helm/software/matita/dama/ordered_group.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/ordered_gorup/".
  16
  17 include "ordered_set.ma".
  18 include "group.ma".
  19
  20 record pre_ogroup : Type ≝ {
  21   og_abelian_group_: abelian_group;
  22   og_tordered_set:> tordered_set;
  23   og_with: carr og_abelian_group_ = og_tordered_set
  24 }.
  25
  26 lemma og_abelian_group: pre_ogroup → abelian_group.
  27 intro G; apply (mk_abelian_group G); [1,2,3: rewrite < (og_with G)]
  28 [apply (plus (og_abelian_group_ G));|apply zero;|apply opp]
  29 unfold apartness_OF_pre_ogroup; cases (og_with G); simplify;
  30 [apply plus_assoc|apply plus_comm|apply zero_neutral|apply opp_inverse|apply plus_strong_ext]
  31 qed.
  32
  33 coercion cic:/matita/ordered_gorup/og_abelian_group.con.
  34
  35 record ogroup : Type ≝ {
  36   og_carr:> pre_ogroup;
  37   exc_canc_plusr: ∀f,g,h:og_carr. f+h ≰ g+h → f ≰ g
  38 }.
  39
  40 lemma fexc_plusr:
  41   ∀G:ogroup.∀x,y,z:G. x ≰ y → x+z ≰ y + z.
  42 intros 5 (G x y z L); apply (exc_canc_plusr ??? (-z));
  43 apply (Ex≪  (x + (z + -z)) (plus_assoc ????));
  44 apply (Ex≪  (x + (-z + z)) (plus_comm ??z));
  45 apply (Ex≪  (x+0) (opp_inverse ??));
  46 apply (Ex≪  (0+x) (plus_comm ???));
  47 apply (Ex≪  x (zero_neutral ??));
  48 apply (Ex≫ (y + (z + -z)) (plus_assoc ????));
  49 apply (Ex≫  (y + (-z + z)) (plus_comm ??z));
  50 apply (Ex≫  (y+0) (opp_inverse ??));
  51 apply (Ex≫  (0+y) (plus_comm ???));
  52 apply (Ex≫  y (zero_neutral ??) L);
  53 qed.
  54
  55 coercion cic:/matita/ordered_gorup/fexc_plusr.con nocomposites.
  56
  57 lemma exc_canc_plusl: ∀G:ogroup.∀f,g,h:G. h+f ≰ h+g → f ≰ g.
  58 intros 5 (G x y z L); apply (exc_canc_plusr ??? z);
  59 apply (exc_rewl ??? (z+x) (plus_comm ???));
  60 apply (exc_rewr ??? (z+y) (plus_comm ???) L);
  61 qed.
  62
  63 lemma fexc_plusl:
  64   ∀G:ogroup.∀x,y,z:G. x ≰ y → z+x ≰ z+y.
  65 intros 5 (G x y z L); apply (exc_canc_plusl ??? (-z));
  66 apply (exc_rewl ???? (plus_assoc ??z x));
  67 apply (exc_rewr ???? (plus_assoc ??z y));
  68 apply (exc_rewl ??? (0+x) (opp_inverse ??));
  69 apply (exc_rewr ??? (0+y) (opp_inverse ??));
  70 apply (exc_rewl ???? (zero_neutral ??));
  71 apply (exc_rewr ???? (zero_neutral ??) L);
  72 qed.
  73
  74 coercion cic:/matita/ordered_gorup/fexc_plusl.con nocomposites.
  75
  76 lemma plus_cancr_le:
  77   ∀G:ogroup.∀x,y,z:G.x+z ≤ y + z → x ≤ y.
  78 intros 5 (G x y z L);
  79 apply (le_rewl ??? (0+x) (zero_neutral ??));
  80 apply (le_rewl ??? (x+0) (plus_comm ???));
  81 apply (le_rewl ??? (x+(-z+z)) (opp_inverse ??));
  82 apply (le_rewl ??? (x+(z+ -z)) (plus_comm ??z));
  83 apply (le_rewl ??? (x+z+ -z) (plus_assoc ????));
  84 apply (le_rewr ??? (0+y) (zero_neutral ??));
  85 apply (le_rewr ??? (y+0) (plus_comm ???));
  86 apply (le_rewr ??? (y+(-z+z)) (opp_inverse ??));
  87 apply (le_rewr ??? (y+(z+ -z)) (plus_comm ??z));
  88 apply (le_rewr ??? (y+z+ -z) (plus_assoc ????));
  89 intro H; apply L; clear L; apply (exc_canc_plusr ??? (-z) H);
  90 qed.
  91
  92 lemma fle_plusl: ∀G:ogroup. ∀f,g,h:G. f≤g → h+f≤h+g.
