helm/software/matita/library/R/r.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "logic/equality.ma".
  16 include "logic/coimplication.ma".
  17 include "logic/cprop_connectives.ma".
  18 include "datatypes/constructors.ma".
  19 include "nat/orders.ma".
  20 include "Z/z.ma".
  21
  22 axiom choose : ∀A:Type.∀P:A → Prop.(∃x.P x) → exP ? P.
  23 alias symbol "plus" = "Disjoint union".
  24 axiom decide : ∀A,B.A ∨ B → A + B.
  25
  26 axiom R : Type.
  27
  28 axiom R0 : R.
  29 axiom R1 : R.
  30
  31 axiom Rplus : R → R → R.
  32 axiom Rtimes : R → R → R.
  33 axiom Ropp : R → R.
  34 axiom Rinv : R → R.
  35 axiom Rlt : R → R → Prop.
  36 definition Rle : R → R → Prop ≝ λx,y:R.Rlt x y ∨ x = y.
  37
  38 interpretation "real numbers" 'R = R.
  39
  40 interpretation "real numbers plus" 'plus x y = (Rplus x y).
  41 interpretation "real numbers times" 'times x y = (Rtimes x y).
  42 interpretation "real numbers opposite" 'uminus x = (Ropp x).
  43 interpretation "real numbers reciprocal" 'invert x = (Rinv x).
  44 interpretation "real numbers less than" 'lt x y = (Rlt x y).
  45 interpretation "real numbers less eq" 'leq x y = (Rle x y).
  46
  47 axiom not_eq_R0_R1 : ¬ R0 = R1.
  48
  49 (* commutative ring with unity *)
  50
  51 axiom sym_Rplus : ∀x,y:R. x + y = y + x.
  52 axiom assoc_Rplus : ∀x,y,z:R.(x+y)+z = x+(y+z).
  53 axiom Rplus_x_R0 : ∀x.x + R0 = x.
  54 axiom Rplus_Ropp : ∀x.x + (-x) = R0.
  55
  56 axiom sym_Rtimes : ∀x,y:R. x * y = y * x.
  57 axiom assoc_Rtimes : ∀x,y,z:R.(x*y)*z = x*(y*z).
  58 axiom Rtimes_x_R1 : ∀x.x * R1 = x.
  59 axiom distr_Rtimes_Rplus_l : ∀x,y,z:R.x*(y+z) = x*y + x*z.
  60
  61 (*pump 200.*)
  62
  63 lemma distr_Rtimes_Rplus_r : ∀x,y,z:R.(x+y)*z = x*z + y*z.
  64 intros; autobatch;
  65 qed.
  66
  67 (* commutative field *)
  68
  69 axiom Rinv_Rtimes_l : ∀x. ¬ x = R0 → x * (Rinv x) = R1.
  70
  71 (* ordered commutative field *)
  72
  73 axiom irrefl_Rlt : ∀x:R.¬ x < x.
  74 axiom asym_Rlt : ∀x,y:R. x < y → ¬ y < x.
  75 axiom trans_Rlt : ∀x,y,z:R.x < y → y < z → x < z.
  76 axiom trichotomy_Rlt : ∀x,y.x < y ∨ y < x ∨ x = y.
  77
  78 lemma trans_Rle : ∀x,y,z:R.x ≤ y → y ≤ z → x ≤ z.
  79 intros;cases H
  80 [cases H1; unfold; autobatch;
  81 |autobatch;]
  82 (*
  83  [left;autobatch
  84  |rewrite < H3;assumption]
  85 |rewrite > H2;assumption]*)
  86 qed.
  87
  88 axiom Rlt_plus_l : ∀x,y,z:R.x < y → z + x < z + y.
  89 axiom Rlt_times_l : ∀x,y,z:R.x < y → R0 < z → z*x < z*y.
  90
  91 (* FIXME: these should be lemmata *)
  92 axiom Rle_plus_l : ∀x,y,z:R.x ≤ y → z + x ≤ z + y.
  93 axiom Rle_times_l : ∀x,y,z:R.x ≤ y → R0 < z → z*x ≤ z*y.
  94
  95 lemma Rle_plus_r : ∀x,y,z:R.x ≤ y → x + z ≤ y + z.
