helm/software/matita/dama/lattice.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "excess.ma".
  16
  17 record semi_lattice_base : Type ≝ {
  18   sl_carr:> apartness;
  19   sl_op: sl_carr → sl_carr → sl_carr;
  20   sl_op_refl: ∀x.sl_op x x ≈ x;
  21   sl_op_comm: ∀x,y:sl_carr. sl_op x y ≈ sl_op y x;
  22   sl_op_assoc: ∀x,y,z:sl_carr. sl_op x (sl_op y z) ≈ sl_op (sl_op x y) z;
  23   sl_strong_extop: ∀x.strong_ext ? (sl_op x)
  24 }.
  25
  26 notation "a \cross b" left associative with precedence 50 for @{ 'op $a $b }.
  27 interpretation "semi lattice base operation" 'op a b = (cic:/matita/lattice/sl_op.con _ a b).
  28
  29 lemma excess_of_semi_lattice_base: semi_lattice_base → excess.
  30 intro l;
  31 apply mk_excess;
  32 [1: apply mk_excess_;
  33     [1: apply mk_excess_dual_smart;
  34
  35   apply (mk_excess_base (sl_carr l));
  36     [1: apply (λa,b:sl_carr l.a # (a ✗ b));
  37     |2: unfold; intros 2 (x H); simplify in H;
  38         lapply (Ap≪ ? (sl_op_refl ??) H) as H1; clear H;
  39         apply (ap_coreflexive ?? H1);
  40     |3: unfold; simplify; intros (x y z H1);
  41         cases (ap_cotransitive ??? ((x ✗ z) ✗ y) H1) (H2 H2);[2:
  42           lapply (Ap≪ ? (sl_op_comm ???) H2) as H21;
  43           lapply (Ap≫ ? (sl_op_comm ???) H21) as H22; clear H21 H2;
  44           lapply (sl_strong_extop ???? H22); clear H22;
  45           left; apply ap_symmetric; assumption;]
  46         cases (ap_cotransitive ??? (x ✗ z) H2) (H3 H3);[left;assumption]
  47         right; lapply (Ap≫ ? (sl_op_assoc ????) H3) as H31;
  48         apply (sl_strong_extop ???? H31);]
  49
  50     |2:
  51     apply apartness_of_excess_base;
  52
  53   apply (mk_excess_base (sl_carr l));
  54     [1: apply (λa,b:sl_carr l.a # (a ✗ b));
  55     |2: unfold; intros 2 (x H); simplify in H;
  56         lapply (Ap≪ ? (sl_op_refl ??) H) as H1; clear H;
  57         apply (ap_coreflexive ?? H1);
  58     |3: unfold; simplify; intros (x y z H1);
  59         cases (ap_cotransitive ??? ((x ✗ z) ✗ y) H1) (H2 H2);[2:
  60           lapply (Ap≪ ? (sl_op_comm ???) H2) as H21;
  61           lapply (Ap≫ ? (sl_op_comm ???) H21) as H22; clear H21 H2;
  62           lapply (sl_strong_extop ???? H22); clear H22;
  63           left; apply ap_symmetric; assumption;]
  64         cases (ap_cotransitive ??? (x ✗ z) H2) (H3 H3);[left;assumption]
  65         right; lapply (Ap≫ ? (sl_op_assoc ????) H3) as H31;
  66         apply (sl_strong_extop ???? H31);]
  67
  68     |3: apply refl_eq;]
  69 |2,3: intros (x y H); assumption;]
  70 qed.
  71
  72 record semi_lattice : Type ≝ {
  73   sl_exc:> excess;
  74   sl_meet: sl_exc → sl_exc → sl_exc;
  75   sl_meet_refl: ∀x.sl_meet x x ≈ x;
  76   sl_meet_comm: ∀x,y. sl_meet x y ≈ sl_meet y x;
  77   sl_meet_assoc: ∀x,y,z. sl_meet x (sl_meet y z) ≈ sl_meet (sl_meet x y) z;
  78   sl_strong_extm: ∀x.strong_ext ? (sl_meet x);
  79   sl_le_to_eqm: ∀x,y.x ≤ y → x ≈ sl_meet x y;
  80   sl_lem: ∀x,y.(sl_meet x y) ≤ y
  81 }.
