helm/software/matita/dama/ordered_group.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
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  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/ordered_gorup/".
  16
  17 include "ordered_set.ma".
  18 include "group.ma".
  19
  20 record pre_ogroup : Type ≝ {
  21   og_abelian_group_: abelian_group;
  22   og_tordered_set:> tordered_set;
  23   og_with: carr og_abelian_group_ = og_tordered_set
  24 }.
  25
  26 lemma og_abelian_group: pre_ogroup → abelian_group.
  27 intro G; apply (mk_abelian_group G); [1,2,3: rewrite < (og_with G)]
  28 [apply (plus (og_abelian_group_ G));|apply zero;|apply opp]
  29 unfold apartness_OF_pre_ogroup; cases (og_with G); simplify;
  30 [apply plus_assoc|apply plus_comm|apply zero_neutral|apply opp_inverse|apply plus_strong_ext]
  31 qed.
  32
  33 coercion cic:/matita/ordered_gorup/og_abelian_group.con.
  34
  35 record ogroup : Type ≝ {
  36   og_carr:> pre_ogroup;
  37   exc_canc_plusr: ∀f,g,h:og_carr. f+h ≰ g+h → f ≰ g
  38 }.
  39
  40 notation > "'Ex'≪" non associative with precedence 50 for
  41  @{'excedencerewritel}.
  42
  43 interpretation "exc_rewl" 'excedencerewritel =
  44  (cic:/matita/excedence/exc_rewl.con _ _ _).
  45
  46 notation > "'Ex'≫" non associative with precedence 50 for
  47  @{'excedencerewriter}.
  48
  49 interpretation "exc_rewr" 'excedencerewriter =
  50  (cic:/matita/excedence/exc_rewr.con _ _ _).
  51
  52 lemma fexc_plusr:
  53   ∀G:ogroup.∀x,y,z:G. x ≰ y → x+z ≰ y + z.
  54 intros 5 (G x y z L); apply (exc_canc_plusr ??? (-z));
  55 apply (Ex≪  (x + (z + -z)) (plus_assoc ????));
  56 apply (Ex≪  (x + (-z + z)) (plus_comm ??z));
  57 apply (Ex≪  (x+0) (opp_inverse ??));
  58 apply (Ex≪  (0+x) (plus_comm ???));
  59 apply (Ex≪  x (zero_neutral ??));
  60 apply (Ex≫ (y + (z + -z)) (plus_assoc ????));
  61 apply (Ex≫  (y + (-z + z)) (plus_comm ??z));
  62 apply (Ex≫  (y+0) (opp_inverse ??));
  63 apply (Ex≫  (0+y) (plus_comm ???));
  64 apply (Ex≫  y (zero_neutral ??) L);
  65 qed.
  66
  67 coercion cic:/matita/ordered_gorup/fexc_plusr.con nocomposites.
  68
  69 lemma exc_canc_plusl: ∀G:ogroup.∀f,g,h:G. h+f ≰ h+g → f ≰ g.
  70 intros 5 (G x y z L); apply (exc_canc_plusr ??? z);
  71 apply (exc_rewl ??? (z+x) (plus_comm ???));
  72 apply (exc_rewr ??? (z+y) (plus_comm ???) L);
  73 qed.
  74
  75 lemma fexc_plusl:
  76   ∀G:ogroup.∀x,y,z:G. x ≰ y → z+x ≰ z+y.
  77 intros 5 (G x y z L); apply (exc_canc_plusl ??? (-z));
  78 apply (exc_rewl ???? (plus_assoc ??z x));
  79 apply (exc_rewr ???? (plus_assoc ??z y));
  80 apply (exc_rewl ??? (0+x) (opp_inverse ??));
  81 apply (exc_rewr ??? (0+y) (opp_inverse ??));
  82 apply (exc_rewl ???? (zero_neutral ??));
  83 apply (exc_rewr ???? (zero_neutral ??) L);
  84 qed.
  85
  86 coercion cic:/matita/ordered_gorup/fexc_plusl.con nocomposites.
  87
  88 lemma plus_cancr_le:
  89   ∀G:ogroup.∀x,y,z:G.x+z ≤ y + z → x ≤ y.
  90 intros 5 (G x y z L);
  91 apply (le_rewl ??? (0+x) (zero_neutral ??));
  92 apply (le_rewl ??? (x+0) (plus_comm ???));
  93 apply (le_rewl ??? (x+(-z+z)) (opp_inverse ??));
  94 apply (le_rewl ??? (x+(z+ -z)) (plus_comm ??z));
  95 apply (le_rewl ??? (x+z+ -z) (plus_assoc ????));
  96 apply (le_rewr ??? (0+y) (zero_neutral ??));
  97 apply (le_rewr ??? (y+0) (plus_comm ???));
  98 apply (le_rewr ??? (y+(-z+z)) (opp_inverse ??));
  99 apply (le_rewr ??? (y+(z+ -z)) (plus_comm ??z));
 100 apply (le_rewr ??? (y+z+ -z) (plus_assoc ????));
 101 intro H; apply L; clear L; apply (exc_canc_plusr ??? (-z) H);
 102 qed.
 103
 104 lemma fle_plusl: ∀G:ogroup. ∀f,g,h:G. f≤g → h+f≤h+g.