  96 intros;
  97 applyS Rle_plus_l;
  98 autobatch;
  99 (*rewrite > sym_Rplus;rewrite > sym_Rplus in ⊢ (??%);*)
 100 (*applyS Rle_plus_l;
 101 applyS*)
 102 cut ((x+z ≤ y+z) = (λx.(x+?≤ x+?)) ?);[5:simplify;
 103   demodulate all;
 104   autobatch paramodulation by sym_Rplus;
 105
 106 applyS Rle_plus_l by sym_Rplus;
 107
 108 cut ((x ≤ y) = (x+z ≤ y+z)); [2:
 109   lapply (Rle_plus_l ?? z H);
 110   autobatch paramodulation by sym_Rplus,Hletin;
 111 qed.
 112
 113 lemma Rle_times_r : ∀x,y,z:R.x ≤ y → R0 < z → x*z ≤ y*z.
 114 intros;
 115 rewrite > sym_Rtimes;rewrite > sym_Rtimes in ⊢ (??%);
 116 autobatch;
 117 qed.
 118
 119 (* Dedekind-completeness *)
 120
 121 definition ub ≝ λS: R → Prop.λx:R.∀y.S y → y ≤ x.
 122 definition lub ≝ λS: R → Prop.λx:R.ub S x ∧ ∀y. ub S y → x ≤ y.
 123
 124 axiom R_dedekind : ∀S:R → Prop.(∃x.S x) → (∃x.ub S x) → ∃x.lub S x.
 125
 126 (* coercions *)
 127
 128 definition R_of_nat : nat → R ≝
 129  λn.match n with
 130  [ O ⇒ R0
 131  | S p ⇒ let rec aux m ≝
 132    match m with
 133    [ O ⇒ R1
 134    | S q ⇒ (aux q) + R1] in aux p].
 135
 136 definition R_of_Z ≝
 137 λz.match z with
 138 [ pos n ⇒ R_of_nat (S n)
 139 | neg n ⇒ Ropp (R_of_nat (S n))
 140 | OZ ⇒ R0 ].
 141
 142 (* FIXME!!! coercion clash! *)
 143 coercion R_of_Z.
 144
 145 (*coercion R_of_nat.*)
 146
 147 (* archimedean property *)
 148
 149 axiom R_archimedean : ∀x,y:R.R0 < x → ∃n:nat.y < n*x.
 150
 151 (*definition Rminus : R → R → R ≝
 152  λx,y.x + (-y).*)
 153
 154 interpretation "real numbers minus" 'minus x y = (Rplus x (Ropp y)).
 155 interpretation "real numbers divide" 'divide x y = (Rtimes x (Rinv y)).
 156
 157 (* basic properties *)
 158
 159 (* equality *)
 160
 161 (*
 162 lemma Rplus_eq_l : ∀x,y,z.x = y → z + x= z + y.
 163 intros;autobatch;
 164 qed.
 165
 166 lemma Rplus_eq_r Rtimes_eq_l Rtimes_eq_r analogamente *)
 167
 168 lemma eq_Rplus_l_to_r : ∀a,b,c:R.a+b=c → a = c-b.
 169 intros;lapply (eq_f ? ? (λx:R.x-b) ? ? H);
 170 rewrite > assoc_Rplus in Hletin;rewrite > Rplus_Ropp in Hletin;
 171 rewrite > Rplus_x_R0 in Hletin;assumption;
 172 qed.
 173
 174 lemma eq_Rplus_r_to_l : ∀a,b,c:R.a=b+c → a-c = b.
 175 intros;symmetry;apply eq_Rplus_l_to_r;symmetry;assumption;
 176 qed.
 177
 178 lemma eq_Rminus_l_to_r : ∀a,b,c:R.a-b=c → a = c+b.
 179 intros;lapply (eq_f ? ? (λx:R.x+b) ? ? H);
 180 rewrite > assoc_Rplus in Hletin;rewrite > sym_Rplus in Hletin:(??(??%)?);
 181 rewrite > Rplus_Ropp in Hletin;rewrite > Rplus_x_R0 in Hletin;assumption;
 182 qed.
 183
 184 lemma eq_Rminus_r_to_l : ∀a,b,c:R.a=b-c → a+c = b.
