helm/software/matita/library/assembly/byte.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/assembly/byte".
  16
  17 include "assembly/exadecimal.ma".
  18
  19 record byte : Type ≝ {
  20  bh: exadecimal;
  21  bl: exadecimal
  22 }.
  23
  24 notation "〈 x, y 〉" non associative with precedence 80 for @{ 'mk_byte $x $y }.
  25 interpretation "mk_byte" 'mk_byte x y =
  26  (cic:/matita/assembly/byte/byte.ind#xpointer(1/1/1) x y).
  27
  28 definition eqbyte ≝
  29  λb,b'. eqex (bh b) (bh b') ∧ eqex (bl b) (bl b').
  30
  31 definition plusbyte ≝
  32  λb1,b2,c.
  33   match plusex (bl b1) (bl b2) c with
  34    [ couple l c' ⇒
  35       match plusex (bh b1) (bh b2) c' with
  36        [ couple h c'' ⇒ couple ? ? (mk_byte h l) c'' ]].
  37
  38 definition nat_of_byte ≝ λb:byte. 16*(bh b) + (bl b).
  39
  40 coercion cic:/matita/assembly/byte/nat_of_byte.con.
  41
  42 definition byte_of_nat ≝
  43  λn. mk_byte (exadecimal_of_nat (n / 16)) (exadecimal_of_nat n).
  44
  45 interpretation "byte_of_nat" 'byte_of_opcode a =
  46  (cic:/matita/assembly/byte/byte_of_nat.con a).
  47
  48 lemma byte_of_nat_nat_of_byte: ∀b. byte_of_nat (nat_of_byte b) = b.
  49  intros;
  50  elim b;
  51  elim e;
  52  elim e1;
  53  reflexivity.
  54 qed.
  55
  56 lemma lt_nat_of_byte_256: ∀b. nat_of_byte b < 256.
  57  intro;
  58  unfold nat_of_byte;
  59  letin H ≝ (lt_nat_of_exadecimal_16 (bh b)); clearbody H;
  60  letin K ≝ (lt_nat_of_exadecimal_16 (bl b)); clearbody K;
  61  unfold lt in H K ⊢ %;
  62  letin H' ≝ (le_S_S_to_le ? ? H); clearbody H'; clear H;
  63  letin K' ≝ (le_S_S_to_le ? ? K); clearbody K'; clear K;
  64  apply le_S_S;
  65  cut (16*bh b ≤ 16*15);
  66   [ letin Hf ≝ (le_plus ? ? ? ? Hcut K'); clearbody Hf;
  67     simplify in Hf:(? ? %);
  68     assumption
  69   | autobatch
  70   ]
  71 qed.
  72
  73 lemma nat_of_byte_byte_of_nat: ∀n. nat_of_byte (byte_of_nat n) = n \mod 256.
  74  intro;
  75  letin H ≝ (lt_nat_of_byte_256 (byte_of_nat n)); clearbody H;
  76  rewrite < (lt_to_eq_mod ? ? H); clear H;
  77  unfold byte_of_nat;
  78  unfold nat_of_byte;
  79  change with ((16*(exadecimal_of_nat (n/16)) + exadecimal_of_nat n) \mod 256 = n \mod 256);
  80  letin H ≝ (div_mod n 16 ?); clearbody H; [ autobatch | ];
  81  rewrite > symmetric_times in H;
  82  rewrite > nat_of_exadecimal_exadecimal_of_nat in ⊢ (? ? (? (? % ?) ?) ?);
  83  rewrite > nat_of_exadecimal_exadecimal_of_nat in ⊢ (? ? (? (? ? %) ?) ?);
  84  rewrite > H in ⊢ (? ? ? (? % ?)); clear H;
  85  rewrite > mod_plus in ⊢ (? ? % ?);
  86  rewrite > mod_plus in ⊢ (? ? ? %);
  87  apply eq_mod_to_eq_plus_mod;
  88  rewrite < mod_mod in ⊢ (? ? ? %); [ | autobatch];
  89  rewrite < mod_mod in ⊢ (? ? % ?); [ | autobatch];
  90  rewrite < (eq_mod_times_times_mod ? ? 16 256) in ⊢ (? ? (? % ?) ?); [2: reflexivity | ];
  91  rewrite < mod_mod in ⊢ (? ? % ?);
  92   [ reflexivity
  93   | autobatch
  94   ].
