helm/software/matita/library/Q/q/q.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "Q/ratio/ratio.ma".
  16
  17 (* a rational number is either O or a ratio with a sign *)
  18 inductive Q : Set \def
  19     OQ : Q
  20   | Qpos : ratio  \to Q
  21   | Qneg : ratio  \to Q.
  22
  23 definition Qone ≝ Qpos one.
  24
  25 definition Qopp ≝
  26  λq.
  27   match q with
  28    [ OQ ⇒ OQ
  29    | Qpos r ⇒ Qneg r
  30    | Qneg r ⇒ Qpos r
  31    ].
  32
  33 definition nat_fact_all_to_Q \def
  34 \lambda n.
  35   match n with
  36   [nfa_zero \Rightarrow OQ
  37   |nfa_one \Rightarrow Qpos one
  38   |nfa_proper l \Rightarrow Qpos (frac (nat_fact_to_fraction l))
  39   ].
  40
  41 definition nat_to_Q ≝ λn.nat_fact_all_to_Q (factorize n).
  42
  43 definition Z_to_Q ≝
  44  λz.
  45   match z with
  46    [ OZ ⇒ OQ
  47    | pos n ⇒ nat_to_Q (S n)
  48    | neg n ⇒ Qopp (nat_to_Q (S n))
  49    ].
  50
  51 definition numeratorQ \def
  52 \lambda q.match q with
  53   [OQ \Rightarrow nfa_zero
  54   |Qpos r \Rightarrow
  55     match r with
  56     [one \Rightarrow nfa_one
  57     |frac x \Rightarrow numerator x
  58     ]
  59   |Qneg r \Rightarrow
  60     match r with
  61     [one \Rightarrow nfa_one
  62     |frac x \Rightarrow numerator x
  63     ]
  64   ].
  65
  66 theorem numeratorQ_nat_fact_all_to_Q: \forall g.
  67 numeratorQ (nat_fact_all_to_Q g) = g.
  68 intro.cases g
  69   [reflexivity
  70   |reflexivity
  71   |apply numerator_nat_fact_to_fraction
  72   ]
  73 qed.