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BIG FAT WARNING: DEVELOPMENTS DIE HERE
[helm.git] / helm / software / matita / library / algebra / finite_groups.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                              *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15 set "baseuri" "cic:/matita/algebra/finite_groups/".
16
17 include "algebra/groups.ma".
18
19 record finite_enumerable (T:Type) : Type≝
20  { order: nat;
21    repr: nat → T;
22    index_of: T → nat;
23    index_of_sur: ∀x.index_of x ≤ order;
24    index_of_repr: ∀n. n≤order → index_of (repr n) = n;
25    repr_index_of: ∀x. repr (index_of x) = x
26  }.
27  
28 notation "hvbox(C \sub i)" with precedence 89
29 for @{ 'repr $C $i }.
30
31 (* CSC: multiple interpretations in the same file are not considered in the
32  right order
33 interpretation "Finite_enumerable representation" 'repr C i =
34  (cic:/matita/algebra/finite_groups/repr.con C _ i).*)
35  
36 notation < "hvbox(|C|)" with precedence 89
37 for @{ 'card $C }.
38
39 interpretation "Finite_enumerable order" 'card C =
40  (cic:/matita/algebra/finite_groups/order.con C _).
41
42 record finite_enumerable_SemiGroup : Type≝
43  { semigroup:> SemiGroup;
44    is_finite_enumerable:> finite_enumerable semigroup
45  }.
46
47 interpretation "Finite_enumerable representation" 'repr S i =
48  (cic:/matita/algebra/finite_groups/repr.con S
49   (cic:/matita/algebra/finite_groups/is_finite_enumerable.con S) i).
50
51 notation "hvbox(ι e)" with precedence 60
52 for @{ 'index_of_finite_enumerable_semigroup $e }.
53
54 interpretation "Index_of_finite_enumerable representation"
55  'index_of_finite_enumerable_semigroup e
56 =
57  (cic:/matita/algebra/finite_groups/index_of.con _
58   (cic:/matita/algebra/finite_groups/is_finite_enumerable.con _) e).
59
60
61 (* several definitions/theorems to be moved somewhere else *)
62
63 theorem pigeonhole:
64  ∀n:nat.∀f:nat→nat.
65   (∀x,y.x≤n → y≤n → f x = f y → x=y) →
66   (∀m. m ≤ n → f m ≤ n) →
67    ∀x. x≤n → ∃y.f y = x ∧ y ≤ n.
68 intro;
69 elim n;
70 [ apply (ex_intro ? ? O);
71   split;
72   [ rewrite < (le_n_O_to_eq ? H2);
73     rewrite < (le_n_O_to_eq ? (H1 O ?));
74     [ reflexivity
75     | apply le_n
76     ]
77   | apply le_n
78   ]
79 | clear n;
80   letin f' ≝
81    (λx.
82     let fSn1 ≝f (S n1) in
83      let fx ≝f x in
84       match ltb fSn1 fx with
85       [ true ⇒ pred fx
86       | false ⇒ fx
87       ]);
88   cut (∀x,y. x ≤ n1 → y ≤ n1 → f' x = f' y → x=y);
89   [ cut (∀x. x ≤ n1 → f' x ≤ n1);
90     [ apply (nat_compare_elim (f (S n1)) x);
91       [ intro;
92         elim (H f' ? ? (pred x));
93         [ simplify in H5;
94           clear Hcut;
95           clear Hcut1;
96           clear f';
97           elim H5;
98           clear H5;
99           apply (ex_intro ? ? a);
100           split;
101           [ generalize in match (eq_f ? ? S ? ? H6);
102             clear H6;
103             intro;
104             rewrite < S_pred in H5;
105             [ generalize in match H4;
106               clear H4;
107               rewrite < H5;
108               clear H5;
109               apply (ltb_elim (f (S n1)) (f a));
110               [ simplify;
111                 intros;
112                 rewrite < S_pred;
113                 [ reflexivity
114                 | apply (ltn_to_ltO ? ? H4)
115                 ]
116               | simplify;
117                 intros;
118                 generalize in match (not_lt_to_le ? ? H4);
119                 clear H4;
120                 intro;
121                 generalize in match (le_n_m_to_lt_m_Sn_to_eq_n_m ? ? H6 H5);
122                 intro;
123                 generalize in match (H1 ? ? ? ? H4);
124                 [ intro;
125                   generalize in match (le_n_m_to_lt_m_Sn_to_eq_n_m ? ? H6 H5);
126                   intro;