  82
  83 interpretation "semi lattice meet" 'and a b = (cic:/matita/lattice/sl_meet.con _ a b).
  84
  85 lemma sl_feq_ml: ∀ml:semi_lattice.∀a,b,c:ml. a ≈ b → (c ∧ a) ≈ (c ∧ b).
  86 intros (l a b c H); unfold eq in H ⊢ %; unfold Not in H ⊢ %;
  87 intro H1; apply H; clear H; apply (sl_strong_extm ???? H1);
  88 qed.
  89
  90 lemma sl_feq_mr: ∀ml:semi_lattice.∀a,b,c:ml. a ≈ b → (a ∧ c) ≈ (b ∧ c).
  91 intros (l a b c H);
  92 apply (Eq≈ ? (sl_meet_comm ???)); apply (Eq≈ ?? (sl_meet_comm ???));
  93 apply sl_feq_ml; assumption;
  94 qed.
  95
  96
  97 (*
  98 lemma semi_lattice_of_semi_lattice_base: semi_lattice_base → semi_lattice.
  99 intro slb; apply (mk_semi_lattice (excess_of_semi_lattice_base slb));
 100 [1: apply (sl_op slb);
 101 |2: intro x; apply (eq_trans (excess_of_semi_lattice_base slb)); [2:
 102       apply (sl_op_refl slb);|1:skip] (sl_op slb x x)); ? (sl_op_refl slb x));
 103
 104  unfold excess_of_semi_lattice_base; simplify;
 105     intro H; elim H;
 106     [
 107
 108
 109     lapply (ap_rewl (excess_of_semi_lattice_base slb) x ? (sl_op slb x x)
 110       (eq_sym (excess_of_semi_lattice_base slb) ?? (sl_op_refl slb x)) t);
 111     change in x with (sl_carr slb);
 112     apply (Ap≪ (x ✗ x)); (sl_op_refl slb x));
 113
 114 whd in H; elim H; clear H;
 115     [ apply (ap_coreflexive (excess_of_semi_lattice_base slb) (x ✗ x) t);
 116
 117 prelattice (excess_of_directed l_)); [apply (sl_op l_);]
 118 unfold excess_of_directed; try unfold apart_of_excess; simplify;
 119 unfold excl; simplify;
 120 [intro x; intro H; elim H; clear H;
 121  [apply (sl_op_refl l_ x);
 122   lapply (Ap≫ ? (sl_op_comm ???) t) as H; clear t;
 123   lapply (sl_strong_extop l_ ??? H); apply ap_symmetric; assumption
 124  | lapply (Ap≪ ? (sl_op_refl ?x) t) as H; clear t;
 125    lapply (sl_strong_extop l_ ??? H); apply (sl_op_refl l_ x);
 126    apply ap_symmetric; assumption]
 127 |intros 3 (x y H); cases H (H1 H2); clear H;
 128  [lapply (Ap≪ ? (sl_op_refl ? (sl_op l_ x y)) H1) as H; clear H1;
 129   lapply (sl_strong_extop l_ ??? H) as H1; clear H;
 130   lapply (Ap≪ ? (sl_op_comm ???) H1); apply (ap_coreflexive ?? Hletin);
 131  |lapply (Ap≪ ? (sl_op_refl ? (sl_op l_ y x)) H2) as H; clear H2;
 132   lapply (sl_strong_extop l_ ??? H) as H1; clear H;
 133   lapply (Ap≪ ? (sl_op_comm ???) H1);apply (ap_coreflexive ?? Hletin);]
 134 |intros 4 (x y z H); cases H (H1 H2); clear H;
 135  [lapply (Ap≪ ? (sl_op_refl ? (sl_op l_ x (sl_op l_ y z))) H1) as H; clear H1;
 136   lapply (sl_strong_extop l_ ??? H) as H1; clear H;
 137   lapply (Ap≪ ? (eq_sym ??? (sl_op_assoc ?x y z)) H1) as H; clear H1;
 138   apply (ap_coreflexive ?? H);
 139  |lapply (Ap≪ ? (sl_op_refl ? (sl_op l_ (sl_op l_ x y) z)) H2) as H; clear H2;
 140   lapply (sl_strong_extop l_ ??? H) as H1; clear H;
 141   lapply (Ap≪ ? (sl_op_assoc ?x y z) H1) as H; clear H1;