 185 intros;symmetry;apply eq_Rminus_l_to_r;autobatch paramodulation;
 186 qed.
 187
 188 lemma eq_Rtimes_l_to_r : ∀a,b,c:R.b ≠ R0 → a*b=c → a = c/b.
 189 intros;lapply (eq_f ? ? (λx:R.x/b) ? ? H1);
 190 rewrite > assoc_Rtimes in Hletin;rewrite > Rinv_Rtimes_l in Hletin
 191 [rewrite > Rtimes_x_R1 in Hletin;assumption
 192 |assumption]
 193 qed.
 194
 195 lemma eq_Rtimes_r_to_l : ∀a,b,c:R.c ≠ R0 → a=b*c → a/c = b.
 196 intros;symmetry;apply eq_Rtimes_l_to_r
 197 [assumption
 198 |symmetry;assumption]
 199 qed.
 200
 201 lemma eq_Rdiv_l_to_r : ∀a,b,c:R.b ≠ R0 → a/b=c → a = c*b.
 202 intros;lapply (eq_f ? ? (λx:R.x*b) ? ? H1);
 203 rewrite > assoc_Rtimes in Hletin;rewrite > sym_Rtimes in Hletin:(??(??%)?);
 204 rewrite > Rinv_Rtimes_l in Hletin
 205 [rewrite > Rtimes_x_R1 in Hletin;assumption
 206 |assumption]
 207 qed.
 208
 209 lemma eq_Rdiv_r_to_l : ∀a,b,c:R.c ≠ R0 → a=b/c → a*c = b.
 210 intros;symmetry;apply eq_Rdiv_l_to_r
 211 [assumption
 212 |symmetry;assumption]
 213 qed.
 214
 215 (* lemma unique_Ropp : ∀x,y.x + y = R0 → y = -x.
 216 intros;autobatch paramodulation;
 217 qed. *)
 218
 219 lemma Rtimes_x_R0 : ∀x.x * R0 = R0.
 220 intro; demodulate all.
 221 (*
 222 rewrite < Rplus_x_R0 in ⊢ (? ? % ?);
 223 rewrite < (Rplus_Ropp (x*R0)) in ⊢ (? ? (? ? %) %);
 224 rewrite < assoc_Rplus;
 225 apply eq_f2;autobatch paramodulation;
 226 *)
 227 qed.
 228
 229 lemma eq_Rtimes_Ropp_R1_Ropp : ∀x.x*(-R1) = -x.
 230 intro. demodulate all. (*
 231 auto paramodulation.
 232 rewrite < Rplus_x_R0 in ⊢ (? ? % ?);
 233 rewrite < Rplus_x_R0 in ⊢ (? ? ? %);
 234 rewrite < (Rplus_Ropp x) in ⊢ (? ? % ?);
 235 rewrite < assoc_Rplus;
 236 rewrite < sym_Rplus in ⊢ (? ? % ?);
 237 rewrite < sym_Rplus in ⊢ (? ? (? ? %) ?);
 238 apply eq_f2 [reflexivity]
 239 rewrite < Rtimes_x_R1 in ⊢ (? ? (? % ?) ?);
 240 rewrite < distr_Rtimes_Rplus_l;autobatch paramodulation;
 241 *)
 242 qed.
 243
 244 lemma Ropp_inv : ∀x.x = Ropp (Ropp x).
 245 intro;autobatch;
 246 qed.
 247
 248 lemma Rinv_inv : ∀x.x ≠ R0 → x = Rinv (Rinv x).
 249 intros;rewrite < Rtimes_x_R1 in ⊢ (???%);rewrite > sym_Rtimes;
 250 apply eq_Rtimes_l_to_r
 251 [intro;lapply (eq_f ? ? (λy:R.x*y) ? ? H1);
 252  rewrite > Rinv_Rtimes_l in Hletin
 253  [rewrite > Rtimes_x_R0 in Hletin;apply not_eq_R0_R1;symmetry;assumption
 254  |assumption]
 255 |apply Rinv_Rtimes_l;assumption]
 256 qed.
 257
 258 lemma Ropp_R0 : R0 = - R0. demodulate all. (*
 259 rewrite < eq_Rtimes_Ropp_R1_Ropp;autobatch paramodulation; *)
 260 qed.