  95 qed.
  96
  97 lemma eq_nat_of_byte_n_nat_of_byte_mod_n_256:
  98  ∀n. byte_of_nat n = byte_of_nat (n \mod 256).
  99  intro;
 100  unfold byte_of_nat;
 101  apply eq_f2;
 102   [ rewrite > exadecimal_of_nat_mod in ⊢ (? ? % ?);
 103     rewrite > exadecimal_of_nat_mod in ⊢ (? ? ? %);
 104     apply eq_f;
 105     elim daemon
 106   | rewrite > exadecimal_of_nat_mod;
 107     rewrite > exadecimal_of_nat_mod in ⊢ (? ? ? %);
 108     rewrite > divides_to_eq_mod_mod_mod;
 109      [ reflexivity
 110      | autobatch
 111      ]
 112   ]
 113 qed.
 114
 115 lemma plusbyte_ok:
 116  ∀b1,b2,c.
 117   match plusbyte b1 b2 c with
 118    [ couple r c' ⇒ b1 + b2 + nat_of_bool c = nat_of_byte r + nat_of_bool c' * 256
 119    ].
 120  intros;
 121  unfold plusbyte;
 122  generalize in match (plusex_ok (bl b1) (bl b2) c);
 123  elim (plusex (bl b1) (bl b2) c);
 124  simplify in H ⊢ %;
 125  generalize in match (plusex_ok (bh b1) (bh b2) t1);
 126  elim (plusex (bh b1) (bh b2) t1);
 127  simplify in H1 ⊢ %;
 128  change in ⊢ (? ? ? (? (? % ?) ?)) with (16 * t2);
 129  unfold nat_of_byte;
 130  letin K ≝ (eq_f ? ? (λy.16*y) ? ? H1); clearbody K; clear H1;
 131  rewrite > distr_times_plus in K:(? ? ? %);
 132  rewrite > symmetric_times in K:(? ? ? (? ? (? ? %)));
 133  rewrite < associative_times in K:(? ? ? (? ? %));
 134  normalize in K:(? ? ? (? ? (? % ?)));
 135  rewrite > symmetric_times in K:(? ? ? (? ? %));
 136  rewrite > sym_plus in ⊢ (? ? ? (? % ?));
 137  rewrite > associative_plus in ⊢ (? ? ? %);
 138  letin K' ≝ (eq_f ? ? (plus t) ? ? K); clearbody K'; clear K;
 139   apply transitive_eq; [3: apply K' | skip | ];
 140  clear K';
 141  rewrite > sym_plus in ⊢ (? ? (? (? ? %) ?) ?);
 142  rewrite > associative_plus in ⊢ (? ? (? % ?) ?);
 143  rewrite > associative_plus in ⊢ (? ? % ?);
 144  rewrite > associative_plus in ⊢ (? ? (? ? %) ?);
 145  rewrite > associative_plus in ⊢ (? ? (? ? (? ? %)) ?);
 146  rewrite > sym_plus in ⊢ (? ? (? ? (? ? (? ? %))) ?);
 147  rewrite < associative_plus in ⊢ (? ? (? ? (? ? %)) ?);
 148  rewrite < associative_plus in ⊢ (? ? (? ? %) ?);
 149  rewrite < associative_plus in ⊢ (? ? (? ? (? % ?)) ?);
 150  rewrite > H; clear H;
 151  autobatch paramodulation.
 152 qed.
 153
 154 definition bpred ≝
 155  λb.
 156   match eqex (bl b) x0 with
 157    [ true ⇒ mk_byte (xpred (bh b)) (xpred (bl b))
 158    | false ⇒ mk_byte (bh b) (xpred (bl b))
 159    ].
 160
 161 lemma plusbyte_O_x:
 162  ∀b. plusbyte (mk_byte x0 x0) b false = couple ? ? b false.
 163  intros;
 164  elim b;
 165  elim e;
 166  elim e1;
 167  reflexivity.
 168 qed.
 169
 170 definition plusbytenc ≝
 171  λx,y.