 142   apply (ap_coreflexive ?? H);]
 143 |intros (x y z H); elim H (H1 H1); clear H;
 144  lapply (Ap≪ ? (sl_op_refl ??) H1) as H; clear H1;
 145  lapply (sl_strong_extop l_ ??? H) as H1; clear H;
 146  lapply (sl_strong_extop l_ ??? H1) as H; clear H1;
 147  cases (ap_cotransitive ??? (sl_op l_ y z) H);[left|right|right|left] try assumption;
 148  [apply ap_symmetric;apply (Ap≪ ? (sl_op_comm ???));
 149  |apply (Ap≫ ? (sl_op_comm ???));
 150  |apply ap_symmetric;] assumption;
 151 |intros 4 (x y H H1); apply H; clear H; elim H1 (H H);
 152  lapply (Ap≪ ? (sl_op_refl ??) H) as H1; clear H;
 153  lapply (sl_strong_extop l_ ??? H1) as H; clear H1;[2: apply ap_symmetric]
 154  assumption
 155 |intros 3 (x y H);
 156  cut (sl_op l_ x y ≈ sl_op l_ x (sl_op l_ y y)) as H1;[2:
 157    intro; lapply (sl_strong_extop ???? a); apply (sl_op_refl l_ y);
 158    apply ap_symmetric; assumption;]
 159  lapply (Ap≪ ? (eq_sym ??? H1) H); apply (sl_op_assoc l_ x y y);
 160  assumption; ]
 161 qed.
 162 *)
 163
 164 (* ED(≰,≱) → EB(≰') → ED(≰',≱') *)
 165 lemma subst_excess_base: excess_dual → excess_base → excess_dual.
 166 intros; apply (mk_excess_dual_smart e1);
 167 qed.
 168
 169 (* E_(ED(≰,≱),AP(#),c ED = c AP) → ED' → c DE' = c E_ → E_(ED',#,p) *)
 170 lemma subst_dual_excess: ∀e:excess_.∀e1:excess_dual.exc_carr e = exc_carr e1 → excess_.
 171 intros (e e1 p); apply (mk_excess_ e1 e); cases p; reflexivity;
 172 qed.
 173
 174 (* E(E_,H1,H2) → E_' → H1' → H2' → E(E_',H1',H2') *)
 175 alias symbol "nleq" = "Excess excess_".
 176 lemma subst_excess_: ∀e:excess. ∀e1:excess_.
 177   (∀y,x:e1. y # x → y ≰ x ∨ x ≰ y) →
 178   (∀y,x:e1.y ≰ x ∨ x ≰ y →  y # x) →
 179   excess.
 180 intros (e e1 H1 H2); apply (mk_excess e1 H1 H2);
 181 qed.
 182
 183 (* SL(E,M,H2-5(#),H67(≰)) → E' → c E = c E' → H67'(≰') → SL(E,M,p2-5,H67') *)
 184 lemma subst_excess:
 185   ∀l:semi_lattice.
 186   ∀e:excess.
 187   ∀p:exc_ap l = exc_ap e.
 188   (∀x,y:e.(le (exc_dual_base e)) x y → x ≈ (?(sl_meet l)) x y) →
 189   (∀x,y:e.(le (exc_dual_base e)) ((?(sl_meet l)) x y) y) →
 190   semi_lattice.
 191 [1,2:intro M;
 192  change with ((λx.ap_carr x) e -> (λx.ap_carr x) e -> (λx.ap_carr x) e);
 193  cases p; apply M;
 194 |intros (l e p H1 H2);
 195  apply (mk_semi_lattice e);
 196    [ change with ((λx.ap_carr x) e -> (λx.ap_carr x) e -> (λx.ap_carr x) e);
 197      cases p; simplify; apply (sl_meet l);
 198    |2: change in ⊢ (% → ?) with ((λx.ap_carr x) e); cases p; simplify; apply sl_meet_refl;
 199    |3: change in ⊢ (% → % → ?) with ((λx.ap_carr x) e); cases p; simplify; apply sl_meet_comm;
 200    |4: change in ⊢ (% → % → % → ?) with ((λx.ap_carr x) e); cases p; simplify; apply sl_meet_assoc;
 201    |5: change in ⊢ (% → ?) with ((λx.ap_carr x) e); cases p; simplify; apply sl_strong_extm;
 202    |6: clear H2; apply H1;
 203    |7: clear H1; apply H2;]]
 204 qed.
