y2,x2:eb.y2 ≰ x2 ∨ x2 ≰ y2 →  (?(ap_apart d)) y2 x2) →
 259   excess.
 260 [1,3,4:apply Type|2,5:intro f; cases p; apply f]
 261 intros (d eb p H1 H2);
 262 apply (subst_excess_ d);
 263   [apply (subst_excess_base_in_excess_ d eb p);
 264   |apply hole; clear H2;
 265    change in ⊢ (%→%→?) with (exc_carr eb);
 266    change in ⊢ (?→?→?→? (? % ? ?) (? % ? ?)) with eb; intros (y x H3);
 267    apply H1; generalize in match H3;
 268    unfold ap_apart; unfold subst_excess_base_in_excess_;
 269    unfold subst_dual_excess; simplify;
 270    generalize in match x;
 271    generalize in match y;
 272    cases p; simplify; intros; assumption;
 273   |apply hole; clear H1;
 274    change in ⊢ (%→%→?) with (exc_carr eb);
 275    change in ⊢ (?→?→? (? % ? ?) (? % ? ?)→?) with eb; intros (y x H3);
 276    unfold ap_apart; unfold subst_excess_base_in_excess_;
 277    unfold subst_dual_excess; simplify; generalize in match (H2 ?? H3);
 278    generalize in match x; generalize in match y; cases p;
 279    intros; assumption;]
 280 qed.
 281
 282 lemma tech1: ∀e:excess.
 283  ∀eb:excess_base.
 284  ∀p,H1,H2.
 285  exc_ap e = exc_ap_  (subst_excess_base_in_excess e eb p H1 H2).
 286 intros (e eb p H1 H2);
 287 unfold subst_excess_base_in_excess;
 288 unfold subst_excess_; simplify;
 289 unfold subst_excess_base_in_excess_;
 290 unfold subst_dual_excess; simplify; reflexivity;
 291 qed.
 292
 293 lemma tech2:
 294  ∀e:excess_.∀eb.∀p.
 295   exc_ap e = exc_ap (mk_excess_ (subst_excess_base e eb) (exc_ap e) p).
 296 intros (e eb p);unfold exc_ap; simplify; cases p; simplify; reflexivity;
 297 qed.
 298
 299 (*
 300 lemma eq_fap:
 301  ∀a1,b1,a2,b2,a3,b3,a4,b4,a5,b5.
 302  a1=b1 → a2=b2 → a3=b3 → a4=b4 → a5=b5 → mk_apartness a1 a2 a3 a4 a5 = mk_apartness b1 b2 b3 b4 b5.
 303 intros; cases H; cases H1; cases H2; cases H3; cases H4; reflexivity;
 304 qed.
 305 *)
 306
 307 lemma subst_excess_base_in_excess_preserves_apartness:
 308  ∀e:excess.
 309  ∀eb:excess_base.
 310  ∀H,H1,H2.
 311  apartness_OF_excess e =
 312  apartness_OF_excess (subst_excess_base_in_excess e eb H H1 H2).
 313 intros (e eb p H1 H2);
 314 unfold subst_excess_base_in_excess;
 315 unfold subst_excess_; unfold subst_excess_base_in_excess_;
 316 unfold subst_dual_excess; unfold apartness_OF_excess;
 317 simplify in ⊢ (? ? ? (? %));
 318 rewrite < (tech2 e eb);
 319 reflexivity;
 320 qed.
 321
 322 alias symbol "nleq" = "Excess base excess".
 323 lemma subst_excess_base_in_semi_lattice:
 324   ∀sl:semi_lattice.
 325   ∀eb:excess_base.
 326   ∀p:exc_carr sl = exc_carr eb.
 327   (∀y1,x1:eb. (?(ap_apart sl)) y1  x1 → y1 ≰ x1 ∨ x1 ≰ y1) →
 328   (∀y2,x2:eb.y2 ≰ x2 ∨ x2 ≰ y2 →  (?(ap_apart sl)) y2 x2) →
 329   (∀x3,y3:eb.(le eb) x3 y3 → (?(eq sl)) x3 ((?(sl_meet sl)) x3 y3)) →
 330   (∀x4,y4:eb.(le eb) ((?(sl_meet sl)) x4 y4) y4) →
 331   semi_lattice.