 172   match plusbyte x y false with
 173    [couple res _ ⇒ res].
 174
 175 definition plusbytec ≝
 176  λx,y.
 177   match plusbyte x y false with
 178    [couple _ c ⇒ c].
 179
 180 lemma plusbytenc_O_x:
 181  ∀x. plusbytenc (mk_byte x0 x0) x = x.
 182  intros;
 183  unfold plusbytenc;
 184  rewrite > plusbyte_O_x;
 185  reflexivity.
 186 qed.
 187
 188 lemma eq_nat_of_byte_mod: ∀b. nat_of_byte b = nat_of_byte b \mod 256.
 189  intro;
 190  lapply (lt_nat_of_byte_256 b);
 191  rewrite > (lt_to_eq_mod ? ? Hletin) in ⊢ (? ? ? %);
 192  reflexivity.
 193 qed.
 194
 195 theorem plusbytenc_ok:
 196  ∀b1,b2:byte. nat_of_byte (plusbytenc b1 b2) = (b1 + b2) \mod 256.
 197  intros;
 198  unfold plusbytenc;
 199  generalize in match (plusbyte_ok b1 b2 false);
 200  elim (plusbyte b1 b2 false);
 201  simplify in H ⊢ %;
 202  change with (nat_of_byte t = (b1 + b2) \mod 256);
 203  rewrite < plus_n_O in H;
 204  rewrite > H; clear H;
 205  rewrite > mod_plus;
 206  letin K ≝ (eq_nat_of_byte_mod t); clearbody K;
 207  letin K' ≝ (eq_mod_times_n_m_m_O (nat_of_bool t1) 256 ?); clearbody K';
 208   [ autobatch | ];
 209  autobatch paramodulation.
 210 qed.
 211
 212
 213
 214 lemma eq_eqbyte_x0_x0_byte_of_nat_S_false:
 215  ∀b. b < 255 → eqbyte (mk_byte x0 x0) (byte_of_nat (S b)) = false.
 216  intros;
 217  unfold byte_of_nat;
 218  cut (b < 15 ∨ b ≥ 15);
 219   [ elim Hcut;
 220     [ unfold eqbyte;
 221       change in ⊢ (? ? (? ? %) ?) with (eqex x0 (exadecimal_of_nat (S b)));
 222       rewrite > eq_eqex_S_x0_false;
 223        [ elim (eqex (bh (mk_byte x0 x0))
 224           (bh (mk_byte (exadecimal_of_nat (S b/16)) (exadecimal_of_nat (S b)))));
 225          simplify;
 226          reflexivity
 227        | assumption
 228        ]
 229     | unfold eqbyte;
 230       change in ⊢ (? ? (? % ?) ?) with (eqex x0 (exadecimal_of_nat (S b/16)));
 231       letin K ≝ (leq_m_n_to_eq_div_n_m_S (S b) 16 ? ?);
 232        [ autobatch
 233        | unfold in H1;
 234          apply le_S_S;
 235          assumption
 236        | clearbody K;
 237          elim K; clear K;
 238          rewrite > H2;
 239          rewrite > eq_eqex_S_x0_false;
 240           [ reflexivity
 241           | unfold lt;
 242             unfold lt in H;
 243             rewrite < H2;
 244             clear H2; clear a; clear H1; clear Hcut;
 245             apply (le_times_to_le 16) [ autobatch | ] ;
 246             rewrite > (div_mod (S b) 16) in H;[2:autobatch|]
 247             rewrite > (div_mod 255 16) in H:(? ? %);[2:autobatch|]
 248             lapply (le_to_le_plus_to_le ? ? ? ? ? H);
 249             [apply lt_S_to_le;
 250              apply lt_mod_m_m;autobatch
 251             |rewrite > sym_times;
 252              rewrite > sym_times in ⊢ (? ? %); (* just to speed up qed *)
 253              normalize in ⊢ (? ? %);apply Hletin;
 254             ]
 255           ]
 256        ]
 257     ]
 258   | elim (or_lt_le b 15);unfold ge;autobatch
 259   ].
 260 qed.
 261
 262 axiom eq_mod_O_to_exists: ∀n,m. n \mod m = 0 → ∃z. n = z*m.