 205
 206 lemma excess_of_excess_base: excess_base → excess.
 207 intro eb;
 208 apply mk_excess;
 209   [apply (mk_excess_ (mk_excess_dual_smart eb));
 210     [apply (apartness_of_excess_base eb);
 211     |reflexivity]
 212   |2,3: intros; assumption]
 213 qed.
 214
 215 lemma subst_excess_base_in_semi_lattice:
 216   ∀sl:semi_lattice.
 217   ∀eb:excess_base.
 218   ∀p:exc_carr sl = exc_carr eb.
 219   (∀y1,x1:eb. (?(ap_apart sl)) y1  x1 → y1 ≰ x1 ∨ x1 ≰ y1) →
 220   (∀y2,x2:eb.y2 ≰ x2 ∨ x2 ≰ y2 →  (?(ap_apart sl)) y2 x2) →
 221   (∀x3,y3:eb.(le eb) x3 y3 → (?(ap_apart sl)) x3 ((?(sl_meet sl)) x3 y3)) →
 222   (∀x4,y4:eb.(le eb) ((?(sl_meet sl)) x4 y4) y4) →
 223   semi_lattice.
 224 [2,3,7,9,10: apply Type|4:apply (exc_carr eb);
 225 |1,5,6,8,11: intro f; cases p; apply f;]
 226 intros (sl eb H H1 H2 H3 H4); apply (subst_excess sl);
 227   [apply (subst_excess_ sl);
 228     [apply (subst_dual_excess sl);
 229       [apply (subst_excess_base sl eb);
 230       |apply H;]
 231     | (*clear H2 H3 H4;*)
 232       change in ⊢ (% -> % -> ?) with (exc_carr eb);
 233       unfold subst_excess_base; unfold mk_excess_dual_smart;
 234       unfold subst_dual_excess; simplify in ⊢ (?→?→?→%);
 235       (unfold exc_ap; simplify in ⊢ (?→?→? % ? ?→?));
 236       simplify; intros (x y H2); apply H1;
 237       generalize in match H2;
 238       generalize in match x as x;
 239       generalize in match y as y; (*clear H1 H2 x y;*)
 240       change in ⊢ (?→?→match ? return λ_:?.(λ_:? ? % ?.?) with [_⇒?] ? ?→?)
 241       with (Type_OF_semi_lattice sl);
 242       change in ⊢ (?→?→match match ? return λ_:?.(λ_:? ? % ?.? ? % ?) with [_⇒? ? %] return ? with [_⇒?] ??→?) with (Type_OF_semi_lattice sl);
 243       cases H; intros; assumption; (* se faccio le clear... BuM! *)
 244     | clear H1 H3 H4;
 245
 246     ]
 247
 248 record lattice_ : Type ≝ {
 249   latt_mcarr:> semi_lattice;
 250   latt_jcarr_: semi_lattice;
 251   (*latt_with1: latt_jcarr_ = subst latt_jcarr (exc_dual_dual latt_mcarr)*)
 252 (*  latt_with1:   (subst_excess_
 253                   (subst_dual_excess
 254                     (subst_excess_base
 255                       (excess_dual_OF_excess (sl_exc latt_jcarr_))
 256                       (excess_base_OF_excess (sl_exc latt_mcarr))))) =
 257                 sl_exc latt_jcarr_;
 258
 259 *)
 260   latt_with1: excess_base_OF_excess1 (sl_exc latt_jcarr_) =  excess_base_OF_excess (sl_exc latt_mcarr);
 261   latt_with2: excess_base_OF_excess (sl_exc latt_jcarr_) =  excess_base_OF_excess1 (sl_exc latt_mcarr);
 262   latt_with3: apartness_OF_excess (sl_exc latt_jcarr_) = apartness_OF_excess (sl_exc latt_mcarr)
 263 }.
 264
 265 axiom FALSE: False.