 105 intros (G f g h);
 106 apply (plus_cancr_le ??? (-h));
 107 apply (le_rewl ??? (f+h+ -h) (plus_comm ? f h));
 108 apply (le_rewl ??? (f+(h+ -h)) (plus_assoc ????));
 109 apply (le_rewl ??? (f+(-h+h)) (plus_comm ? h (-h)));
 110 apply (le_rewl ??? (f+0) (opp_inverse ??));
 111 apply (le_rewl ??? (0+f) (plus_comm ???));
 112 apply (le_rewl ??? (f) (zero_neutral ??));
 113 apply (le_rewr ??? (g+h+ -h) (plus_comm ? h ?));
 114 apply (le_rewr ??? (g+(h+ -h)) (plus_assoc ????));
 115 apply (le_rewr ??? (g+(-h+h)) (plus_comm ??h));
 116 apply (le_rewr ??? (g+0) (opp_inverse ??));
 117 apply (le_rewr ??? (0+g) (plus_comm ???));
 118 apply (le_rewr ??? (g) (zero_neutral ??) H);
 119 qed.
 120
 121 lemma fle_plusr: ∀G:ogroup. ∀f,g,h:G. f≤g → f+h≤g+h.
 122 intros (G f g h H); apply (le_rewl ???? (plus_comm ???));
 123 apply (le_rewr ???? (plus_comm ???)); apply fle_plusl; assumption;
 124 qed.
 125
 126 lemma plus_cancl_le:
 127   ∀G:ogroup.∀x,y,z:G.z+x ≤ z+y → x ≤ y.
 128 intros 5 (G x y z L);
 129 apply (le_rewl ??? (0+x) (zero_neutral ??));
 130 apply (le_rewl ??? ((-z+z)+x) (opp_inverse ??));
 131 apply (le_rewl ??? (-z+(z+x)) (plus_assoc ????));
 132 apply (le_rewr ??? (0+y) (zero_neutral ??));
 133 apply (le_rewr ??? ((-z+z)+y) (opp_inverse ??));
 134 apply (le_rewr ??? (-z+(z+y)) (plus_assoc ????));
 135 apply (fle_plusl ??? (-z) L);
 136 qed.
 137
 138 lemma exc_opp_x_zero_to_exc_zero_x:
 139   ∀G:ogroup.∀x:G.-x ≰ 0 → 0 ≰ x.
 140 intros (G x H); apply (exc_canc_plusr ??? (-x));
 141 apply (exc_rewr ???? (plus_comm ???));
 142 apply (exc_rewr ???? (opp_inverse ??));
 143 apply (exc_rewl ???? (zero_neutral ??) H);
 144 qed.
 145
 146 lemma le_zero_x_to_le_opp_x_zero:
 147   ∀G:ogroup.∀x:G.0 ≤ x → -x ≤ 0.
 148 intros (G x Px); apply (plus_cancr_le ??? x);
 149 apply (le_rewl ??? 0 (opp_inverse ??));
 150 apply (le_rewr ??? x (zero_neutral ??) Px);
 151 qed.
 152
 153 lemma exc_zero_opp_x_to_exc_x_zero:
 154   ∀G:ogroup.∀x:G. 0 ≰ -x → x ≰ 0.
 155 intros (G x H); apply (exc_canc_plusl ??? (-x));
 156 apply (exc_rewr ???? (plus_comm ???));
 157 apply (exc_rewl ???? (opp_inverse ??));
 158 apply (exc_rewr ???? (zero_neutral ??) H);
 159 qed.
 160
 161 lemma le_x_zero_to_le_zero_opp_x:
 162   ∀G:ogroup.∀x:G. x ≤ 0 → 0 ≤ -x.
 163 intros (G x Lx0); apply (plus_cancr_le ??? x);
 164 apply (le_rewr ??? 0 (opp_inverse ??));
 165 apply (le_rewl ??? x (zero_neutral ??));
 166 assumption;
 167 qed.
 168
 169 lemma lt0plus_orlt:
 170   ∀G:ogroup. ∀x,y:G. 0 ≤ x → 0 ≤ y → 0 < x + y → 0 < x ∨ 0 < y.
 171 intros (G x y LEx LEy LT); cases LT (H1 H2); cases (ap_cotransitive ??? y H2);
 172 [right; split; assumption|left;split;[assumption]]
 173 apply (plus_cancr_ap ??? y); apply (ap_rewl ???? (zero_neutral ??));
 174 assumption;
 175 qed.
 176
 177 lemma le0plus_le:
 178   ∀G:ogroup.∀a,b,c:G. 0 ≤ b →  a + b ≤ c → a ≤ c.
 179 intros (G a b c L H); apply (le_transitive ????? H);
 180 apply (plus_cancl_le ??? (-a));
 181 apply (le_rewl ??? 0 (opp_inverse ??));
 182 apply (le_rewr ??? (-a + a + b) (plus_assoc ????));
 183 apply (le_rewr ??? (0 + b) (opp_inverse ??));
 184 apply (le_rewr ??? b (zero_neutral ??));
 185 assumption;
 186 qed.
 187
 188 lemma le_le0plus:
 189   ∀G:ogroup.∀a,b:G. 0 ≤ a → 0 ≤ b → 0 ≤ a + b.
 190 intros (G a b L1 L2); apply (le_transitive ???? L1);
 191 apply (plus_cancl_le ??? (-a));
 192 apply (le_rewl ??? 0 (opp_inverse ??));
 193 apply (le_rewr ??? (-a + a + b) (plus_assoc ????));
 194 apply (le_rewr ??? (0 + b) (opp_inverse ??));
 195 apply (le_rewr ??? b (zero_neutral ??));
 196 assumption;
 197 qed.
 198
 199
 200
 201