 332 [2:apply Prop|3,7,9,10:apply Type|4:apply (exc_carr eb)|1,5,6,8,11:intro f; cases p; apply f;]
 333 intros (sl eb H H1 H2 H3 H4);
 334 apply (subst_excess sl);
 335   [apply (subst_excess_base_in_excess sl eb H H1 H2);
 336   |apply subst_excess_base_in_excess_preserves_apartness;
 337   |
 338   unfold apartness_OF_semi_lattice;
 339    letin xxx \def subst_excess_preserves_aprtness; clearbody xxx;
 340
 341
 342   clear H3 H4; unfold apartness_OF_semi_lattice;
 343    generalize in match (sl_exc sl);
 344    intro; whd in \vdash (? ? ? %); unfold in ⊢ (? ? ? (? ? match ? (? %) return ? with [_⇒?] ? ? ?));
 345
 346
 347
 348   apply (subst_excess__preserves_aprtness (sl_exc sl) eb H H1 H2);
 349   | (clear H4;change in ⊢ (%→%→?) with (exc_carr eb);change in ⊢ (?→?→? % ? ?→?) with eb; simplify);
 350     intros 3 (x y LE);
 351     (generalize in ⊢ (? (? (? ? ? % ?)) ? ?); intro P1);
 352     (generalize in ⊢ (? (? (? ? ? ? %)) ? ?); intro P2);
 353     generalize in match (H3 x y LE);
 354     generalize in match x as x;
 355     generalize in match y as y;
 356     generalize in ⊢ (?→?→?→? (? (? ? ? % ?)) ? ?); intro P1;
 357     generalize in ⊢ (?→?→?→? (? (? ? ? ? %)) ? ?); intro P2;
 358     change (%->?) with (ap_carr ());
 359
 360     cases H;
 361
 362     lapply (pippo sl eb H P1 P2);
 363     rewrite > Hletin;
 364     intros (x y H5); generalize in match (H3 x y H5); clear H4;
 365     generalize in ⊢ (?→? (? (? ? ? % ?)) ? ?); intro P;
 366     generalize in ⊢ (?→? (? (? ? ? ? %)) ? ?); intro Q;
 367
 368
 369     change in ⊢ (?→? (? (? ? (? % ? ?) ? ?)) ? ?) with ((λx.excess_carr x) sl); simplify;
 370     change in ⊢ (?→? (? (? ? (? ? (? % ?) ?) ? ?)) ? ?) with ((λx.excess_dual_OF_excess x) sl);simplify;
 371
 372     rewrite < (subst_excess__preserves_aprtness (sl_exc sl) eb H P Q);
 373     generalize in ⊢ (?→?→?→? ? ? (match ? ? ? ? % ? return ? with [_⇒?] ? ?)); intro A;
 374     generalize in ⊢ (?→?→?→? ? ? (match ? ? ? ? ? % return ? with [_⇒?] ? ?)); intro B;
 375     simplify;
 376   |
 377   |
 378   ]
 379 qed.
 380
 381 record lattice_ : Type ≝ {
 382   latt_mcarr:> semi_lattice;
 383   latt_jcarr_: semi_lattice;
 384   (*latt_with1: latt_jcarr_ = subst latt_jcarr (exc_dual_dual latt_mcarr)*)
 385 (*  latt_with1:   (subst_excess_
 386                   (subst_dual_excess
 387                     (subst_excess_base
 388                       (excess_dual_OF_excess (sl_exc latt_jcarr_))
 389                       (excess_base_OF_excess (sl_exc latt_mcarr))))) =
 390                 sl_exc latt_jcarr_;
 391
 392 *)
 393   latt_with1: excess_base_OF_excess1 (sl_exc latt_jcarr_) =  excess_base_OF_excess (sl_exc latt_mcarr);
 394   latt_with2: excess_base_OF_excess (sl_exc latt_jcarr_) =  excess_base_OF_excess1 (sl_exc latt_mcarr);
 395   latt_with3: apartness_OF_excess (sl_exc latt_jcarr_) = apartness_OF_excess (sl_exc latt_mcarr)
 396 }.
 397
 398 axiom FALSE: False.
