helm/software/matita/library/Z/plus.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/Z/plus".
  16
  17 include "Z/z.ma".
  18 include "nat/minus.ma".
  19
  20 definition Zplus :Z \to Z \to Z \def
  21 \lambda x,y.
  22   match x with
  23     [ OZ \Rightarrow y
  24     | (pos m) \Rightarrow
  25         match y with
  26          [ OZ \Rightarrow x
  27          | (pos n) \Rightarrow (pos (pred ((S m)+(S n))))
  28          | (neg n) \Rightarrow
  29               match nat_compare m n with
  30                 [ LT \Rightarrow (neg (pred (n-m)))
  31                 | EQ \Rightarrow OZ
  32                 | GT \Rightarrow (pos (pred (m-n)))] ]
  33     | (neg m) \Rightarrow
  34         match y with
  35          [ OZ \Rightarrow x
  36          | (pos n) \Rightarrow
  37               match nat_compare m n with
  38                 [ LT \Rightarrow (pos (pred (n-m)))
  39                 | EQ \Rightarrow OZ
  40                 | GT \Rightarrow (neg (pred (m-n)))]
  41          | (neg n) \Rightarrow (neg (pred ((S m)+(S n))))] ].
  42
  43 (*CSC: the URI must disappear: there is a bug now *)
  44 interpretation "integer plus" 'plus x y = (cic:/matita/Z/plus/Zplus.con x y).
  45
  46 theorem Zplus_z_OZ:  \forall z:Z. z+OZ = z.
  47 intro.elim z.
  48 simplify.reflexivity.
  49 simplify.reflexivity.
  50 simplify.reflexivity.
  51 qed.
  52
  53 (* theorem symmetric_Zplus: symmetric Z Zplus. *)
  54
  55 theorem sym_Zplus : \forall x,y:Z. x+y = y+x.
  56 intros.elim x.rewrite > Zplus_z_OZ.reflexivity.
  57 elim y.simplify.reflexivity.
  58 simplify.
  59 rewrite < plus_n_Sm. rewrite < plus_n_Sm.rewrite < sym_plus.reflexivity.
  60 simplify.
  61 rewrite > nat_compare_n_m_m_n.
  62 simplify.elim nat_compare.simplify.reflexivity.
  63 simplify. reflexivity.
  64 simplify. reflexivity.
  65 elim y.simplify.reflexivity.
  66 simplify.rewrite > nat_compare_n_m_m_n.
  67 simplify.elim nat_compare.simplify.reflexivity.
  68 simplify. reflexivity.
  69 simplify. reflexivity.
  70 simplify.rewrite < plus_n_Sm. rewrite < plus_n_Sm.rewrite < sym_plus.reflexivity.
  71 qed.
  72
  73 theorem Zpred_Zplus_neg_O : \forall z:Z. Zpred z = (neg O)+z.
  74 intros.elim z.
  75   simplify.reflexivity.
  76   elim n.
  77     simplify.reflexivity.
  78     simplify.reflexivity.
  79   simplify.reflexivity.
  80 qed.
  81
  82 theorem Zsucc_Zplus_pos_O : \forall z:Z. Zsucc z = (pos O)+z.
  83 intros.elim z.
  84   simplify.reflexivity.
  85   simplify.reflexivity.
  86   elim n.
  87     simplify.reflexivity.
  88     simplify.reflexivity.
  89 qed.
  90
  91 theorem Zplus_pos_pos:
  92 \forall n,m. (pos n)+(pos m) = (Zsucc (pos n))+(Zpred (pos m)).
  93 intros.
  94 elim n.elim m.
  95 simplify.reflexivity.
  96 simplify.reflexivity.
  97 elim m.
  98 simplify.rewrite < plus_n_Sm.
  99 rewrite < plus_n_O.reflexivity.
 100 simplify.rewrite < plus_n_Sm.
 101 rewrite < plus_n_Sm.reflexivity.
 102 qed.
 103
 104 theorem Zplus_pos_neg:
 105 \forall n,m. (pos n)+(neg m) = (Zsucc (pos n))+(Zpred (neg m)).
 106 intros.reflexivity.
 107 qed.
 108
 109 theorem Zplus_neg_pos :
 110 \forall n,m. (neg n)+(pos m) = (Zsucc (neg n))+(Zpred (pos m)).
 111 intros.
 112 elim n.elim m.
 113 simplify.reflexivity.
 114 simplify.reflexivity.
 115 elim m.
 116 simplify.reflexivity.
 117 simplify.reflexivity.
 118 qed.
 119
 120 theorem Zplus_neg_neg:
 121 \forall n,m. (neg n)+(neg m) = (Zsucc (neg n))+(Zpred (neg m)).
