helm/software/matita/dama/metric_lattice.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "metric_space.ma".
  16 include "lattice.ma".
  17
  18 record mlattice_ (R : todgroup) : Type ≝ {
  19   ml_mspace_: metric_space R;
  20   ml_lattice:> lattice;
  21   ml_with_: ms_carr ? ml_mspace_ = apart_of_excess (pl_carr ml_lattice)
  22 }.
  23
  24 lemma ml_mspace: ∀R.mlattice_ R → metric_space R.
  25 intros (R ml); apply (mk_metric_space R (apart_of_excess ml));
  26 unfold apartness_OF_mlattice_;
  27 [rewrite < (ml_with_ ? ml); apply (metric ? (ml_mspace_ ? ml))]
  28 cases (ml_with_ ? ml); simplify;
  29 [apply (mpositive ? (ml_mspace_ ? ml));|apply (mreflexive ? (ml_mspace_ ? ml));
  30 |apply (msymmetric ? (ml_mspace_ ? ml));|apply (mtineq ? (ml_mspace_ ? ml))]
  31 qed.
  32
  33 coercion cic:/matita/metric_lattice/ml_mspace.con.
  34
  35 alias symbol "plus" = "Abelian group plus".
  36 record mlattice (R : todgroup) : Type ≝ {
  37   ml_carr :> mlattice_ R;
  38   ml_prop1: ∀a,b:ml_carr. 0 < δ a b → a # b;
  39   ml_prop2: ∀a,b,c:ml_carr. δ (a∨b) (a∨c) + δ (a∧b) (a∧c) ≤ δ b c
  40 }.
  41
  42 lemma eq_to_ndlt0: ∀R.∀ml:mlattice R.∀a,b:ml. a ≈ b → ¬ 0 < δ a b.
  43 intros (R ml a b E); intro H; apply E; apply ml_prop1;
  44 assumption;
  45 qed.
  46
  47 lemma eq_to_dzero: ∀R.∀ml:mlattice R.∀x,y:ml.x ≈ y → δ x y ≈ 0.
  48 intros (R ml x y H); intro H1; apply H; clear H;
  49 apply ml_prop1; split [apply mpositive] apply ap_symmetric;
  50 assumption;
  51 qed.
  52
  53 lemma meq_l: ∀R.∀ml:mlattice R.∀x,y,z:ml. x≈z → δx y ≈ δz y.
  54 intros (R ml x y z); apply le_le_eq;
  55 [ apply (le_transitive ???? (mtineq ???y z));
  56   apply (le_rewl ??? (0+δz y) (eq_to_dzero ???? H));
  57   apply (le_rewl ??? (δz y) (zero_neutral ??)); apply le_reflexive;
  58 | apply (le_transitive ???? (mtineq ???y x));
  59   apply (le_rewl ??? (0+δx y) (eq_to_dzero ??z x H));
  60   apply (le_rewl ??? (δx y) (zero_neutral ??)); apply le_reflexive;]
  61 qed.
  62
  63 (* 3.3 *)
  64 lemma meq_r: ∀R.∀ml:mlattice R.∀x,y,z:ml. x≈z → δy x ≈ δy z.
  65 intros; apply (eq_trans ???? (msymmetric ??y x));
  66 apply (eq_trans ????? (msymmetric ??z y)); apply meq_l; assumption;
  67 qed.
  68
  69
  70 lemma dap_to_lt: ∀R.∀ml:mlattice R.∀x,y:ml. δ x y # 0 → 0 < δ x y.
  71 intros; split [apply mpositive] apply ap_symmetric; assumption;
  72 qed.
  73
  74 lemma dap_to_ap: ∀R.∀ml:mlattice R.∀x,y:ml. δ x y # 0 → x # y.
  75 intros (R ml x y H); apply ml_prop1; split; [apply mpositive;]
  76 apply ap_symmetric; assumption;
  77 qed.
  78
  79 interpretation "Lattive meet le" 'leq a b =
  80  (cic:/matita/excess/le.con (cic:/matita/lattice/excess_OF_lattice1.con _) a b).