 261
 262 lemma distr_Ropp_Rplus : ∀x,y:R.-(x + y) = -x -y.
 263 intros; demodulate all; (*rewrite < eq_Rtimes_Ropp_R1_Ropp;
 264 rewrite > sym_Rtimes;rewrite > distr_Rtimes_Rplus_l;
 265 autobatch paramodulation;*)
 266 qed.
 267
 268 lemma Ropp_Rtimes_l : ∀x,y:R.-(x*y) = -x*y.
 269 intros; demodulate all; (*rewrite < eq_Rtimes_Ropp_R1_Ropp;
 270 rewrite > sym_Rtimes;rewrite < assoc_Rtimes;autobatch paramodulation;*)
 271 qed.
 272
 273 lemma Ropp_Rtimes_r : ∀x,y:R.-(x*y) = x*-y.
 274 intros; demodulate all; (*rewrite > sym_Rtimes;rewrite > sym_Rtimes in ⊢ (???%);
 275 autobatch;*)
 276 qed.
 277
 278 (* less than *)
 279
 280 lemma Rlt_to_Rlt_Ropp_Ropp : ∀x,y.x < y → -y < -x.
 281 intros;rewrite < Rplus_x_R0 in ⊢ (??%);
 282 rewrite < (Rplus_Ropp y);rewrite < Rplus_x_R0 in ⊢ (?%?);
 283 rewrite < assoc_Rplus;rewrite < sym_Rplus in ⊢ (??%);
 284 apply Rlt_plus_l;
 285 rewrite < (Rplus_Ropp x);rewrite < sym_Rplus in ⊢ (?%?);autobatch;
 286 qed.
 287
 288 lemma lt_R0_R1 : R0 < R1.
 289 elim (trichotomy_Rlt R0 R1) [|elim (not_eq_R0_R1 H)]
 290 elim H [assumption]
 291 rewrite > Ropp_inv in ⊢ (??%);rewrite < eq_Rtimes_Ropp_R1_Ropp;
 292 rewrite < (Rtimes_x_R0 (-R1));
 293 apply Rlt_times_l;rewrite < (Rtimes_x_R0 (-R1));
 294 rewrite > sym_Rtimes;rewrite > eq_Rtimes_Ropp_R1_Ropp;autobatch;
 295 qed.
 296
 297 lemma pos_z_to_lt_Rtimes_Rtimes_to_lt : ∀x,y,z.R0 < z → z*x < z*y → x < y.
 298 intros;elim (trichotomy_Rlt x y)
 299 [elim H2 [assumption]
 300  elim (asym_Rlt (z*y) (z*x));autobatch
 301 |rewrite > H2 in H1;elim (irrefl_Rlt ? H1)]
 302 qed.
 303
 304 lemma pos_z_to_le_Rtimes_Rtimes_to_lt : ∀x,y,z.R0 < z → z*x ≤ z*y → x ≤ y.
 305 intros;cases H1
 306 [left;autobatch
 307 |right; rewrite < Rtimes_x_R1;rewrite < Rtimes_x_R1 in ⊢ (???%);
 308  rewrite < sym_Rtimes;rewrite < sym_Rtimes in ⊢ (???%);
 309  rewrite < (Rinv_Rtimes_l z)
 310  [demodulate all; (*rewrite < sym_Rtimes in ⊢ (??(?%?)?);rewrite < sym_Rtimes in ⊢ (???(?%?));
 311   autobatch paramodulation*)
 312  |intro;rewrite > H3 in H;apply (irrefl_Rlt R0);assumption]]
 313 qed.
 314
 315 lemma neg_z_to_lt_Rtimes_Rtimes_to_lt : ∀x,y,z.z < R0 → z*x < z*y → y < x.