 122 intros.
 123 elim n.elim m.
 124 simplify.reflexivity.
 125 simplify.reflexivity.
 126 elim m.
 127 simplify.rewrite > plus_n_Sm.reflexivity.
 128 simplify.rewrite > plus_n_Sm.reflexivity.
 129 qed.
 130
 131 theorem Zplus_Zsucc_Zpred:
 132 \forall x,y. x+y = (Zsucc x)+(Zpred y).
 133 intros.elim x.
 134   elim y.
 135     simplify.reflexivity.
 136     rewrite < Zsucc_Zplus_pos_O.rewrite > Zsucc_Zpred.reflexivity.
 137     simplify.reflexivity.
 138   elim y.
 139     simplify.reflexivity.
 140     apply Zplus_pos_pos.
 141     apply Zplus_pos_neg.
 142   elim y.
 143     rewrite < sym_Zplus.rewrite < (sym_Zplus (Zpred OZ)).
 144      rewrite < Zpred_Zplus_neg_O.rewrite > Zpred_Zsucc.simplify.reflexivity.
 145     apply Zplus_neg_pos.
 146     rewrite < Zplus_neg_neg.reflexivity.
 147 qed.
 148
 149 theorem Zplus_Zsucc_pos_pos :
 150 \forall n,m. (Zsucc (pos n))+(pos m) = Zsucc ((pos n)+(pos m)).
 151 intros.reflexivity.
 152 qed.
 153
 154 theorem Zplus_Zsucc_pos_neg:
 155 \forall n,m. (Zsucc (pos n))+(neg m) = (Zsucc ((pos n)+(neg m))).
 156 intros.
 157 apply (nat_elim2
 158 (\lambda n,m. (Zsucc (pos n))+(neg m) = (Zsucc ((pos n)+(neg m))))).intro.
 159 intros.elim n1.
 160 simplify. reflexivity.
 161 elim n2.simplify. reflexivity.
 162 simplify. reflexivity.
 163 intros. elim n1.
 164 simplify. reflexivity.
 165 simplify.reflexivity.
 166 intros.
 167 rewrite < (Zplus_pos_neg ? m1).
 168 elim H.reflexivity.
 169 qed.
 170
 171 theorem Zplus_Zsucc_neg_neg :
 172 \forall n,m. Zsucc (neg n) + neg m = Zsucc (neg n + neg m).
 173 intros.
 174 apply (nat_elim2
 175 (\lambda n,m. Zsucc (neg n) + neg m = Zsucc (neg n + neg m))).intro.
 176 intros.elim n1.
 177 simplify. reflexivity.
 178 elim n2.simplify. reflexivity.
 179 simplify. reflexivity.
 180 intros. elim n1.
 181 simplify. reflexivity.
 182 simplify.reflexivity.
 183 intros.
 184 rewrite < (Zplus_neg_neg ? m1).
 185 reflexivity.
 186 qed.
 187
 188 theorem Zplus_Zsucc_neg_pos:
 189 \forall n,m. Zsucc (neg n)+(pos m) = Zsucc ((neg n)+(pos m)).
 190 intros.
 191 apply (nat_elim2
 192 (\lambda n,m. Zsucc (neg n) + (pos m) = Zsucc (neg n + pos m))).
 193 intros.elim n1.
 194 simplify. reflexivity.
 195 elim n2.simplify. reflexivity.
 196 simplify. reflexivity.
 197 intros. elim n1.
 198 simplify. reflexivity.
 199 simplify.reflexivity.
 200 intros.
 201 rewrite < H.
 202 rewrite < (Zplus_neg_pos ? (S m1)).
 203 reflexivity.
 204 qed.
 205
 206 theorem Zplus_Zsucc : \forall x,y:Z. (Zsucc x)+y = Zsucc (x+y).
 207 intros.elim x.
 208   elim y.
 209     simplify. reflexivity.
 210     simplify.reflexivity.
 211     rewrite < Zsucc_Zplus_pos_O.reflexivity.
 212   elim y.
 213     rewrite < (sym_Zplus OZ).reflexivity.
 214     apply Zplus_Zsucc_pos_pos.
 215     apply Zplus_Zsucc_pos_neg.
 216   elim y.
 217     rewrite < sym_Zplus.rewrite < (sym_Zplus OZ).simplify.reflexivity.
 218     apply Zplus_Zsucc_neg_pos.
 219     apply Zplus_Zsucc_neg_neg.
 220 qed.
 221
 222 theorem Zplus_Zpred: \forall x,y:Z. (Zpred x)+y = Zpred (x+y).
 223 intros.