 266
 267 lemma latt_jcarr : lattice_ → semi_lattice.
 268 intro l;
 269 apply mk_semi_lattice;
 270   [apply mk_excess;
 271     [apply mk_excess_;
 272       [apply (mk_excess_dual_smart l);
 273       |apply (exc_ap l);
 274       |reflexivity]
 275     |unfold mk_excess_dual_smart; simplify;
 276      intros (x y H); cases (ap2exc ??? H); [right|left]  assumption;
 277     |unfold mk_excess_dual_smart; simplify;
 278      intros (x y H);cases H; apply exc2ap;[right|left] assumption;]]
 279 unfold mk_excess_dual_smart; simplify;
 280 [1: change with ((λx.ap_carr x) l → (λx.ap_carr x) l → (λx.ap_carr x) l);
 281     simplify; unfold apartness_OF_lattice_;
 282     cases (latt_with3 l); apply (sl_meet (latt_jcarr_ l));
 283 |2: change in ⊢ (%→?) with ((λx.ap_carr x) l); simplify;
 284     unfold apartness_OF_lattice_;
 285     cases (latt_with3 l); apply (sl_meet_refl (latt_jcarr_ l));
 286 |3: change in ⊢ (%→%→?) with ((λx.ap_carr x) l); simplify; unfold apartness_OF_lattice_;
 287     cases (latt_with3 l); apply (sl_meet_comm (latt_jcarr_ l));
 288 |4: change in ⊢ (%→%→%→?) with ((λx.ap_carr x) l); simplify; unfold apartness_OF_lattice_;
 289     cases (latt_with3 l); apply (sl_meet_assoc (latt_jcarr_ l));
 290 |5: change in ⊢ (%→%→%→?) with ((λx.ap_carr x) l); simplify; unfold apartness_OF_lattice_;
 291     cases (latt_with3 l); apply (sl_strong_extm (latt_jcarr_ l));
 292 |7:
 293 (*
 294 unfold excess_base_OF_lattice_;
 295     change in ⊢ (?→?→? ? (% ? ?) ?)
 296     with (match latt_with3 l
 297  in eq
 298  return
 299 λright_1:apartness
 300 .(λmatched:eq apartness (apartness_OF_semi_lattice (latt_jcarr_ l)) right_1
 301   .ap_carr right_1→ap_carr right_1→ap_carr right_1)
 302  with
 303 [refl_eq⇒sl_meet (latt_jcarr_ l)]
 304  : ?
 305 );
 306   change in ⊢ (?→?→? ? ((?:%->%->%) ? ?) ?)
 307   with ((λx.exc_carr x) (excess_base_OF_semi_lattice (latt_mcarr l)));
 308   unfold excess_base_OF_lattice_ in ⊢ (?→?→? ? ((?:%->%->%) ? ?) ?);
 309   simplify in ⊢ (?→?→? ? ((?:%->%->%) ? ?) ?);
 310 change in ⊢ (?→?→? ? (% ? ?) ?) with
 311   (match refl_eq ? (excess__OF_semi_lattice (latt_mcarr l)) in eq
 312    return (λR.λE:eq ? (excess_base_OF_semi_lattice (latt_mcarr l)) R.R → R → R)
 313    with [refl_eq⇒
 314      (match latt_with3 l in eq
 315      return
 316        (λright:apartness
 317         .(λmatched:eq apartness (apartness_OF_semi_lattice (latt_jcarr_ l)) right
 318           .ap_carr right→ap_carr right→ap_carr right))
 319      with [refl_eq⇒ sl_meet (latt_jcarr_ l)]
 320      :
 321      exc_carr (excess_base_OF_semi_lattice (latt_mcarr l))
 322       →exc_carr (excess_base_OF_semi_lattice (latt_mcarr l))
 323        →exc_carr (excess_base_OF_semi_lattice (latt_mcarr l))
 324      )
 325    ]);
 326    generalize in ⊢ (?→?→? ? (match % return ? with [_⇒?] ? ?) ?);
 327    unfold excess_base_OF_lattice_ in ⊢ (? ? ? %→?);
 328    cases (latt_with1 l);
 329   change in ⊢ (?→?→?→? ? (match ? return ? with [_⇒(?:%→%->%)] ? ?) ?)
