helm/software/matita/dama/premetric_lattice.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/premetric_lattice/".
  16
  17 include "metric_space.ma".
  18
  19 record premetric_lattice_ (R : ogroup) : Type ≝ {
  20   pml_carr:> metric_space R;
  21   meet: pml_carr → pml_carr → pml_carr;
  22   join: pml_carr → pml_carr → pml_carr
  23 }.
  24
  25 interpretation "valued lattice meet" 'and a b =
  26  (cic:/matita/premetric_lattice/meet.con _ _ a b).
  27
  28 interpretation "valued lattice join" 'or a b =
  29  (cic:/matita/premetric_lattice/join.con _ _ a b).
  30
  31 record premetric_lattice_props (R : ogroup) (ml : premetric_lattice_ R) : Prop ≝ {
  32   prop1a: ∀a : ml.δ (a ∧ a) a ≈ 0;
  33   prop1b: ∀a : ml.δ (a ∨ a) a ≈ 0;
  34   prop2a: ∀a,b: ml. δ (a ∨ b) (b ∨ a) ≈ 0;
  35   prop2b: ∀a,b: ml. δ (a ∧ b) (b ∧ a) ≈ 0;
  36   prop3a: ∀a,b,c: ml. δ (a ∨ (b ∨ c)) ((a ∨ b) ∨ c) ≈ 0;
  37   prop3b: ∀a,b,c: ml. δ (a ∧ (b ∧ c)) ((a ∧ b) ∧ c) ≈ 0;
  38   prop4a: ∀a,b: ml. δ (a ∨ (a ∧ b)) a ≈ 0;
  39   prop4b: ∀a,b: ml. δ (a ∧ (a ∨ b)) a ≈ 0;
  40   prop5: ∀a,b,c: ml. δ (a ∨ b) (a ∨ c) + δ (a ∧ b) (a ∧ c) ≤ δ b c
  41 }.
  42
  43 record pmlattice (R : ogroup) : Type ≝ {
  44   carr :> premetric_lattice_ R;
  45   ispremetriclattice:> premetric_lattice_props R carr
  46 }.
  47
  48 include "lattice.ma".
  49
  50 lemma lattice_of_pmlattice: ∀R: ogroup. pmlattice R → lattice.
  51 intros (R pml); apply (mk_lattice (apart_of_metric_space ? pml));
  52 [apply (join ? pml)|apply (meet ? pml)]
  53 intros (x y z); whd; intro H; whd in H; cases H (LE AP);
  54 [apply (prop2a ? pml pml x y);  |apply (prop2b ? pml pml x y);
  55 |apply (prop3a ? pml pml x y z);|apply (prop3b ? pml pml x y z);
  56 |apply (prop4a ? pml pml x y);  |apply (prop4b ? pml pml x y);]
  57 apply ap_symmetric; assumption;
  58 qed.
  59
  60 coercion cic:/matita/premetric_lattice/lattice_of_pmlattice.con.