 399
 400 lemma latt_jcarr : lattice_ → semi_lattice.
 401 intro l;
 402 apply mk_semi_lattice;
 403   [apply mk_excess;
 404     [apply mk_excess_;
 405       [apply (mk_excess_dual_smart l);
 406       |apply (exc_ap l);
 407       |reflexivity]
 408     |unfold mk_excess_dual_smart; simplify;
 409      intros (x y H); cases (ap2exc ??? H); [right|left]  assumption;
 410     |unfold mk_excess_dual_smart; simplify;
 411      intros (x y H);cases H; apply exc2ap;[right|left] assumption;]]
 412 unfold mk_excess_dual_smart; simplify;
 413 [1: change with ((λx.ap_carr x) l → (λx.ap_carr x) l → (λx.ap_carr x) l);
 414     simplify; unfold apartness_OF_lattice_;
 415     cases (latt_with3 l); apply (sl_meet (latt_jcarr_ l));
 416 |2: change in ⊢ (%→?) with ((λx.ap_carr x) l); simplify;
 417     unfold apartness_OF_lattice_;
 418     cases (latt_with3 l); apply (sl_meet_refl (latt_jcarr_ l));
 419 |3: change in ⊢ (%→%→?) with ((λx.ap_carr x) l); simplify; unfold apartness_OF_lattice_;
 420     cases (latt_with3 l); apply (sl_meet_comm (latt_jcarr_ l));
 421 |4: change in ⊢ (%→%→%→?) with ((λx.ap_carr x) l); simplify; unfold apartness_OF_lattice_;
 422     cases (latt_with3 l); apply (sl_meet_assoc (latt_jcarr_ l));
 423 |5: change in ⊢ (%→%→%→?) with ((λx.ap_carr x) l); simplify; unfold apartness_OF_lattice_;
 424     cases (latt_with3 l); apply (sl_strong_extm (latt_jcarr_ l));
 425 |7:
 426 (*
 427 unfold excess_base_OF_lattice_;
 428     change in ⊢ (?→?→? ? (% ? ?) ?)
 429     with (match latt_with3 l
 430  in eq
 431  return
 432 λright_1:apartness
 433 .(λmatched:eq apartness (apartness_OF_semi_lattice (latt_jcarr_ l)) right_1
 434   .ap_carr right_1→ap_carr right_1→ap_carr right_1)
 435  with
 436 [refl_eq⇒sl_meet (latt_jcarr_ l)]
 437  : ?
 438 );
 439   change in ⊢ (?→?→? ? ((?:%->%->%) ? ?) ?)
 440   with ((λx.exc_carr x) (excess_base_OF_semi_lattice (latt_mcarr l)));
 441   unfold excess_base_OF_lattice_ in ⊢ (?→?→? ? ((?:%->%->%) ? ?) ?);
 442   simplify in ⊢ (?→?→? ? ((?:%->%->%) ? ?) ?);
 443 change in ⊢ (?→?→? ? (% ? ?) ?) with
 444   (match refl_eq ? (excess__OF_semi_lattice (latt_mcarr l)) in eq
 445    return (λR.λE:eq ? (excess_base_OF_semi_lattice (latt_mcarr l)) R.R → R → R)
 446    with [refl_eq⇒
 447      (match latt_with3 l in eq
 448      return
 449        (λright:apartness
 450         .(λmatched:eq apartness (apartness_OF_semi_lattice (latt_jcarr_ l)) right
 451           .ap_carr right→ap_carr right→ap_carr right))
 452      with [refl_eq⇒ sl_meet (latt_jcarr_ l)]
 453      :
 454      exc_carr (excess_base_OF_semi_lattice (latt_mcarr l))
 455       →exc_carr (excess_base_OF_semi_lattice (latt_mcarr l))
 456        →exc_carr (excess_base_OF_semi_lattice (latt_mcarr l))
 457      )
 458    ]);
 459    generalize in ⊢ (?→?→? ? (match % return ? with [_⇒?] ? ?) ?);
 460    unfold excess_base_OF_lattice_ in ⊢ (? ? ? %→?);
 461    cases (latt_with1 l);
 462   change in ⊢ (?→?→?→? ? (match ? return ? with [_⇒(?:%→%->%)] ? ?) ?)
