helm/software/matita/dama/sequence.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/sequence/".
  16
  17 include "ordered_set.ma".
  18
  19 definition is_increasing ≝ λO:pordered_set.λa:nat→O.∀n:nat.a n ≤ a (S n).
  20 definition is_decreasing ≝ λO:pordered_set.λa:nat→O.∀n:nat.a (S n) ≤ a n.
  21
  22 definition is_upper_bound ≝ λO:pordered_set.λa:nat→O.λu:O.∀n:nat.a n ≤ u.
  23 definition is_lower_bound ≝ λO:pordered_set.λa:nat→O.λu:O.∀n:nat.u ≤ a n.
  24
  25 record is_sup (O:pordered_set) (a:nat→O) (u:O) : Prop ≝
  26  { sup_upper_bound: is_upper_bound O a u;
  27    sup_least_upper_bound: ∀v:O. is_upper_bound O a v → u≤v
  28  }.
  29
  30 record is_inf (O:pordered_set) (a:nat→O) (u:O) : Prop ≝
  31  { inf_lower_bound: is_lower_bound O a u;
  32    inf_greatest_lower_bound: ∀v:O. is_lower_bound O a v → v≤u
  33  }.
  34
  35 record is_bounded_below (O:pordered_set) (a:nat→O) : Type ≝
  36  { ib_lower_bound: O;
  37    ib_lower_bound_is_lower_bound: is_lower_bound ? a ib_lower_bound
  38  }.
  39
  40 record is_bounded_above (O:pordered_set) (a:nat→O) : Type ≝
  41  { ib_upper_bound: O;
  42    ib_upper_bound_is_upper_bound: is_upper_bound ? a ib_upper_bound
  43  }.
  44
  45 record is_bounded (O:pordered_set) (a:nat→O) : Type ≝
  46  { ib_bounded_below:> is_bounded_below ? a;
  47    ib_bounded_above:> is_bounded_above ? a
  48  }.
  49
  50 record bounded_below_sequence (O:pordered_set) : Type ≝
  51  { bbs_seq:1> nat→O;
  52    bbs_is_bounded_below:> is_bounded_below ? bbs_seq
  53  }.
  54
  55 record bounded_above_sequence (O:pordered_set) : Type ≝
  56  { bas_seq:1> nat→O;
  57    bas_is_bounded_above:> is_bounded_above ? bas_seq
  58  }.
  59
  60 record bounded_sequence (O:pordered_set) : Type ≝
  61  { bs_seq:1> nat → O;
  62    bs_is_bounded_below: is_bounded_below ? bs_seq;
  63    bs_is_bounded_above: is_bounded_above ? bs_seq
  64  }.
  65
  66 definition bounded_below_sequence_of_bounded_sequence ≝
  67  λO:pordered_set.λb:bounded_sequence O.
  68   mk_bounded_below_sequence ? b (bs_is_bounded_below ? b).
  69
  70 coercion cic:/matita/sequence/bounded_below_sequence_of_bounded_sequence.con.
  71
  72 definition bounded_above_sequence_of_bounded_sequence ≝
  73  λO:pordered_set.λb:bounded_sequence O.
  74   mk_bounded_above_sequence ? b (bs_is_bounded_above ? b).
  75
  76 coercion cic:/matita/sequence/bounded_above_sequence_of_bounded_sequence.con.
  77
  78 definition lower_bound ≝
  79  λO:pordered_set.λb:bounded_below_sequence O.
  80   ib_lower_bound ? b (bbs_is_bounded_below ? b).
  81
  82 lemma lower_bound_is_lower_bound:
  83  ∀O:pordered_set.∀b:bounded_below_sequence O.
  84   is_lower_bound ? b (lower_bound ? b).
  85 intros; unfold lower_bound; apply ib_lower_bound_is_lower_bound.
  86 qed.
  87
  88 definition upper_bound ≝
  89  λO:pordered_set.λb:bounded_above_sequence O.
  90   ib_upper_bound ? b (bas_is_bounded_above ? b).
  91
  92 lemma upper_bound_is_upper_bound:
  93  ∀O:pordered_set.∀b:bounded_above_sequence O.
  94   is_upper_bound ? b (upper_bound ? b).
  95 intros; unfold upper_bound; apply ib_upper_bound_is_upper_bound.
  96 qed.
  97
  98 definition reverse_excedence: excedence → excedence.
  99 intros (E); apply (mk_excedence E); [apply (λx,y.exc_relation E y x)]
 100 cases E (T f cRf cTf); simplify;
 101 [1: unfold Not; intros (x H); apply (cRf x); assumption
 102 |2: intros (x y z); apply Or_symmetric; apply cTf; assumption;]
 103 qed.