 330   with ((λx.ap_carr x) (latt_mcarr l));
 331   simplify in ⊢ (?→?→?→? ? (match ? return ? with [_⇒(?:%→%->%)] ? ?) ?);
 332   cases (latt_with3 l);
 333
 334    change in ⊢ (? ? % ?→?) with ((λx.ap_carr x) l);
 335    simplify in ⊢ (% → ?);
 336    change in ⊢ (?→?→?→? ? (match ? return λ_:?.(λ_:? ? % ?.?) with [_⇒?] ? ?) ?)
 337      with ((λx.ap_carr x) (apartness_OF_lattice_ l));
 338    unfold apartness_OF_lattice_;
 339    cases (latt_with3 l); simplify;
 340    change in ⊢ (? ? ? %→%→%→?) with ((λx.exc_carr x) l);
 341    unfold excess_base_OF_lattice_;
 342    cases (latt_with1 l); simplify;
 343    change in \vdash (? -> % -> % -> ?) with (exc_carr (excess_base_OF_semi_lattice (latt_jcarr_ l)));
 344    change in ⊢ ((? ? % ?)→%→%→? ? (match ? return λ_:?.(λ_:? ? % ?.?) with [_⇒?] ? ?) ?)
 345      with ((λx.exc_carr x) (excess_base_OF_semi_lattice1 (latt_jcarr_ l)));
 346    simplify;
 347    intro H;
 348    unfold excess_base_OF_semi_lattice1;
 349    unfold excess_base_OF_excess1;
 350    unfold excess_base_OF_excess_1;
 351    change
 352 *)
 353
 354 change in ⊢ (?→?→? ? (% ? ?) ?) with
 355   (match refl_eq ? (Type_OF_lattice_ l) in eq
 356    return (λR.λE:eq ? (Type_OF_lattice_ l) R.R → R → R)
 357    with [refl_eq⇒
 358      match latt_with3 l in eq
 359      return
 360        (λright:apartness
 361         .(λmatched:eq apartness (apartness_OF_semi_lattice (latt_jcarr_ l)) right
 362           .ap_carr right→ap_carr right→ap_carr right))
 363      with [refl_eq⇒ sl_meet (latt_jcarr_ l)]
 364    ]);
 365    generalize in ⊢ (?→?→? ? (match % return ? with [_⇒?] ? ?) ?);
 366    change in ⊢ (? ? % ?→?) with ((λx.ap_carr x) l);
 367    simplify in ⊢ (% → ?);
 368    change in ⊢ (?→?→?→? ? (match ? return λ_:?.(λ_:? ? % ?.?) with [_⇒?] ? ?) ?)
 369      with ((λx.ap_carr x) (apartness_OF_lattice_ l));
 370    unfold apartness_OF_lattice_;
 371    cases (latt_with3 l); simplify;
 372    change in ⊢ (? ? ? %→%→%→?) with ((λx.exc_carr x) l);
 373    unfold excess_base_OF_lattice_;
 374    cases (latt_with1 l); simplify;
 375    change in \vdash (? -> % -> % -> ?) with (exc_carr (excess_base_OF_semi_lattice (latt_jcarr_ l)));
 376    change in ⊢ ((? ? % ?)→%→%→? ? (match ? return λ_:?.(λ_:? ? % ?.?) with [_⇒?] ? ?) ?)
 377      with ((λx.exc_carr x) (excess_base_OF_semi_lattice1 (latt_jcarr_ l)));
 378    simplify;
 379    intro H;
 380    change in ⊢ (?→?→%) with (le (mk_excess_base
 381           ((λx.exc_carr x) (excess_base_OF_semi_lattice1 (latt_jcarr_ l)))
 382           ((λx.exc_excess x) (excess_base_OF_semi_lattice1 (latt_jcarr_ l)))
 383           ((λx.exc_coreflexive x) (excess_base_OF_semi_lattice1 (latt_jcarr_ l)))
 384           ((λx.exc_cotransitive x) (excess_base_OF_semi_lattice1 (latt_jcarr_ l)))
 385         ) (match H
 386  in eq
 387  return
 388 λR:Type
 389 .(λE:eq Type (exc_carr (excess_base_OF_semi_lattice1 (latt_jcarr_ l))) R
 390   .R→R→R)
 391  with
 392 [refl_eq⇒sl_meet (latt_jcarr_ l)] x y) y);
 393  simplify in ⊢ (?→?→? (? % ???) ? ?);
 394  change in ⊢ (?→?→? ? (match ? return λ_:?.(λ_:? ? % ?.?) with [_⇒?] ? ?) ?)
