helm/software/matita/dama/metric_lattice.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/metric_lattice/".
  16
  17 include "metric_space.ma".
  18 include "lattice.ma".
  19
  20 record mlattice_ (R : todgroup) : Type ≝ {
  21   ml_mspace_: metric_space R;
  22   ml_lattice:> lattice;
  23   ml_with_: ms_carr ? ml_mspace_ = ap_carr (l_carr ml_lattice)
  24 }.
  25
  26 lemma ml_mspace: ∀R.mlattice_ R → metric_space R.
  27 intros (R ml); apply (mk_metric_space R ml); unfold Type_OF_mlattice_;
  28 cases (ml_with_ ? ml); simplify;
  29 [apply (metric ? (ml_mspace_ ? ml));|apply (mpositive ? (ml_mspace_ ? ml));
  30 |apply (mreflexive ? (ml_mspace_ ? ml));|apply (msymmetric ? (ml_mspace_ ? ml));
  31 |apply (mtineq ? (ml_mspace_ ? ml))]
  32 qed.
  33
  34 coercion cic:/matita/metric_lattice/ml_mspace.con.
  35
  36 record is_mlattice (R : todgroup) (ml: mlattice_ R) : Type ≝ {
  37   ml_prop1: ∀a,b:ml. 0 < δ a b → a # b;
  38   ml_prop2: ∀a,b,c:ml. δ (a∨b) (a∨c) + δ (a∧b) (a∧c) ≤ δ b c
  39 }.
  40
  41 record mlattice (R : todgroup) : Type ≝ {
  42   ml_carr :> mlattice_ R;
  43   ml_props:> is_mlattice R ml_carr
  44 }.
  45
  46 lemma eq_to_ndlt0: ∀R.∀ml:mlattice R.∀a,b:ml. a ≈ b → ¬ 0 < δ a b.
  47 intros (R ml a b E); intro H; apply E; apply (ml_prop1 ?? ml);
  48 assumption;
  49 qed.
  50
  51 lemma eq_to_dzero: ∀R.∀ml:mlattice R.∀x,y:ml.x ≈ y → δ x y ≈ 0.
  52 intros (R ml x y H); intro H1; apply H; clear H;
  53 apply (ml_prop1 ?? ml); split [apply mpositive] apply ap_symmetric;
  54 assumption;
  55 qed.
  56
  57 lemma meq_l: ∀R.∀ml:mlattice R.∀x,y,z:ml. x≈z → δx y ≈ δz y.
  58 intros (R ml x y z); apply le_le_eq;
  59 [ apply (le_transitive ???? (mtineq ???y z));
  60   apply (le_rewl ??? (0+δz y) (eq_to_dzero ???? H));
  61   apply (le_rewl ??? (δz y) (zero_neutral ??)); apply le_reflexive;
  62 | apply (le_transitive ???? (mtineq ???y x));
  63   apply (le_rewl ??? (0+δx y) (eq_to_dzero ??z x H));
  64   apply (le_rewl ??? (δx y) (zero_neutral ??)); apply le_reflexive;]
  65 qed.
  66
  67 (* 3.3 *)
  68 lemma meq_r: ∀R.∀ml:mlattice R.∀x,y,z:ml. x≈z → δy x ≈ δy z.
  69 intros; apply (eq_trans ???? (msymmetric ??y x));
  70 apply (eq_trans ????? (msymmetric ??z y)); apply meq_l; assumption;
  71 qed.
  72
  73
  74 lemma dap_to_lt: ∀R.∀ml:mlattice R.∀x,y:ml. δ x y # 0 → 0 < δ x y.
  75 intros; split [apply mpositive] apply ap_symmetric; assumption;
  76 qed.
  77
  78 lemma dap_to_ap: ∀R.∀ml:mlattice R.∀x,y:ml. δ x y # 0 → x # y.
  79 intros (R ml x y H); apply (ml_prop1 ?? ml); split; [apply mpositive;]
  80 apply ap_symmetric; assumption;
  81 qed.
  82
  83 (* 3.11 *)
  84 lemma le_mtri:
  85   ∀R.∀ml:mlattice R.∀x,y,z:ml. x ≤ y → y ≤ z → δ x z ≈ δ x y + δ y z.
