helm/software/matita/dama/lattice.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/lattice/".
  16
  17 include "excedence.ma".
  18
  19 record lattice : Type ≝ {
  20   l_carr:> apartness;
  21   join: l_carr → l_carr → l_carr;
  22   meet: l_carr → l_carr → l_carr;
  23   join_refl: ∀x.join x x ≈ x;
  24   meet_refl: ∀x.meet x x ≈ x;
  25   join_comm: ∀x,y:l_carr. join x y ≈ join y x;
  26   meet_comm: ∀x,y:l_carr. meet x y ≈ meet y x;
  27   join_assoc: ∀x,y,z:l_carr. join x (join y z) ≈ join (join x y) z;
  28   meet_assoc: ∀x,y,z:l_carr. meet x (meet y z) ≈ meet (meet x y) z;
  29   absorbjm: ∀f,g:l_carr. join f (meet f g) ≈ f;
  30   absorbmj: ∀f,g:l_carr. meet f (join f g) ≈ f;
  31   strong_extj: ∀x.strong_ext ? (join x);
  32   strong_extm: ∀x.strong_ext ? (meet x)
  33 }.
  34
  35 interpretation "Lattice meet" 'and a b =
  36  (cic:/matita/lattice/meet.con _ a b).
  37
  38 interpretation "Lattice join" 'or a b =
  39  (cic:/matita/lattice/join.con _ a b).
  40
  41 (*
  42 include "ordered_set.ma".
  43
  44 record lattice (C:Type) (join,meet:C→C→C) : Prop \def
  45  { (* abelian semigroup properties *)
  46    l_comm_j: symmetric ? join;
  47    l_associative_j: associative ? join;
  48    l_comm_m: symmetric ? meet;
  49    l_associative_m: associative ? meet;
  50    (* other properties *)
  51    l_adsorb_j_m: ∀f,g:C. join f (meet f g) = f;
  52    l_adsorb_m_j: ∀f,g:C. meet f (join f g) = f
  53  }.
  54
  55 record lattice : Type \def
  56  { l_carrier:> Type;
  57    l_join: l_carrier→l_carrier→l_carrier;
  58    l_meet: l_carrier→l_carrier→l_carrier;
  59    l_lattice_properties:> is_lattice ? l_join l_meet
  60  }.
  61
  62 definition le \def λL:lattice.λf,g:L. (f ∧ g) = f.
  63
  64 definition ordered_set_of_lattice: lattice → ordered_set.
  65  intros (L);
  66  apply mk_ordered_set;
  67   [2: apply (le L)
  68   | skip
  69   | apply mk_is_order_relation;
  70      [ unfold reflexive;
  71        intros;
  72        unfold;
  73        rewrite < (l_adsorb_j_m ? ? ? L ? x) in ⊢ (? ? (? ? ? %) ?);
  74        rewrite > l_adsorb_m_j;
  75         [ reflexivity
  76         | apply (l_lattice_properties L)
  77         ]
  78      | intros;
  79        unfold transitive;
  80        unfold le;
  81        intros;
  82        rewrite < H;
  83        rewrite > (l_associative_m ? ? ? L);
  84        rewrite > H1;
  85        reflexivity
  86      | unfold antisimmetric;
  87        unfold le;
  88        intros;
  89        rewrite < H;
  90        rewrite > (l_comm_m ? ? ? L);
  91        assumption
  92      ]
  93   ]
  94 qed.
  95
  96 coercion cic:/matita/lattices/ordered_set_of_lattice.con.
  97 *)