 395  with ((λx.exc_carr x) (excess_base_OF_semi_lattice1 (latt_jcarr_ l)));
 396  simplify in  ⊢ (?→?→? ? (match ? return λ_:?.(λ_:? ? % ?.?) with [_⇒?] ? ?) ?);
 397  lapply (match H in eq return
 398         λright.λe:eq ? (exc_carr (excess_base_OF_semi_lattice1 (latt_jcarr_ l))) right.
 399
 400 ∀x:right
 401 .∀y:right
 402  .le
 403   (mk_excess_base right ???)
 404   (match e
 405     in eq
 406     return
 407    λR:Type.(λE:eq Type (exc_carr (excess_base_OF_semi_lattice1 (latt_jcarr_ l))) R.R→R→R)
 408     with
 409    [refl_eq⇒sl_meet (latt_jcarr_ l)] x y) y
 410         with [refl_eq ⇒ ?]) as XX;
 411   [cases e; apply (exc_excess (latt_jcarr_ l));
 412   |unfold;cases e;simplify;apply (exc_coreflexive (latt_jcarr_ l));
 413   |unfold;cases e;simplify;apply (exc_cotransitive (latt_jcarr_ l));
 414   ||apply XX|
 415   |apply XX;
 416
 417          simplify; apply (sl_lem);
 418 |elim FALSE]
 419 qed.
 420
 421
 422
 423
 424 coercion cic:/matita/lattice/latt_jcarr.con.
 425
 426 interpretation "Lattice meet" 'and a b =
 427  (cic:/matita/lattice/sl_meet.con (cic:/matita/lattice/latt_mcarr.con _) a b).
 428
 429 interpretation "Lattice join" 'or a b =
 430  (cic:/matita/lattice/sl_meet.con (cic:/matita/lattice/latt_jcarr.con _) a b).
 431
 432 record lattice : Type ≝ {
 433   latt_carr:> lattice_;
 434   absorbjm: ∀f,g:latt_carr. (f ∨ (f ∧ g)) ≈ f;
 435   absorbmj: ∀f,g:latt_carr. (f ∧ (f ∨ g)) ≈ f
 436 }.
 437
 438 notation "'meet'"        non associative with precedence 50 for @{'meet}.
 439 notation "'meet_refl'"   non associative with precedence 50 for @{'meet_refl}.
 440 notation "'meet_comm'"   non associative with precedence 50 for @{'meet_comm}.
 441 notation "'meet_assoc'"  non associative with precedence 50 for @{'meet_assoc}.
 442 notation "'strong_extm'" non associative with precedence 50 for @{'strong_extm}.
 443 notation "'le_to_eqm'"   non associative with precedence 50 for @{'le_to_eqm}.
 444 notation "'lem'"         non associative with precedence 50 for @{'lem}.
 445 notation "'join'"        non associative with precedence 50 for @{'join}.
 446 notation "'join_refl'"   non associative with precedence 50 for @{'join_refl}.
 447 notation "'join_comm'"   non associative with precedence 50 for @{'join_comm}.
 448 notation "'join_assoc'"  non associative with precedence 50 for @{'join_assoc}.
 449 notation "'strong_extj'" non associative with precedence 50 for @{'strong_extj}.
 450 notation "'le_to_eqj'"   non associative with precedence 50 for @{'le_to_eqj}.
 451 notation "'lej'"         non associative with precedence 50 for @{'lej}.
 452
 453 interpretation "Lattice meet"        'meet        = (cic:/matita/lattice/sl_meet.con (cic:/matita/lattice/latt_mcarr.con _)).
 454 interpretation "Lattice meet_refl"   'meet_refl   = (cic:/matita/lattice/sl_meet_refl.con (cic:/matita/lattice/latt_mcarr.con _)).