  93 intros (G f g h);
  94 apply (plus_cancr_le ??? (-h));
  95 apply (le_rewl ??? (f+h+ -h) (plus_comm ? f h));
  96 apply (le_rewl ??? (f+(h+ -h)) (plus_assoc ????));
  97 apply (le_rewl ??? (f+(-h+h)) (plus_comm ? h (-h)));
  98 apply (le_rewl ??? (f+0) (opp_inverse ??));
  99 apply (le_rewl ??? (0+f) (plus_comm ???));
 100 apply (le_rewl ??? (f) (zero_neutral ??));
 101 apply (le_rewr ??? (g+h+ -h) (plus_comm ? h ?));
 102 apply (le_rewr ??? (g+(h+ -h)) (plus_assoc ????));
 103 apply (le_rewr ??? (g+(-h+h)) (plus_comm ??h));
 104 apply (le_rewr ??? (g+0) (opp_inverse ??));
 105 apply (le_rewr ??? (0+g) (plus_comm ???));
 106 apply (le_rewr ??? (g) (zero_neutral ??) H);
 107 qed.
 108
 109 lemma fle_plusr: ∀G:ogroup. ∀f,g,h:G. f≤g → f+h≤g+h.
 110 intros (G f g h H); apply (le_rewl ???? (plus_comm ???));
 111 apply (le_rewr ???? (plus_comm ???)); apply fle_plusl; assumption;
 112 qed.
 113
 114 lemma plus_cancl_le:
 115   ∀G:ogroup.∀x,y,z:G.z+x ≤ z+y → x ≤ y.
 116 intros 5 (G x y z L);
 117 apply (le_rewl ??? (0+x) (zero_neutral ??));
 118 apply (le_rewl ??? ((-z+z)+x) (opp_inverse ??));
 119 apply (le_rewl ??? (-z+(z+x)) (plus_assoc ????));
 120 apply (le_rewr ??? (0+y) (zero_neutral ??));
 121 apply (le_rewr ??? ((-z+z)+y) (opp_inverse ??));
 122 apply (le_rewr ??? (-z+(z+y)) (plus_assoc ????));
 123 apply (fle_plusl ??? (-z) L);
 124 qed.
 125
 126 lemma exc_opp_x_zero_to_exc_zero_x:
 127   ∀G:ogroup.∀x:G.-x ≰ 0 → 0 ≰ x.
 128 intros (G x H); apply (exc_canc_plusr ??? (-x));
 129 apply (exc_rewr ???? (plus_comm ???));
 130 apply (exc_rewr ???? (opp_inverse ??));
 131 apply (exc_rewl ???? (zero_neutral ??) H);
 132 qed.
 133
 134 lemma le_zero_x_to_le_opp_x_zero:
 135   ∀G:ogroup.∀x:G.0 ≤ x → -x ≤ 0.
 136 intros (G x Px); apply (plus_cancr_le ??? x);
 137 apply (le_rewl ??? 0 (opp_inverse ??));
 138 apply (le_rewr ??? x (zero_neutral ??) Px);
 139 qed.
 140
 141 lemma exc_zero_opp_x_to_exc_x_zero:
 142   ∀G:ogroup.∀x:G. 0 ≰ -x → x ≰ 0.
 143 intros (G x H); apply (exc_canc_plusl ??? (-x));
 144 apply (exc_rewr ???? (plus_comm ???));
 145 apply (exc_rewl ???? (opp_inverse ??));
 146 apply (exc_rewr ???? (zero_neutral ??) H);
 147 qed.
 148
 149 lemma le_x_zero_to_le_zero_opp_x:
 150   ∀G:ogroup.∀x:G. x ≤ 0 → 0 ≤ -x.
 151 intros (G x Lx0); apply (plus_cancr_le ??? x);
 152 apply (le_rewr ??? 0 (opp_inverse ??));
 153 apply (le_rewl ??? x (zero_neutral ??));
 154 assumption;
 155 qed.
 156
 157 lemma lt0plus_orlt:
 158   ∀G:ogroup. ∀x,y:G. 0 ≤ x → 0 ≤ y → 0 < x + y → 0 < x ∨ 0 < y.
 159 intros (G x y LEx LEy LT); cases LT (H1 H2); cases (ap_cotransitive ??? y H2);
 160 [right; split; assumption|left;split;[assumption]]
 161 apply (plus_cancr_ap ??? y); apply (ap_rewl ???? (zero_neutral ??));
 162 assumption;
 163 qed.
 164
 165 lemma le0plus_le:
 166   ∀G:ogroup.∀a,b,c:G. 0 ≤ b →  a + b ≤ c → a ≤ c.
 167 intros (G a b c L H); apply (le_transitive ????? H);
 168 apply (plus_cancl_le ??? (-a));
 169 apply (le_rewl ??? 0 (opp_inverse ??));
 170 apply (le_rewr ??? (-a + a + b) (plus_assoc ????));
 171 apply (le_rewr ??? (0 + b) (opp_inverse ??));
 172 apply (le_rewr ??? b (zero_neutral ??));
 173 assumption;
 174 qed.
 175
 176 lemma le_le0plus:
 177   ∀G:ogroup.∀a,b:G. 0 ≤ a → 0 ≤ b → 0 ≤ a + b.
 178 intros (G a b L1 L2); apply (le_transitive ???? L1);
 179 apply (plus_cancl_le ??? (-a));
 180 apply (le_rewl ??? 0 (opp_inverse ??));
 181 apply (le_rewr ??? (-a + a + b) (plus_assoc ????));
 182 apply (le_rewr ??? (0 + b) (opp_inverse ??));
 183 apply (le_rewr ??? b (zero_neutral ??));
 184 assumption;
 185 qed.
 186
 187
 188