 104
 105 definition reverse_pordered_set: pordered_set → pordered_set.
 106 intros (p); apply (mk_pordered_set (reverse_excedence p));
 107 generalize in match (reverse_excedence p); intros (E);
 108 apply mk_is_porder_relation;
 109 [apply le_reflexive|apply le_transitive|apply le_antisymmetric]
 110 qed.
 111
 112 lemma is_lower_bound_reverse_is_upper_bound:
 113  ∀O:pordered_set.∀a:nat→O.∀l:O.
 114   is_lower_bound O a l → is_upper_bound (reverse_pordered_set O) a l.
 115 intros (O a l H); unfold; intros (n); unfold reverse_pordered_set;
 116 unfold reverse_excedence; simplify; fold unfold le (le ? l (a n)); apply H;
 117 qed.
 118
 119 lemma is_upper_bound_reverse_is_lower_bound:
 120  ∀O:pordered_set.∀a:nat→O.∀l:O.
 121   is_upper_bound O a l → is_lower_bound (reverse_pordered_set O) a l.
 122 intros (O a l H); unfold; intros (n); unfold reverse_pordered_set;
 123 unfold reverse_excedence; simplify; fold unfold le (le ? (a n) l); apply H;
 124 qed.
 125
 126 lemma reverse_is_lower_bound_is_upper_bound:
 127  ∀O:pordered_set.∀a:nat→O.∀l:O.
 128   is_lower_bound (reverse_pordered_set O) a l → is_upper_bound O a l.
 129 intros (O a l H); unfold; intros (n); unfold reverse_pordered_set in H;
 130 unfold reverse_excedence in H; simplify in H; apply H;
 131 qed.
 132
 133 lemma reverse_is_upper_bound_is_lower_bound:
 134  ∀O:pordered_set.∀a:nat→O.∀l:O.
 135   is_upper_bound (reverse_pordered_set O) a l → is_lower_bound O a l.
 136 intros (O a l H); unfold; intros (n); unfold reverse_pordered_set in H;
 137 unfold reverse_excedence in H; simplify in H; apply H;
 138 qed.
 139
 140 lemma is_inf_to_reverse_is_sup:
 141  ∀O:pordered_set.∀a:bounded_below_sequence O.∀l:O.
 142   is_inf O a l → is_sup (reverse_pordered_set O) a l.
 143 intros (O a l H); apply (mk_is_sup (reverse_pordered_set O));
 144 [1: apply is_lower_bound_reverse_is_upper_bound; apply inf_lower_bound; assumption
 145 |2: unfold reverse_pordered_set; simplify; unfold reverse_excedence; simplify;
 146     intros (m H1); apply (inf_greatest_lower_bound ? ? ? H); apply H1;]
 147 qed.
 148
 149 lemma is_sup_to_reverse_is_inf:
 150  ∀O:pordered_set.∀a:bounded_above_sequence O.∀l:O.
 151   is_sup O a l → is_inf (reverse_pordered_set O) a l.
 152 intros (O a l H); apply (mk_is_inf (reverse_pordered_set O));
 153 [1: apply is_upper_bound_reverse_is_lower_bound; apply sup_upper_bound; assumption
 154 |2: unfold reverse_pordered_set; simplify; unfold reverse_excedence; simplify;
 155     intros (m H1); apply (sup_least_upper_bound ? ? ? H); apply H1;]
 156 qed.
 157
 158 lemma reverse_is_sup_to_is_inf:
 159  ∀O:pordered_set.∀a:bounded_above_sequence O.∀l:O.
 160   is_sup (reverse_pordered_set O) a l → is_inf O a l.
 161 intros (O a l H); apply mk_is_inf;
 162 [1: apply reverse_is_upper_bound_is_lower_bound;
 163     apply (sup_upper_bound (reverse_pordered_set O)); assumption
 164 |2: intros (v H1); apply (sup_least_upper_bound (reverse_pordered_set O) a l H v);
 165     apply is_lower_bound_reverse_is_upper_bound; assumption;]
 166 qed.
 167
 168 lemma reverse_is_inf_to_is_sup:
 169  ∀O:pordered_set.∀a:bounded_above_sequence O.∀l:O.
 170   is_inf (reverse_pordered_set O) a l → is_sup O a l.
 171 intros (O a l H); apply mk_is_sup;
 172 [1: apply reverse_is_lower_bound_is_upper_bound;
 173     apply (inf_lower_bound (reverse_pordered_set O)); assumption
 174 |2: intros (v H1); apply (inf_greatest_lower_bound (reverse_pordered_set O) a l H v);
 175     apply is_upper_bound_reverse_is_lower_bound; assumption;]
 176 qed.