 455 interpretation "Lattice meet_comm"   'meet_comm   = (cic:/matita/lattice/sl_meet_comm.con (cic:/matita/lattice/latt_mcarr.con _)).
 456 interpretation "Lattice meet_assoc"  'meet_assoc  = (cic:/matita/lattice/sl_meet_assoc.con (cic:/matita/lattice/latt_mcarr.con _)).
 457 interpretation "Lattice strong_extm" 'strong_extm = (cic:/matita/lattice/sl_strong_extm.con (cic:/matita/lattice/latt_mcarr.con _)).
 458 interpretation "Lattice le_to_eqm"   'le_to_eqm   = (cic:/matita/lattice/sl_le_to_eqm.con (cic:/matita/lattice/latt_mcarr.con _)).
 459 interpretation "Lattice lem"         'lem         = (cic:/matita/lattice/sl_lem.con (cic:/matita/lattice/latt_mcarr.con _)).
 460 interpretation "Lattice join"        'join        = (cic:/matita/lattice/sl_meet.con (cic:/matita/lattice/latt_jcarr.con _)).
 461 interpretation "Lattice join_refl"   'join_refl   = (cic:/matita/lattice/sl_meet_refl.con (cic:/matita/lattice/latt_jcarr.con _)).
 462 interpretation "Lattice join_comm"   'join_comm   = (cic:/matita/lattice/sl_meet_comm.con (cic:/matita/lattice/latt_jcarr.con _)).
 463 interpretation "Lattice join_assoc"  'join_assoc  = (cic:/matita/lattice/sl_meet_assoc.con (cic:/matita/lattice/latt_jcarr.con _)).
 464 interpretation "Lattice strong_extm" 'strong_extj = (cic:/matita/lattice/sl_strong_extm.con (cic:/matita/lattice/latt_jcarr.con _)).
 465 interpretation "Lattice le_to_eqj"   'le_to_eqj   = (cic:/matita/lattice/sl_le_to_eqm.con (cic:/matita/lattice/latt_jcarr.con _)).
 466 interpretation "Lattice lej"         'lej         = (cic:/matita/lattice/sl_lem.con (cic:/matita/lattice/latt_jcarr.con _)).
 467
 468 notation "'feq_jl'" non associative with precedence 50 for @{'feq_jl}.
 469 notation "'feq_jr'" non associative with precedence 50 for @{'feq_jr}.
 470 notation "'feq_ml'" non associative with precedence 50 for @{'feq_ml}.
 471 notation "'feq_mr'" non associative with precedence 50 for @{'feq_mr}.
 472 interpretation "Lattice feq_jl" 'feq_jl = (cic:/matita/lattice/sl_feq_ml.con (cic:/matita/lattice/latt_jcarr.con _)).
 473 interpretation "Lattice feq_jr" 'feq_jr = (cic:/matita/lattice/sl_feq_mr.con (cic:/matita/lattice/latt_jcarr.con _)).
 474 interpretation "Lattice feq_ml" 'feq_ml = (cic:/matita/lattice/sl_feq_ml.con (cic:/matita/lattice/latt_mcarr.con _)).
 475 interpretation "Lattice feq_mr" 'feq_mr = (cic:/matita/lattice/sl_feq_mr.con (cic:/matita/lattice/latt_mcarr.con _)).
 476
 477
 478 interpretation "Lattive meet le" 'leq a b =
 479  (cic:/matita/excess/le.con (cic:/matita/lattice/excess_OF_lattice1.con _) a b).
 480
 481 interpretation "Lattive join le (aka ge)" 'geq a b =
 482  (cic:/matita/excess/le.con (cic:/matita/lattice/excess_OF_lattice.con _) a b).
 483
 484 (* these coercions help unification, handmaking a bit of conversion
 485    over an open term
 486 *)
 487 lemma le_to_ge: ∀l:lattice.∀a,b:l.a ≤ b → b ≥ a.
 488 intros(l a b H); apply H;
 489 qed.
 490
 491 lemma ge_to_le: ∀l:lattice.∀a,b:l.b ≥ a → a ≤ b.
 492 intros(l a b H); apply H;
 493 qed.
 494
 495 coercion cic:/matita/lattice/le_to_ge.con nocomposites.
 496 coercion cic:/matita/lattice/ge_to_le.con nocomposites.