helm/software/matita/library/dama/ordered_uniform.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "dama/uniform.ma".
  16
  17 record ordered_uniform_space_ : Type ≝ {
  18   ous_os:> ordered_set;
  19   ous_us_: uniform_space;
  20   with_ : us_carr ous_us_ = bishop_set_of_ordered_set ous_os
  21 }.
  22
  23 lemma ous_unifspace: ordered_uniform_space_ → uniform_space.
  24 intro X; apply (mk_uniform_space (bishop_set_of_ordered_set X));
  25 unfold bishop_set_OF_ordered_uniform_space_;
  26 [1: rewrite < (with_ X); simplify; apply (us_unifbase (ous_us_ X));
  27 |2: cases (with_ X); simplify; apply (us_phi1 (ous_us_ X));
  28 |3: cases (with_ X); simplify; apply (us_phi2 (ous_us_ X));
  29 |4: cases (with_ X); simplify; apply (us_phi3 (ous_us_ X));
  30 |5: cases (with_ X); simplify; apply (us_phi4 (ous_us_ X))]
  31 qed.
  32
  33 coercion ous_unifspace.
  34
  35 record ordered_uniform_space : Type ≝ {
  36   ous_stuff :> ordered_uniform_space_;
  37   ous_convex_l: ∀U.us_unifbase ous_stuff U → convex (os_l ous_stuff) U;
  38   ous_convex_r: ∀U.us_unifbase ous_stuff U → convex (os_r ous_stuff) U
  39 }.
  40
  41 definition half_ordered_set_OF_ordered_uniform_space : ordered_uniform_space → half_ordered_set.
  42 intro; compose ordered_set_OF_ordered_uniform_space with os_l. apply (f o);
  43 qed.
  44
  45 definition invert_os_relation ≝
  46   λC:ordered_set.λU:C squareO → Prop.
  47     λx:C squareO. U 〈\snd x,\fst x〉.
  48
  49 interpretation "relation invertion" 'invert a = (invert_os_relation _ a).
  50 interpretation "relation invertion" 'invert_symbol = (invert_os_relation _).
  51 interpretation "relation invertion" 'invert_appl a x = (invert_os_relation _ a x).
  52
  53 lemma hint_segment: ∀O.
  54  segment (Type_of_ordered_set O) →
  55  segment (hos_carr (os_l O)).
  56 intros; assumption;
  57 qed.
  58
  59 coercion hint_segment nocomposites.
  60
  61 lemma segment_square_of_ordered_set_square:
  62   ∀O:ordered_set.∀s:‡O.∀x:O squareO.
  63    \fst x ∈ s → \snd x ∈ s → {[s]} squareO.
  64 intros; split; exists; [1: apply (\fst x) |3: apply (\snd x)] assumption;
  65 qed.
  66
  67 coercion segment_square_of_ordered_set_square with 0 2 nocomposites.
  68
  69 alias symbol "pi1" (instance 4) = "exT \fst".
  70 alias symbol "pi1" (instance 2) = "exT \fst".
  71 lemma ordered_set_square_of_segment_square :
  72  ∀O:ordered_set.∀s:‡O.{[s]} squareO → O squareO ≝
  73   λO:ordered_set.λs:‡O.λb:{[s]} squareO.〈\fst(\fst b),\fst(\snd b)〉.
  74
  75 coercion ordered_set_square_of_segment_square nocomposites.
  76
  77 lemma restriction_agreement :
  78   ∀O:ordered_uniform_space.∀s:‡O.∀P:{[s]} squareO → Prop.∀OP:O squareO → Prop.Prop.
  79 apply(λO:ordered_uniform_space.λs:‡O.
  80        λP:{[s]} squareO → Prop. λOP:O squareO → Prop.
  81           ∀b:{[s]} squareO.(P b → OP b) ∧ (OP b → P b));
  82 qed.
  83
  84 lemma unrestrict: ∀O:ordered_uniform_space.∀s:‡O.∀U,u.∀x:{[s]} squareO.
  85   restriction_agreement ? s U u → U x → u x.
  86 intros 6; cases (H x); assumption;
  87 qed.
  88
  89 lemma restrict: ∀O:ordered_uniform_space.∀s:‡O.∀U,u.∀x:{[s]} squareO.
  90   restriction_agreement ? s U u → u x → U x.
  91 intros 6; cases (H x); assumption;
  92 qed.
  93
  94 lemma invert_restriction_agreement:
  95   ∀O:ordered_uniform_space.∀s:‡O.
  96    ∀U:{[s]} squareO → Prop.∀u:O squareO → Prop.
  97     restriction_agreement ? s U u →
  98     restriction_agreement ? s (\inv U) (\inv u).
  99 intros 6; cases b;
 100 generalize in match (H 〈h1,h〉); cases h; cases h1; simplify;
 101 intro X; cases X; split; assumption;
 102 qed.