 224 cut (Zpred (x+y) = Zpred ((Zsucc (Zpred x))+y)).
 225 rewrite > Hcut.
 226 rewrite > Zplus_Zsucc.
 227 rewrite > Zpred_Zsucc.
 228 reflexivity.
 229 rewrite > Zsucc_Zpred.
 230 reflexivity.
 231 qed.
 232
 233
 234 theorem associative_Zplus: associative Z Zplus.
 235 change with (\forall x,y,z:Z. (x + y) + z = x + (y + z)).
 236 (* simplify. *)
 237 intros.elim x.
 238   simplify.reflexivity.
 239   elim n.
 240     rewrite < Zsucc_Zplus_pos_O.rewrite < Zsucc_Zplus_pos_O.
 241      rewrite > Zplus_Zsucc.reflexivity.
 242     rewrite > (Zplus_Zsucc (pos n1)).rewrite > (Zplus_Zsucc (pos n1)).
 243      rewrite > (Zplus_Zsucc ((pos n1)+y)).apply eq_f.assumption.
 244   elim n.
 245     rewrite < (Zpred_Zplus_neg_O (y+z)).rewrite < (Zpred_Zplus_neg_O y).
 246      rewrite < Zplus_Zpred.reflexivity.
 247     rewrite > (Zplus_Zpred (neg n1)).rewrite > (Zplus_Zpred (neg n1)).
 248      rewrite > (Zplus_Zpred ((neg n1)+y)).apply eq_f.assumption.
 249 qed.
 250
 251 variant assoc_Zplus : \forall x,y,z:Z.  (x+y)+z = x+(y+z)
 252 \def associative_Zplus.
 253
 254 (* Zopp *)
 255 definition Zopp : Z \to Z \def
 256 \lambda x:Z. match x with
 257 [ OZ \Rightarrow OZ
 258 | (pos n) \Rightarrow (neg n)
 259 | (neg n) \Rightarrow (pos n) ].
 260
 261 (*CSC: the URI must disappear: there is a bug now *)
 262 interpretation "integer unary minus" 'uminus x = (cic:/matita/Z/plus/Zopp.con x).
 263
 264 theorem eq_OZ_Zopp_OZ : OZ = (- OZ).
 265 reflexivity.
 266 qed.
 267
 268 theorem Zopp_Zplus: \forall x,y:Z. -(x+y) = -x + -y.
 269 intros.
 270 elim x.elim y.
 271 simplify. reflexivity.
 272 simplify. reflexivity.
 273 simplify. reflexivity.
 274 elim y.
 275 simplify. reflexivity.
 276 simplify. reflexivity.
 277 simplify. apply nat_compare_elim.
 278 intro.simplify.reflexivity.
 279 intro.simplify.reflexivity.
 280 intro.simplify.reflexivity.
 281 elim y.
 282 simplify. reflexivity.
 283 simplify. apply nat_compare_elim.
 284 intro.simplify.reflexivity.
 285 intro.simplify.reflexivity.
 286 intro.simplify.reflexivity.
 287 simplify.reflexivity.
 288 qed.
 289
 290 theorem Zopp_Zopp: \forall x:Z. --x = x.
 291 intro. elim x.
 292 reflexivity.reflexivity.reflexivity.
 293 qed.
 294
 295 theorem Zplus_Zopp: \forall x:Z. x+ -x = OZ.
 296 intro.elim x.
 297 apply refl_eq.
 298 simplify.
 299 rewrite > nat_compare_n_n.
 300 simplify.apply refl_eq.
 301 simplify.
 302 rewrite > nat_compare_n_n.
 303 simplify.apply refl_eq.
 304 qed.
 305
 306 theorem injective_Zplus_l: \forall x:Z.injective Z Z (\lambda y.y+x).
 307 intro.simplify.intros (z y).
 308 rewrite < Zplus_z_OZ.
 309 rewrite < (Zplus_z_OZ y).
 310 rewrite < (Zplus_Zopp x).
 311 rewrite < assoc_Zplus.
 312 rewrite < assoc_Zplus.
 313 apply eq_f2
 314   [assumption|reflexivity]
 315 qed.
 316
 317 theorem injective_Zplus_r: \forall x:Z.injective Z Z (\lambda y.x+y).
 318 intro.simplify.intros (z y).
 319 apply (injective_Zplus_l x).
 320 rewrite < sym_Zplus.
 321 rewrite > H.
 322 apply sym_Zplus.
 323 qed.
 324
 325 (* minus *)
 326 definition Zminus : Z \to Z \to Z \def \lambda x,y:Z. x + (-y).
 327
 328 interpretation "integer minus" 'minus x y = (cic:/matita/Z/plus/Zminus.con x y).