 463   with ((λx.ap_carr x) (latt_mcarr l));
 464   simplify in ⊢ (?→?→?→? ? (match ? return ? with [_⇒(?:%→%->%)] ? ?) ?);
 465   cases (latt_with3 l);
 466
 467    change in ⊢ (? ? % ?→?) with ((λx.ap_carr x) l);
 468    simplify in ⊢ (% → ?);
 469    change in ⊢ (?→?→?→? ? (match ? return λ_:?.(λ_:? ? % ?.?) with [_⇒?] ? ?) ?)
 470      with ((λx.ap_carr x) (apartness_OF_lattice_ l));
 471    unfold apartness_OF_lattice_;
 472    cases (latt_with3 l); simplify;
 473    change in ⊢ (? ? ? %→%→%→?) with ((λx.exc_carr x) l);
 474    unfold excess_base_OF_lattice_;
 475    cases (latt_with1 l); simplify;
 476    change in \vdash (? -> % -> % -> ?) with (exc_carr (excess_base_OF_semi_lattice (latt_jcarr_ l)));
 477    change in ⊢ ((? ? % ?)→%→%→? ? (match ? return λ_:?.(λ_:? ? % ?.?) with [_⇒?] ? ?) ?)
 478      with ((λx.exc_carr x) (excess_base_OF_semi_lattice1 (latt_jcarr_ l)));
 479    simplify;
 480    intro H;
 481    unfold excess_base_OF_semi_lattice1;
 482    unfold excess_base_OF_excess1;
 483    unfold excess_base_OF_excess_1;
 484    change
 485 *)
 486
 487 change in ⊢ (?→?→? ? (% ? ?) ?) with
 488   (match refl_eq ? (Type_OF_lattice_ l) in eq
 489    return (λR.λE:eq ? (Type_OF_lattice_ l) R.R → R → R)
 490    with [refl_eq⇒
 491      match latt_with3 l in eq
 492      return
 493        (λright:apartness
 494         .(λmatched:eq apartness (apartness_OF_semi_lattice (latt_jcarr_ l)) right
 495           .ap_carr right→ap_carr right→ap_carr right))
 496      with [refl_eq⇒ sl_meet (latt_jcarr_ l)]
 497    ]);
 498    generalize in ⊢ (?→?→? ? (match % return ? with [_⇒?] ? ?) ?);
 499    change in ⊢ (? ? % ?→?) with ((λx.ap_carr x) l);
 500    simplify in ⊢ (% → ?);
 501    change in ⊢ (?→?→?→? ? (match ? return λ_:?.(λ_:? ? % ?.?) with [_⇒?] ? ?) ?)
 502      with ((λx.ap_carr x) (apartness_OF_lattice_ l));
 503    unfold apartness_OF_lattice_;
 504    cases (latt_with3 l); simplify;
 505    change in ⊢ (? ? ? %→%→%→?) with ((λx.exc_carr x) l);
 506    unfold excess_base_OF_lattice_;
 507    cases (latt_with1 l); simplify;
 508    change in \vdash (? -> % -> % -> ?) with (exc_carr (excess_base_OF_semi_lattice (latt_jcarr_ l)));
 509    change in ⊢ ((? ? % ?)→%→%→? ? (match ? return λ_:?.(λ_:? ? % ?.?) with [_⇒?] ? ?) ?)
 510      with ((λx.exc_carr x) (excess_base_OF_semi_lattice1 (latt_jcarr_ l)));
 511    simplify;
 512    intro H;
 513    change in ⊢ (?→?→%) with (le (mk_excess_base
 514           ((λx.exc_carr x) (excess_base_OF_semi_lattice1 (latt_jcarr_ l)))
 515           ((λx.exc_excess x) (excess_base_OF_semi_lattice1 (latt_jcarr_ l)))
 516           ((λx.exc_coreflexive x) (excess_base_OF_semi_lattice1 (latt_jcarr_ l)))
 517           ((λx.exc_cotransitive x) (excess_base_OF_semi_lattice1 (latt_jcarr_ l)))
 518         ) (match H
 519  in eq
 520  return
 521 λR:Type
 522 .(λE:eq Type (exc_carr (excess_base_OF_semi_lattice1 (latt_jcarr_ l))) R
 523   .R→R→R)
 524  with
 525 [refl_eq⇒sl_meet (latt_jcarr_ l)] x y) y);
 526  simplify in ⊢ (?→?→? (? % ???) ? ?);
 527  change in ⊢ (?→?→? ? (match ? return λ_:?.(λ_:? ? % ?.?) with [_⇒?] ? ?) ?)