127                   generalize in match (H1 ? ? ? ? H9);
128                   [ intro;
129                     rewrite > H10 in H7;
130                     elim (not_le_Sn_n ? H7)
131                   | rewrite > H8;
132                     apply le_n
133                   | apply le_n
134                   ]
135                 | apply le_S;
136                   assumption
137                 | apply le_n
138                 ]
139               ]
140             | apply (ltn_to_ltO ? ? H4)
141             ]
142           | apply le_S;
143             assumption
144           ]
145         | apply Hcut
146         | apply Hcut1
147         | apply le_S_S_to_le;
148           rewrite < S_pred;
149           [ assumption
150           | apply (ltn_to_ltO ? ? H4)
151           ]
152         ]    
153       | intros;
154         apply (ex_intro ? ? (S n1));
155         split;
156         [ assumption
157         | constructor 1
158         ] 
159       | intro;
160         elim (H f' ? ? x);
161         [ simplify in H5;
162           clear Hcut;
163           clear Hcut1;
164           clear f';
165           elim H5;
166           clear H5;
167           apply (ex_intro ? ? a);
168           split;
169           [ generalize in match H4;
170             clear H4;
171             rewrite < H6;
172             clear H6;
173             apply (ltb_elim (f (S n1)) (f a));
174             [ simplify;
175               intros;
176               generalize in match (lt_to_lt_S_S ? ? H5);
177               intro;
178               rewrite < S_pred in H6;
179               [ elim (lt_n_m_to_not_lt_m_Sn ? ? H4 H6)
180               | apply (ltn_to_ltO ? ? H4)
181               ]
182             | simplify;
183               intros;
184               reflexivity
185             ]        
186           | apply le_S;
187             assumption
188           ]
189         | apply Hcut    
190         | apply Hcut1
191         | rewrite > (pred_Sn n1);
192           simplify;
193           generalize in match (H2 (S n1));
194           intro;
195           generalize in match (lt_to_le_to_lt ? ? ? H4 (H5 (le_n ?)));
196           intro;
197           unfold lt in H6;
198           apply le_S_S_to_le;
199           assumption
200         ]
201       ]
202     | unfold f';
203       simplify;
204       intro;
205       apply (ltb_elim (f (S n1)) (f x1));
206       simplify;
207       intros;
208       [ generalize in match (H2 x1);
209         intro;
210         change in match n1 with (pred (S n1));
211         apply le_to_le_pred;
212         apply H6;
213         apply le_S;
214         assumption
215       | generalize in match (H2 (S n1) (le_n ?));
216         intro;
217         generalize in match (not_lt_to_le ? ? H4);
218         intro;
219         generalize in match (transitive_le ? ? ? H7 H6);
220         intro;
221         cut (f x1 ≠ f (S n1));
222         [ generalize in match (not_eq_to_le_to_lt ? ? Hcut1 H7);
223           intro;
224           unfold lt in H9;
225           generalize in match (transitive_le ? ? ? H9 H6);
226           intro;
227           apply le_S_S_to_le;
228           assumption
229         | unfold Not;
230           intro;
231           generalize in match (H1 ? ? ? ? H9);
232           [ intro;
233             rewrite > H10 in H5;
234             apply (not_le_Sn_n ? H5)
235           | apply le_S;
236             assumption
237           | apply le_n
238           ]
239         ] 
240       ]
241     ]
242   | intros 4;
243     unfold f';
244     simplify;
245     apply (ltb_elim (f (S n1)) (f x1));
246     simplify;
247     apply (ltb_elim (f (S n1)) (f y));
248     simplify;
249     intros;
250     [ cut (f x1 = f y);
251       [ apply (H1 ? ? ? ? Hcut);
252         apply le_S;
253         assumption
254       | alias id "eq_pred_to_eq" = "cic:/matita/nat/relevant_equations/eq_pred_to_eq.con".
