helm/software/matita/dama/lattice.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/lattices/".
  16
  17 include "excedence.ma".
  18
  19 record lattice : Type ≝ {
  20   l_carr:> apartness;
  21   join: l_carr → l_carr → l_carr;
  22   meet: l_carr → l_carr → l_carr;
  23   join_comm: ∀x,y:l_carr. join x y ≈ join y x;
  24   meet_comm: ∀x,y:l_carr. meet x y ≈ meet y x;
  25   join_assoc: ∀x,y,z:l_carr. join x (join y z) ≈ join (join y x) z;
  26   meet_assoc: ∀x,y,z:l_carr. meet x (meet y z) ≈ meet (meet y x) z;
  27   absorbjm: ∀f,g:l_carr. join f (meet f g) ≈ f;
  28   absorbmj: ∀f,g:l_carr. meet f (join f g) ≈ f
  29 }.
  30
  31
  32 (*
  33 include "ordered_sets.ma".
  34
  35 record lattice (C:Type) (join,meet:C→C→C) : Prop \def
  36  { (* abelian semigroup properties *)
  37    l_comm_j: symmetric ? join;
  38    l_associative_j: associative ? join;
  39    l_comm_m: symmetric ? meet;
  40    l_associative_m: associative ? meet;
  41    (* other properties *)
  42    l_adsorb_j_m: ∀f,g:C. join f (meet f g) = f;
  43    l_adsorb_m_j: ∀f,g:C. meet f (join f g) = f
  44  }.
  45
  46 record lattice : Type \def
  47  { l_carrier:> Type;
  48    l_join: l_carrier→l_carrier→l_carrier;
  49    l_meet: l_carrier→l_carrier→l_carrier;
  50    l_lattice_properties:> is_lattice ? l_join l_meet
  51  }.
  52
  53 interpretation "Lattice meet" 'and a b =
  54  (cic:/matita/lattices/l_meet.con _ a b).
  55
  56 interpretation "Lattice join" 'or a b =
  57  (cic:/matita/lattices/l_join.con _ a b).
  58
  59 definition le \def λL:lattice.λf,g:L. (f ∧ g) = f.
  60
  61 definition ordered_set_of_lattice: lattice → ordered_set.
  62  intros (L);
  63  apply mk_ordered_set;
  64   [2: apply (le L)
  65   | skip
  66   | apply mk_is_order_relation;
  67      [ unfold reflexive;
  68        intros;
  69        unfold;
  70        rewrite < (l_adsorb_j_m ? ? ? L ? x) in ⊢ (? ? (? ? ? %) ?);
  71        rewrite > l_adsorb_m_j;
  72         [ reflexivity
  73         | apply (l_lattice_properties L)
  74         ]
  75      | intros;
  76        unfold transitive;
  77        unfold le;
  78        intros;
  79        rewrite < H;
  80        rewrite > (l_associative_m ? ? ? L);
  81        rewrite > H1;
  82        reflexivity
  83      | unfold antisimmetric;
  84        unfold le;
  85        intros;
  86        rewrite < H;
  87        rewrite > (l_comm_m ? ? ? L);
  88        assumption
  89      ]
  90   ]
  91 qed.
  92
  93 coercion cic:/matita/lattices/ordered_set_of_lattice.con.
  94 *)