 528  with ((λx.exc_carr x) (excess_base_OF_semi_lattice1 (latt_jcarr_ l)));
 529  simplify in  ⊢ (?→?→? ? (match ? return λ_:?.(λ_:? ? % ?.?) with [_⇒?] ? ?) ?);
 530  lapply (match H in eq return
 531         λright.λe:eq ? (exc_carr (excess_base_OF_semi_lattice1 (latt_jcarr_ l))) right.
 532
 533 ∀x:right
 534 .∀y:right
 535  .le
 536   (mk_excess_base right ???)
 537   (match e
 538     in eq
 539     return
 540    λR:Type.(λE:eq Type (exc_carr (excess_base_OF_semi_lattice1 (latt_jcarr_ l))) R.R→R→R)
 541     with
 542    [refl_eq⇒sl_meet (latt_jcarr_ l)] x y) y
 543         with [refl_eq ⇒ ?]) as XX;
 544   [cases e; apply (exc_excess (latt_jcarr_ l));
 545   |unfold;cases e;simplify;apply (exc_coreflexive (latt_jcarr_ l));
 546   |unfold;cases e;simplify;apply (exc_cotransitive (latt_jcarr_ l));
 547   ||apply XX|
 548   |apply XX;
 549
 550          simplify; apply (sl_lem);
 551 |elim FALSE]
 552 qed.
 553
 554
 555
 556
 557 coercion cic:/matita/lattice/latt_jcarr.con.
 558
 559 interpretation "Lattice meet" 'and a b =
 560  (cic:/matita/lattice/sl_meet.con (cic:/matita/lattice/latt_mcarr.con _) a b).
 561
 562 interpretation "Lattice join" 'or a b =
 563  (cic:/matita/lattice/sl_meet.con (cic:/matita/lattice/latt_jcarr.con _) a b).
 564
 565 record lattice : Type ≝ {
 566   latt_carr:> lattice_;
 567   absorbjm: ∀f,g:latt_carr. (f ∨ (f ∧ g)) ≈ f;
 568   absorbmj: ∀f,g:latt_carr. (f ∧ (f ∨ g)) ≈ f
 569 }.
 570
 571 notation "'meet'"        non associative with precedence 50 for @{'meet}.
 572 notation "'meet_refl'"   non associative with precedence 50 for @{'meet_refl}.
 573 notation "'meet_comm'"   non associative with precedence 50 for @{'meet_comm}.
 574 notation "'meet_assoc'"  non associative with precedence 50 for @{'meet_assoc}.
 575 notation "'strong_extm'" non associative with precedence 50 for @{'strong_extm}.
 576 notation "'le_to_eqm'"   non associative with precedence 50 for @{'le_to_eqm}.
 577 notation "'lem'"         non associative with precedence 50 for @{'lem}.
 578 notation "'join'"        non associative with precedence 50 for @{'join}.
 579 notation "'join_refl'"   non associative with precedence 50 for @{'join_refl}.
 580 notation "'join_comm'"   non associative with precedence 50 for @{'join_comm}.
 581 notation "'join_assoc'"  non associative with precedence 50 for @{'join_assoc}.
 582 notation "'strong_extj'" non associative with precedence 50 for @{'strong_extj}.
 583 notation "'le_to_eqj'"   non associative with precedence 50 for @{'le_to_eqj}.
 584 notation "'lej'"         non associative with precedence 50 for @{'lej}.
 585
 586 interpretation "Lattice meet"        'meet        = (cic:/matita/lattice/sl_meet.con (cic:/matita/lattice/latt_mcarr.con _)).
 587 interpretation "Lattice meet_refl"   'meet_refl   = (cic:/matita/lattice/sl_meet_refl.con (cic:/matita/lattice/latt_mcarr.con _)).