  86 intros (R ml x y z Lxy Lyz); apply le_le_eq; [apply mtineq]
  87 apply (le_transitive ????? (ml_prop2 ?? ml (y) ??));
  88 cut ( δx y+ δy z ≈ δ(y∨x) (y∨z)+ δ(y∧x) (y∧z)); [
  89   apply (le_rewr ??? (δx y+ δy z)); [assumption] apply le_reflexive]
  90 lapply (le_to_eqm ??? Lxy) as Dxm; lapply (le_to_eqm ??? Lyz) as Dym;
  91 lapply (le_to_eqj ??? Lxy) as Dxj; lapply (le_to_eqj ??? Lyz) as Dyj; clear Lxy Lyz;
  92 apply (Eq≈ (δ(x∧y) y + δy z)); [apply feq_plusr; apply (meq_l ????? Dxm);]
  93 apply (Eq≈ (δ(x∧y) (y∧z) + δy z)); [apply feq_plusr; apply (meq_r ????? Dym);]
  94 apply (Eq≈ (δ(x∧y) (y∧z) + δ(x∨y) z)); [apply feq_plusl; apply (meq_l ????? Dxj);]
  95 apply (Eq≈ (δ(x∧y) (y∧z) + δ(x∨y) (y∨z))); [apply feq_plusl; apply (meq_r ????? Dyj);]
  96 apply (Eq≈ ? (plus_comm ???));
  97 apply (Eq≈ (δ(y∨x) (y∨z)+ δ(x∧y) (y∧z))); [apply feq_plusr; apply (meq_l ????? (join_comm ???));]
  98 apply feq_plusl;
  99 apply (Eq≈ (δ(y∧x) (y∧z))); [apply (meq_l ????? (meet_comm ???));]
 100 apply eq_reflexive;
 101 qed.
 102
 103 include "sequence.ma".
 104 include "nat/plus.ma".
 105
 106 lemma ltwl: ∀a,b,c:nat. b + a < c → a < c.
 107 intros 3 (x y z); elim y (H z IH H); [apply H]
 108 apply IH; apply lt_S_to_lt; apply H;
 109 qed.
 110
 111 lemma ltwr: ∀a,b,c:nat. a + b < c → a < c.
 112 intros 3 (x y z); rewrite > sym_plus; apply ltwl;
 113 qed.
 114
 115
 116 definition d2s ≝
 117   λR.λml:mlattice R.λs:sequence ml.λk.λn. δ (s n) k.
 118 (*
 119 notation "s ⇝ 'Zero'" non associative with precedence 50 for @{'tends0 $s }.
 120
 121 interpretation "tends to" 'tends s x =
 122   (cic:/matita/sequence/tends0.con _ s).
 123 *)
 124
 125 alias symbol "leq" = "ordered sets less or equal than".
 126 alias symbol "and" = "constructive and".
 127 alias symbol "exists" = "constructive exists (Type)".
 128 theorem carabinieri:
 129   ∀R.∀ml:mlattice R.∀an,bn,xn:sequence ml.
 130     (∀n. (an n ≤ xn n) ∧ (xn n ≤ bn n)) →
 131     ∀x:ml. tends0 ? (d2s ? ml an x) → tends0 ? (d2s ? ml bn x) →
 132     tends0 ? (d2s ? ml xn x).
 133 intros (R ml an bn xn H x Ha Hb); unfold tends0 in Ha Hb ⊢ %. unfold d2s in Ha Hb ⊢ %.
 134 intros (e He);
 135 alias num (instance 0) = "natural number".