255 apply eq_pred_to_eq;
256         [ apply (ltn_to_ltO ? ? H7)
257         | apply (ltn_to_ltO ? ? H6)
258         | assumption
259         ]
260       ]         
261     | (* pred (f x1) = f y absurd since y ≠ S n1 and thus f y ≠ f (S n1)
262          so that f y < f (S n1) < f x1; hence pred (f x1) = f y is absurd *)
263        cut (y < S n1);
264        [ generalize in match (lt_to_not_eq ? ? Hcut);
265          intro;
266          cut (f y ≠ f (S n1));
267          [ cut (f y < f (S n1));
268            [ rewrite < H8 in Hcut2;
269              unfold lt in Hcut2;
270              unfold lt in H7;
271              generalize in match (le_S_S ? ? Hcut2);
272              intro;
273              generalize in match (transitive_le ? ? ? H10 H7);
274              intros;
275              rewrite < (S_pred (f x1)) in H11;
276               [ elim (not_le_Sn_n ? H11)
277               | fold simplify ((f (S n1)) < (f x1)) in H7;
278                 apply (ltn_to_ltO ? ? H7)
279               ]
280            | apply not_eq_to_le_to_lt;
281              [ assumption
282              | apply not_lt_to_le;
283                assumption
284              ]
285            ]
286          | unfold Not;
287            intro;
288            apply H9;
289            apply (H1 ? ? ? ? H10);
290            [ apply lt_to_le;
291              assumption
292            | constructor 1
293            ]
294          ]
295        | unfold lt;
296          apply le_S_S;
297          assumption
298        ]
299     | (* f x1 = pred (f y) absurd since it implies S (f x1) = f y and
300          f x1 ≤ f (S n1) < f y = S (f x1) so that f x1 = f (S n1); by
301          injectivity x1 = S n1 that is absurd since x1 ≤ n1 *)
302        generalize in match (eq_f ? ? S ? ? H8);
303        intro;
304        rewrite < S_pred in H9;
305        [ rewrite < H9 in H6;
306          generalize in match (not_lt_to_le ? ? H7);
307          intro;
308          unfold lt in H6;
309          generalize in match (le_S_S ? ? H10);
310          intro;
311          generalize in match (antisym_le ? ? H11 H6);
312          intro;
313          generalize in match (inj_S ? ? H12);
314          intro;
315          generalize in match (H1 ? ? ? ? H13);
316          [ intro;
317            rewrite > H14 in H4;
318            elim (not_le_Sn_n ? H4)
319          | apply le_S;
320            assumption
321          | apply le_n
322          ]
323        | apply (ltn_to_ltO ? ? H6) 
324        ]
325     | apply (H1 ? ? ? ? H8);
326       apply le_S;
327       assumption
328     ]
329   ]
330 ].
331 qed.
332 (* demo *)
333 theorem finite_enumerable_SemiGroup_to_left_cancellable_to_right_cancellable_to_isMonoid:
334  ∀G:finite_enumerable_SemiGroup.
335   left_cancellable ? (op G) →
336   right_cancellable ? (op G) →
337    ∃e:G. isMonoid (mk_PreMonoid G e).
338 intros;
339 letin f ≝(λn.ι(G \sub O · G \sub n));
340 cut (∀n.n ≤ order ? (is_finite_enumerable G) → ∃m.f m = n);
341 [ letin EX ≝(Hcut O ?);
342   [ apply le_O_n
343   | clearbody EX;
344     clear Hcut;
345     unfold f in EX;
346     elim EX;
347     clear EX;
348     letin HH ≝(eq_f ? ? (repr ? (is_finite_enumerable G)) ? ? H2);
349     clearbody HH;
350     rewrite > (repr_index_of ? (is_finite_enumerable G)) in HH;
351     apply (ex_intro ? ? (G \sub a));
352     letin GOGO ≝(refl_eq ? (repr ? (is_finite_enumerable G) O));
353     clearbody GOGO;
354     rewrite < HH in GOGO;
355     rewrite < HH in GOGO:(? ? % ?);
356     rewrite > (op_associative ? G) in GOGO;
357     letin GaGa ≝(H ? ? ? GOGO);
358     clearbody GaGa;
359     clear GOGO;
360     constructor 1;
361     [ simplify;
362       apply (semigroup_properties G)
363     | unfold is_left_unit; intro;
364       letin GaxGax ≝(refl_eq ? (G \sub a ·x));
365       clearbody GaxGax; (* demo *)
366       rewrite < GaGa in GaxGax:(? ? % ?);
367       rewrite > (op_associative ? (semigroup_properties G)) in GaxGax;
368       apply (H ? ? ? GaxGax)
369     | unfold is_right_unit; intro;
370       letin GaxGax ≝(refl_eq ? (x·G \sub a));
371       clearbody GaxGax;
372       rewrite < GaGa in GaxGax:(? ? % ?);
373       rewrite < (op_associative ? (semigroup_properties G)) in GaxGax;
374       apply (H1 ? ? ? GaxGax)
375     ]
376   ]
377 | intros;
378   elim (pigeonhole (order ? G) f ? ? ? H2);
379   [ apply (ex_intro ? ? a);
380     elim H3;
381     assumption
382   | intros;
383     simplify in H5;
384     cut (G \sub (ι(G \sub O · G \sub x)) = G \sub (ι(G \sub O · G \sub y)));
385     [ rewrite > (repr_index_of ? ? (G \sub O · G \sub x))  in Hcut;
386       rewrite > (repr_index_of ? ? (G \sub O · G \sub y))  in Hcut;
387       generalize in match (H ? ? ? Hcut);
388       intro;
389       generalize in match (eq_f ? ? (index_of ? G) ? ? H6);
390       intro;
391       rewrite > index_of_repr in H7;
392       rewrite > index_of_repr in H7;
393       assumption
394     | apply eq_f;
395       assumption
396     ]
397   | intros;
398     apply index_of_sur
399   ] 
400 ].
401 qed.