 588 interpretation "Lattice meet_comm"   'meet_comm   = (cic:/matita/lattice/sl_meet_comm.con (cic:/matita/lattice/latt_mcarr.con _)).
 589 interpretation "Lattice meet_assoc"  'meet_assoc  = (cic:/matita/lattice/sl_meet_assoc.con (cic:/matita/lattice/latt_mcarr.con _)).
 590 interpretation "Lattice strong_extm" 'strong_extm = (cic:/matita/lattice/sl_strong_extm.con (cic:/matita/lattice/latt_mcarr.con _)).
 591 interpretation "Lattice le_to_eqm"   'le_to_eqm   = (cic:/matita/lattice/sl_le_to_eqm.con (cic:/matita/lattice/latt_mcarr.con _)).
 592 interpretation "Lattice lem"         'lem         = (cic:/matita/lattice/sl_lem.con (cic:/matita/lattice/latt_mcarr.con _)).
 593 interpretation "Lattice join"        'join        = (cic:/matita/lattice/sl_meet.con (cic:/matita/lattice/latt_jcarr.con _)).
 594 interpretation "Lattice join_refl"   'join_refl   = (cic:/matita/lattice/sl_meet_refl.con (cic:/matita/lattice/latt_jcarr.con _)).
 595 interpretation "Lattice join_comm"   'join_comm   = (cic:/matita/lattice/sl_meet_comm.con (cic:/matita/lattice/latt_jcarr.con _)).
 596 interpretation "Lattice join_assoc"  'join_assoc  = (cic:/matita/lattice/sl_meet_assoc.con (cic:/matita/lattice/latt_jcarr.con _)).
 597 interpretation "Lattice strong_extm" 'strong_extj = (cic:/matita/lattice/sl_strong_extm.con (cic:/matita/lattice/latt_jcarr.con _)).
 598 interpretation "Lattice le_to_eqj"   'le_to_eqj   = (cic:/matita/lattice/sl_le_to_eqm.con (cic:/matita/lattice/latt_jcarr.con _)).
 599 interpretation "Lattice lej"         'lej         = (cic:/matita/lattice/sl_lem.con (cic:/matita/lattice/latt_jcarr.con _)).
 600
 601 notation "'feq_jl'" non associative with precedence 50 for @{'feq_jl}.
 602 notation "'feq_jr'" non associative with precedence 50 for @{'feq_jr}.
 603 notation "'feq_ml'" non associative with precedence 50 for @{'feq_ml}.
 604 notation "'feq_mr'" non associative with precedence 50 for @{'feq_mr}.
 605 interpretation "Lattice feq_jl" 'feq_jl = (cic:/matita/lattice/sl_feq_ml.con (cic:/matita/lattice/latt_jcarr.con _)).
 606 interpretation "Lattice feq_jr" 'feq_jr = (cic:/matita/lattice/sl_feq_mr.con (cic:/matita/lattice/latt_jcarr.con _)).
 607 interpretation "Lattice feq_ml" 'feq_ml = (cic:/matita/lattice/sl_feq_ml.con (cic:/matita/lattice/latt_mcarr.con _)).
 608 interpretation "Lattice feq_mr" 'feq_mr = (cic:/matita/lattice/sl_feq_mr.con (cic:/matita/lattice/latt_mcarr.con _)).
 609
 610
 611 interpretation "Lattive meet le" 'leq a b =
 612  (cic:/matita/excess/le.con (cic:/matita/lattice/excess_OF_lattice1.con _) a b).
 613
 614 interpretation "Lattive join le (aka ge)" 'geq a b =
 615  (cic:/matita/excess/le.con (cic:/matita/lattice/excess_OF_lattice.con _) a b).
 616
 617 (* these coercions help unification, handmaking a bit of conversion
 618    over an open term
 619 *)
 620 lemma le_to_ge: ∀l:lattice.∀a,b:l.a ≤ b → b ≥ a.
 621 intros(l a b H); apply H;
 622 qed.
 623
 624 lemma ge_to_le: ∀l:lattice.∀a,b:l.b ≥ a → a ≤ b.
 625 intros(l a b H); apply H;
 626 qed.
 627
 628 coercion cic:/matita/lattice/le_to_ge.con nocomposites.
 629 coercion cic:/matita/lattice/ge_to_le.con nocomposites.