 263
 264 lemma eq_bpred_S_a_a:
 265  ∀a. a < 255 → bpred (byte_of_nat (S a)) = byte_of_nat a.
 266  intros;
 267  unfold bpred;
 268  apply (bool_elim ? (eqex (bl (byte_of_nat (S a))) x0)); intros;
 269   [ change with (mk_byte (xpred (bh (byte_of_nat (S a)))) (xpred (bl (byte_of_nat (S a))))
 270      = byte_of_nat a);
 271     rewrite > (eqex_true_to_eq ? ? H1);
 272     normalize in ⊢ (? ? (? ? %) ?);
 273     unfold byte_of_nat;
 274     change with (mk_byte (xpred (exadecimal_of_nat (S a/16))) xF =
 275                  mk_byte (exadecimal_of_nat (a/16)) (exadecimal_of_nat a));
 276     lapply (eqex_true_to_eq ? ? H1); clear H1;
 277     unfold byte_of_nat in Hletin;
 278     change in Hletin with (exadecimal_of_nat (S a) = x0);
 279     lapply (eq_f ? ? nat_of_exadecimal ? ? Hletin); clear Hletin;
 280     normalize in Hletin1:(? ? ? %);
 281     rewrite > nat_of_exadecimal_exadecimal_of_nat in Hletin1;
 282     elim (eq_mod_O_to_exists ? ? Hletin1); clear Hletin1;
 283     rewrite > H1;
 284     rewrite > div_times_ltO; [2: autobatch | ]
 285     lapply (eq_f ? ? (λx.x/16) ? ? H1);
 286     rewrite > div_times_ltO in Hletin; [2: autobatch | ]
 287     lapply (eq_f ? ? (λx.x \mod 16) ? ? H1);
 288     rewrite > eq_mod_times_n_m_m_O in Hletin1;
 289     elim daemon
 290   | change with (mk_byte (bh (byte_of_nat (S a))) (xpred (bl (byte_of_nat (S a))))
 291     = byte_of_nat a);
 292     unfold byte_of_nat;
 293     change with (mk_byte (exadecimal_of_nat (S a/16)) (xpred (exadecimal_of_nat (S a)))
 294     = mk_byte (exadecimal_of_nat (a/16)) (exadecimal_of_nat a));
 295     lapply (eqex_false_to_not_eq ? ? H1);
 296     unfold byte_of_nat in Hletin;
 297     change in Hletin with (exadecimal_of_nat (S a) ≠ x0);
 298     cut (nat_of_exadecimal (exadecimal_of_nat (S a)) ≠ 0);
 299      [2: intro;
 300        apply Hletin;
 301        lapply (eq_f ? ? exadecimal_of_nat ? ? H2);
 302        rewrite > exadecimal_of_nat_nat_of_exadecimal in Hletin1;
 303        apply Hletin1
 304      | ];
 305
 306     elim daemon
 307   ]
 308 qed.
 309
 310 lemma plusbytenc_S:
 311  ∀x:byte.∀n.plusbytenc (byte_of_nat (x*n)) x = byte_of_nat (x * S n).
 312  intros;
 313  rewrite < byte_of_nat_nat_of_byte;
 314  rewrite > (plusbytenc_ok (byte_of_nat (x*n)) x);
 315  rewrite < times_n_Sm;
 316  rewrite > nat_of_byte_byte_of_nat in ⊢ (? ? (? (? (? % ?) ?)) ?);
 317  rewrite > eq_nat_of_byte_n_nat_of_byte_mod_n_256 in ⊢ (? ? ? %);
 318  rewrite > mod_plus in ⊢ (? ? (? %) ?);
 319  rewrite > mod_plus in ⊢ (? ? ? (? %));
 320  rewrite < mod_mod in ⊢ (? ? (? (? (? % ?) ?)) ?); [2: autobatch | ];
 321  rewrite > sym_plus in ⊢ (? ? (? (? % ?)) ?);
 322  reflexivity.
 323 qed.
 324
 325 lemma eq_plusbytec_x0_x0_x_false:
 326  ∀x.plusbytec (mk_byte x0 x0) x = false.
 327  intro;
 328  elim x;
 329  elim e;
 330  elim e1;
 331  reflexivity.
 332 qed.