 136 elim (Ha (e/2) (divide_preserves_lt ??? He)) (n1 H1); clear Ha;
 137 elim (Hb (e/3) (divide_preserves_lt ??? He)) (n2 H2); clear Hb;
 138 constructor 1; [apply (n1 + n2);] intros (n3 Hn3);
 139 lapply (ltwr ??? Hn3) as Hn1n3; lapply (ltwl ??? Hn3) as Hn2n3;
 140 elim (H1 ? Hn1n3) (H3 H4); elim (H2 ? Hn2n3) (H5 H6); clear Hn1n3 Hn2n3;
 141 elim (H n3) (H7 H8); clear H H1 H2;
 142 lapply (le_to_eqm ??? H7) as Dxm; lapply (le_to_eqj ??? H7) as Dym;
 143 (* the main step *)
 144 cut (δ (xn n3) x ≤ δ (bn n3) x + δ (an n3) x + δ (an n3) x); [2:
 145   apply (le_transitive ???? (mtineq ???? (an n3)));
 146   lapply (le_mtri ????? H7 H8);
 147   lapply (feq_plusr ? (- δ(xn n3) (bn n3)) ?? Hletin);
 148   cut ( δ(an n3) (bn n3)+- δ(xn n3) (bn n3)≈( δ(an n3) (xn n3))); [2:
 149     apply (Eq≈  (0 + δ(an n3) (xn n3)) ? (zero_neutral ??));
 150     apply (Eq≈  (δ(an n3) (xn n3) + 0) ? (plus_comm ???));
 151     apply (Eq≈  (δ(an n3) (xn n3) +  (-δ(xn n3) (bn n3) +  δ(xn n3) (bn n3))) ? (opp_inverse ??));
 152     apply (Eq≈  (δ(an n3) (xn n3) +  (δ(xn n3) (bn n3) + -δ(xn n3) (bn n3))) ? (plus_comm ?? (δ(xn n3) (bn n3))));
 153     apply (Eq≈  ? ? (eq_sym ??? (plus_assoc ????))); assumption;] clear Hletin1;
 154   apply (le_rewl ???  ( δ(an n3) (xn n3)+ δ(an n3) x));[
 155     apply feq_plusr; apply msymmetric;]
 156   apply (le_rewl ???  (δ(an n3) (bn n3)+- δ(xn n3) (bn n3)+ δ(an n3) x));[
 157     apply feq_plusr; assumption;]
 158   clear Hcut Hletin Dym Dxm H8 H7 H6 H5 H4 H3;
 159   apply (le_rewl ??? (- δ(xn n3) (bn n3)+ δ(an n3) (bn n3)+δ(an n3) x));[
 160     apply feq_plusr; apply plus_comm;]
 161   apply (le_rewl ??? (- δ(xn n3) (bn n3)+ (δ(an n3) (bn n3)+δ(an n3) x)) (plus_assoc ????));
 162   apply (le_rewl ??? ((δ(an n3) (bn n3)+δ(an n3) x)+- δ(xn n3) (bn n3)) (plus_comm ???));
 163   apply lew_opp; [apply mpositive] apply fle_plusr;
 164   apply (le_rewr ???? (plus_comm ???));
 165   apply (le_rewr ??? ( δ(an n3) x+ δx (bn n3)) (msymmetric ????));
 166   apply mtineq;]
 167 split; [
 168   apply (lt_le_transitive ????? (mpositive ????));
 169   split; elim He; [apply  le_zero_x_to_le_opp_x_zero; assumption;]
 170   cases t1; [
 171     left; apply exc_zero_opp_x_to_exc_x_zero;
 172     apply (Ex≫ ? (eq_opp_opp_x_x ??));assumption;]
 173   right;  apply exc_opp_x_zero_to_exc_zero_x;
 174   apply (Ex≪ ? (eq_opp_opp_x_x ??)); assumption;]
 175 clear Dxm Dym H7 H8 Hn3 H5 H3 n1 n2;
 176 apply (le_lt_transitive ???? ? (core1 ?? He));
 177 apply (le_transitive ???? Hcut);
 178 apply (le_transitive ??  (e/3+ δ(an n3) x+ δ(an n3) x)); [
 179   repeat apply fle_plusr; cases H6; assumption;]
 180 apply (le_transitive ??  (e/3+ e/2 + δ(an n3) x)); [
 181   apply fle_plusr; apply fle_plusl; cases H4; assumption;]
 182 apply (le_transitive ??  (e/3+ e/2 + e/2)); [
 183   apply fle_plusl; cases H4; assumption;]
 184 apply le_reflexive;
 185 qed.
 186
 187
 188 (* 3.17 conclusione: δ x y ≈ 0 *)
 189 (* 3.20 conclusione: δ x y ≈ 0 *)
 190 (* 3.21 sup forte
 191    strong_sup x ≝ ∀n. s n ≤ x ∧ ∀y x ≰ y → ∃n. s n ≰ y
 192    strong_sup_zoli x ≝  ∀n. s n ≤ x ∧ ∄y. y#x ∧ y ≤ x
 193 *)
 194 (* 3.22 sup debole (più piccolo dei maggioranti) *)
 195 (* 3.23 conclusion: δ x sup(...) ≈ 0 *)
 196 (* 3.25 vero nel reticolo e basta (niente δ) *)
 197 (* 3.36 conclusion: δ x y ≈ 0 *)