 316 intros;rewrite > Ropp_inv in ⊢ (?%?);
 317 rewrite > Ropp_inv in ⊢ (??%);
 318 apply Rlt_to_Rlt_Ropp_Ropp;apply (pos_z_to_lt_Rtimes_Rtimes_to_lt ?? (-z))
 319 [rewrite > Ropp_R0;autobatch
 320 |applyS H1; (*
 321  rewrite < (eq_Rtimes_Ropp_R1_Ropp) in ⊢ (?(??%)?);
 322  rewrite < (eq_Rtimes_Ropp_R1_Ropp) in ⊢ (??(??%));
 323  do 2 rewrite < assoc_Rtimes;
 324  rewrite > eq_Rtimes_Ropp_R1_Ropp;
 325  rewrite > eq_Rtimes_Ropp_R1_Ropp in ⊢ (??%);
 326  rewrite > sym_Rtimes;rewrite > sym_Rtimes in ⊢ (??%);
 327  rewrite < (eq_Rtimes_Ropp_R1_Ropp) in ⊢ (?%?);
 328  rewrite < (eq_Rtimes_Ropp_R1_Ropp) in ⊢ (??%);
 329  do 2 rewrite > assoc_Rtimes;
 330  rewrite > eq_Rtimes_Ropp_R1_Ropp;
 331  rewrite < Ropp_inv;
 332  rewrite > sym_Rtimes;rewrite > sym_Rtimes in ⊢ (??%);
 333  assumption*)]
 334 qed.
 335
 336 lemma lt_R0_Rinv : ∀x.R0 < x → R0 < Rinv x.
 337 intros;apply (pos_z_to_lt_Rtimes_Rtimes_to_lt ?? x H);rewrite > Rinv_Rtimes_l;
 338 [rewrite > Rtimes_x_R0;autobatch
 339 |intro;apply (irrefl_Rlt x);rewrite < H1 in H;assumption]
 340 qed.
 341
 342 lemma pos_times_pos_pos : ∀x,y.R0 < x → R0 < y → R0 < x*y.
 343 intros;rewrite < (Rtimes_x_R0 x);autobatch;
 344 qed.
 345
 346 lemma pos_plus_pos_pos : ∀x,y.R0 < x → R0 < y → R0 < x+y.
 347 intros;rewrite < (Rplus_Ropp x);apply Rlt_plus_l;
 348 apply (trans_Rlt ???? H1);rewrite > Ropp_R0;
 349 apply Rlt_to_Rlt_Ropp_Ropp;assumption;
 350 qed.
 351
 352 lemma Rlt_to_neq : ∀x,y:R.x < y → x ≠ y.
 353 intros;intro;rewrite > H1 in H;apply (irrefl_Rlt ? H);
 354 qed.
 355
 356 lemma lt_Rinv : ∀x,y.R0 < x → x < y → Rinv y < Rinv x.
 357 intros;
 358 lapply (Rlt_times_l ? ? (Rinv x * Rinv y) H1)
 359 [ lapply (Rinv_Rtimes_l x);[2: intro; destruct H2; autobatch;]
 360   lapply (Rinv_Rtimes_l y);[2: intro; destruct H2; autobatch;]
 361   cut ((x \sup -1/y*x<x \sup -1/y*y) = (y^-1 < x ^-1));[2:
 362     demodulate all;]
 363   rewrite < Hcut; assumption;
 364  (*
 365  rewrite > sym_Rtimes in Hletin;rewrite < assoc_Rtimes in Hletin;
 366  rewrite > assoc_Rtimes in Hletin:(??%);
 367  rewrite > sym_Rtimes in Hletin:(??(??%));
 368  rewrite > Rinv_Rtimes_l in Hletin
 369  [rewrite > Rinv_Rtimes_l in Hletin
 370   [applyS Hletin;(*rewrite > Rtimes_x_R1 in Hletin;rewrite > sym_Rtimes in Hletin;
 371    rewrite > Rtimes_x_R1 in Hletin;assumption*)
 372   |intro;rewrite > H2 in H1;apply (asym_Rlt ? ? H H1)]
 373  |intro;rewrite > H2 in H;apply (irrefl_Rlt ? H)]*)
 374 |apply pos_times_pos_pos;apply lt_R0_Rinv;autobatch]
 375 qed.
 376
 377 lemma Rlt_plus_l_to_r : ∀a,b,c.a + b < c → a < c - b.
 378 intros; lapply (Rlt_plus_l ?? (-b) H); applyS Hletin;
 379 (*
 380 rewrite < Rplus_x_R0;rewrite < (Rplus_Ropp b);
 381 rewrite < assoc_Rplus;
 382 rewrite < sym_Rplus;rewrite < sym_Rplus in ⊢ (??%);
 383 apply Rlt_plus_l;assumption;
 384 *)
 385 qed.