  81
  82 interpretation "Lattive join le (aka ge)" 'geq a b =
  83  (cic:/matita/excess/le.con (cic:/matita/lattice/excess_OF_lattice.con _) a b).
  84
  85 lemma le_to_ge: ∀l:lattice.∀a,b:l.a ≤ b → b ≥ a.
  86 intros(l a b H); apply H;
  87 qed.
  88
  89 lemma ge_to_le: ∀l:lattice.∀a,b:l.b ≥ a → a ≤ b.
  90 intros(l a b H); apply H;
  91 qed.
  92
  93 lemma eq_to_eq:∀l:lattice.∀a,b:l.
  94   (eq (apart_of_excess (pl_carr (latt_jcarr l))) a b) →
  95   (eq (apart_of_excess (pl_carr (latt_mcarr l))) a b).
  96 intros 3; unfold eq; unfold apartness_OF_lattice;
  97 unfold apartness_OF_lattice_1; unfold latt_jcarr; simplify;
  98 unfold dual_exc; simplify; intros 2 (H H1); apply H;
  99 cases H1;[right|left]assumption;
 100 qed.
 101
 102 coercion cic:/matita/metric_lattice/eq_to_eq.con nocomposites.
 103
 104 (* 3.11 *)
 105 lemma le_mtri:
 106   ∀R.∀ml:mlattice R.∀x,y,z:ml. x ≤ y → y ≤ z → δ x z ≈ δ x y + δ y z.
 107 intros (R ml x y z Lxy Lyz); apply le_le_eq; [apply mtineq]
 108 apply (le_transitive ????? (ml_prop2 ?? (y) ??));
 109 cut ( δx y+ δy z ≈ δ(y∨x) (y∨z)+ δ(y∧x) (y∧z)); [
 110   apply (le_rewr ??? (δx y+ δy z)); [assumption] apply le_reflexive]
 111 lapply (le_to_eqm ?? Lxy) as Dxm; lapply (le_to_eqm ?? Lyz) as Dym;
 112 lapply (le_to_eqj ?? (le_to_ge ??? Lxy)) as Dxj; lapply (le_to_eqj ?? (le_to_ge ??? Lyz)) as Dyj; clear Lxy Lyz;
 113 apply (Eq≈ (δ(x∧y) y + δy z) (meq_l ????? Dxm));
 114 apply (Eq≈ (δ(x∧y) (y∧z) + δy z) (meq_r ????? Dym));
 115 apply (Eq≈ (δ(x∧y) (y∧z) + δ(y∨x) z));[
 116   apply feq_plusl; apply meq_l; clear Dyj Dxm Dym;
 117   unfold apartness_OF_mlattice1;
 118   exact (eq_to_eq ??? Dxj);]
 119 apply (Eq≈ (δ(x∧y) (y∧z) + δ(y∨x) (z∨y))); [
 120   apply (feq_plusl ? (δ(x∧y) (y∧z)) ?? (meq_r ??? (y∨x) ? Dyj));]
 121 apply (Eq≈ ? (plus_comm ???));
 122 apply (Eq≈ (δ(y∨x) (y∨z)+ δ(x∧y) (y∧z)));[
 123   apply feq_plusr;
 124   apply meq_r;
 125   apply (join_comm y z);]
 126 apply feq_plusl;
 127 apply (Eq≈ (δ(y∧x) (y∧z)) (meq_l ????? (meet_comm x y)));
 128 apply eq_reflexive;
 129 qed.
 130
 131
 132 (* 3.17 conclusione: δ x y ≈ 0 *)
 133 (* 3.20 conclusione: δ x y ≈ 0 *)
 134 (* 3.21 sup forte
 135    strong_sup x ≝ ∀n. s n ≤ x ∧ ∀y x ≰ y → ∃n. s n ≰ y
 136    strong_sup_zoli x ≝  ∀n. s n ≤ x ∧ ∄y. y#x ∧ y ≤ x
 137 *)
 138 (* 3.22 sup debole (più piccolo dei maggioranti) *)
 139 (* 3.23 conclusion: δ x sup(...) ≈ 0 *)
 140 (* 3.25 vero nel reticolo e basta (niente δ) *)
 141 (* 3.36 conclusion: δ x y ≈ 0 *)