helm/software/matita/dama/metric_lattice.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/metric_lattice/".
  16
  17 include "metric_space.ma".
  18 include "lattice.ma".
  19
  20 record mlattice_ (R : ogroup) : Type ≝ {
  21   ml_mspace_: metric_space R;
  22   ml_lattice:> lattice;
  23   ml_with_: ms_carr ? ml_mspace_ = ap_carr (l_carr ml_lattice)
  24 }.
  25
  26 lemma ml_mspace: ∀R.mlattice_ R → metric_space R.
  27 intros (R ml); apply (mk_metric_space R ml); unfold Type_OF_mlattice_;
  28 cases (ml_with_ ? ml); simplify;
  29 [apply (metric ? (ml_mspace_ ? ml));|apply (mpositive ? (ml_mspace_ ? ml));
  30 |apply (mreflexive ? (ml_mspace_ ? ml));|apply (msymmetric ? (ml_mspace_ ? ml));
  31 |apply (mtineq ? (ml_mspace_ ? ml))]
  32 qed.
  33
  34 coercion cic:/matita/metric_lattice/ml_mspace.con.
  35
  36 record is_mlattice (R : ogroup) (ml: mlattice_ R) : Type ≝ {
  37   ml_prop1: ∀a,b:ml. 0 < δ a b → a # b;
  38   ml_prop2: ∀a,b,c:ml. δ (a∨b) (a∨c) + δ (a∧b) (a∧c) ≤ δ b c
  39 }.
  40
  41 record mlattice (R : ogroup) : Type ≝ {
  42   ml_carr :> mlattice_ R;
  43   ml_props:> is_mlattice R ml_carr
  44 }.
  45
  46 lemma eq_to_zero: ∀R.∀ml:mlattice R.∀x,y:ml.x ≈ y → δ x y ≈ 0.
  47 intros (R ml x y H); intro H1; apply H; clear H;
  48 apply (ml_prop1 ?? ml); split [apply mpositive] apply ap_symmetric;
  49 assumption;
  50 qed.
  51
  52 lemma meq_joinl: ∀R.∀ml:mlattice R.∀x,y,z:ml. x≈z → δx y ≈ δz y.
  53 intros (R ml x y z); apply le_le_eq;
  54 [ apply (le_transitive ???? (mtineq ???y z));
  55   apply (le_rewl ??? (0+δz y) (eq_to_zero ???? H));
  56   apply (le_rewl ??? (δz y) (zero_neutral ??)); apply le_reflexive;
  57 | apply (le_transitive ???? (mtineq ???y x));
  58   apply (le_rewl ??? (0+δx y) (eq_to_zero ??z x H));
  59   apply (le_rewl ??? (δx y) (zero_neutral ??)); apply le_reflexive;]
  60 qed.
  61
  62 lemma meq_joinr: ∀R.∀ml:mlattice R.∀x,y,z:ml. x≈z → δy x ≈ δy z.
  63 intros; apply (eq_trans ???? (msymmetric ??y x));
  64 apply (eq_trans ????? (msymmetric ??z y)); apply meq_joinl; assumption;
  65 qed.
  66
  67 (* 3.11 *)
  68 lemma le_mtri:
  69   ∀R.∀ml:mlattice R.∀x,y,z:ml. x ≤ y → y ≤ z → δ x z ≈ δ x y + δ y z.
  70 intros (R ml x y z Lxy Lyz); apply le_le_eq; [apply mtineq]
  71 apply (le_transitive ????? (ml_prop2 ?? ml (y) ??));
  72 (* auto type. assert failure *)
  73 whd;