 386
 387 lemma Rlt_plus_r_to_l : ∀a,b,c.a < b + c → a - c < b.
 388 intros;
 389 rewrite > Ropp_inv;rewrite > Ropp_inv in ⊢ (??%);
 390 apply Rlt_to_Rlt_Ropp_Ropp;rewrite > distr_Ropp_Rplus;
 391 apply Rlt_plus_l_to_r;rewrite < distr_Ropp_Rplus;apply Rlt_to_Rlt_Ropp_Ropp;
 392 assumption;
 393 qed.
 394
 395 lemma Rlt_minus_l_to_r : ∀a,b,c.a - b < c → a < c + b.
 396 intros;rewrite > (Ropp_inv b);apply Rlt_plus_l_to_r;assumption;
 397 qed.
 398
 399 lemma Rlt_minus_r_to_l : ∀a,b,c.a < b - c → a + c < b.
 400 intros;rewrite > (Ropp_inv c);apply Rlt_plus_r_to_l;assumption;
 401 qed.
 402
 403 lemma Rlt_div_r_to_l : ∀a,b,c.R0 < c → a < b/c → a*c < b.
 404 intros;rewrite < sym_Rtimes;
 405 rewrite < Rtimes_x_R1 in ⊢ (??%);rewrite < sym_Rtimes in ⊢ (??%);
 406 rewrite < (Rinv_Rtimes_l c)
 407 [rewrite > assoc_Rtimes;apply Rlt_times_l
 408  [rewrite > sym_Rtimes;assumption
 409  |autobatch]
 410 |intro;elim (Rlt_to_neq ?? H);symmetry;assumption]
 411 qed.
 412
 413 lemma Rlt_times_l_to_r : ∀a,b,c.R0 < b → a*b < c → a < c/b.
 414 intros;rewrite < sym_Rtimes;
 415 rewrite < Rtimes_x_R1;rewrite < sym_Rtimes;
 416 rewrite < (Rinv_Rtimes_l b)
 417 [rewrite < sym_Rtimes in ⊢ (? (? % ?) ?);
 418  rewrite > assoc_Rtimes;apply Rlt_times_l
 419  [rewrite > sym_Rtimes;assumption
 420  |autobatch]
 421 |intro;elim (Rlt_to_neq ?? H);symmetry;assumption]
 422 qed.
 423
 424 lemma Rle_plus_l_to_r : ∀a,b,c.a + b ≤ c → a ≤ c - b.
 425 intros;cases H
 426 [left;autobatch
 427 |right;autobatch]
 428 qed.
 429
 430 lemma Rle_plus_r_to_l : ∀a,b,c.a ≤ b + c → a - c ≤ b.
 431 intros;cases H
 432 [left;autobatch
 433 |right;autobatch]
 434 qed.
 435
 436 lemma Rle_minus_l_to_r : ∀a,b,c.a - b ≤ c → a ≤ c + b.
 437 intros;cases H
 438 [left;autobatch
 439 |right;autobatch]
 440 qed.
 441
 442 lemma Rle_minus_r_to_l : ∀a,b,c.a ≤ b - c → a + c ≤ b.
 443 intros;cases H
 444 [left;autobatch
 445 |right;autobatch]
 446 qed.
 447
 448 lemma R_OF_nat_S : ∀n.R_OF_nat (S n) = R_OF_nat n + R1.
 449 intros;elim n;simplify
 450 [autobatch paramodulation
 451 |reflexivity]
 452 qed.
 453
 454 lemma nat_lt_to_R_lt : ∀m,n:nat.m < n → R_OF_nat m < R_OF_nat n.
 455 intros;elim H
 456 [cases m;simplify
 457  [autobatch
 458  |rewrite < Rplus_x_R0 in ⊢ (?%?);apply Rlt_plus_l;autobatch]
 459 |apply (trans_Rlt ??? H2);cases n1;simplify
 460  [autobatch
 461  |rewrite < Rplus_x_R0 in ⊢ (?%?);apply Rlt_plus_l;autobatch]]
 462 qed.