 103
 104 lemma bs2_of_bss2:
 105  ∀O:ordered_set.∀s:‡O.(bishop_set_of_ordered_set {[s]}) squareB → (bishop_set_of_ordered_set O) squareB ≝
 106   λO:ordered_set.λs:‡O.λb:{[s]} squareO.〈\fst(\fst b),\fst(\snd b)〉.
 107
 108 coercion bs2_of_bss2 nocomposites.
 109
 110
 111 lemma a2sa :
 112  ∀O:ordered_uniform_space.∀s:‡(ordered_set_OF_ordered_uniform_space O).
 113  ∀x:
 114   bs_carr
 115   (square_bishop_set
 116    (bishop_set_of_ordered_set
 117      (segment_ordered_set
 118        (ordered_set_OF_ordered_uniform_space O) s))).
 119  (\fst x) ≈ (\snd x) →
 120  (\fst (bs2_of_bss2 (ordered_set_OF_ordered_uniform_space O) s x))
 121  ≈
 122  (\snd (bs2_of_bss2 (ordered_set_OF_ordered_uniform_space O) s x)).
 123 intros 3; cases x (a b); clear x; simplify in match (\fst ?);
 124 simplify in match (\snd ?); intros 2 (K H); apply K; clear K;
 125 cases H;
 126 [ left; change in H1:(? ? % ?) with (\fst a);
 127         change in H1:(? ? ? %) with (\fst b);
 128         change in a with (hos_carr (half_segment_ordered_set ? s));
 129         change in b with (hos_carr (half_segment_ordered_set ? s));
 130         apply rule H1;
 131 | right; change in H1:(? ? % ?) with (\fst b);
 132         change in H1:(? ? ? %) with (\fst a);
 133         change in a with (hos_carr (half_segment_ordered_set ? s));
 134         change in b with (hos_carr (half_segment_ordered_set ? s));
 135         apply rule H1;]
 136 qed.
 137
 138
 139 lemma segment_ordered_uniform_space:
 140   ∀O:ordered_uniform_space.∀s:‡O.ordered_uniform_space.
 141 intros (O s); apply mk_ordered_uniform_space;
 142 [1: apply (mk_ordered_uniform_space_ {[s]});
 143     [1: alias symbol "and" = "constructive and".
 144         letin f ≝ (λP:{[s]} squareO → Prop. ∃OP:O squareO → Prop.
 145                     (us_unifbase O OP) ∧ restriction_agreement ?? P OP);
 146         apply (mk_uniform_space (bishop_set_of_ordered_set {[s]}) f);
 147         [1: intros (U H); intro x; simplify;
 148             cases H (w Hw); cases Hw (Gw Hwp); clear H Hw; intro Hm;
 149             lapply (us_phi1 O w Gw x (a2sa ??? Hm)) as IH;
 150             apply (restrict ? s ??? Hwp IH);
 151         |2: intros (U V HU HV); cases HU (u Hu); cases HV (v Hv); clear HU HV;
 152             cases Hu (Gu HuU); cases Hv (Gv HvV); clear Hu Hv;
 153             cases (us_phi2 O u v Gu Gv) (w HW); cases HW (Gw Hw); clear HW;
 154             exists; [apply (λb:{[s]} squareB.w b)] split;
 155             [1: unfold f; simplify; clearbody f;
 156                 exists; [apply w]; split; [assumption] intro b; simplify;
 157                 unfold segment_square_of_ordered_set_square;
 158                 cases b; intros; split; intros; assumption;
 159             |2: intros 2 (x Hx); cases (Hw ? Hx); split;
 160                 [apply (restrict O s ??? HuU H)|apply (restrict O s ??? HvV H1);]]
 161         |3: intros (U Hu); cases Hu (u HU); cases HU (Gu HuU); clear Hu HU;
 162             cases (us_phi3 O u Gu) (w HW); cases HW (Gw Hwu); clear HW;
 163             exists; [apply (λx:{[s]} squareB.w x)] split;
 164             [1: exists;[apply w];split;[assumption] intros; simplify; intro;
 165                 unfold segment_square_of_ordered_set_square;
 166                 cases b; intros; split; intro; assumption;
 167             |2: intros 2 (x Hx); apply (restrict O s ??? HuU); apply Hwu;
 168                 cases Hx (m Hm); exists[apply (\fst m)] apply Hm;]
 169         |4: intros (U HU x); cases HU (u Hu); cases Hu (Gu HuU); clear HU Hu;
 170             cases (us_phi4 O u Gu x) (Hul Hur);
 171             split; intros;
 172             [1: lapply (invert_restriction_agreement O s ?? HuU) as Ra;
 173                 apply (restrict O s ?? x Ra);
 174                 apply Hul; apply (unrestrict O s ??? HuU H);
 175             |2: apply (restrict O s ??? HuU); apply Hur;
 176                 apply (unrestrict O s ??? (invert_restriction_agreement O s ?? HuU) H);]]
 177     |2: simplify; reflexivity;]
 178 |2: simplify; unfold convex; intros 3; cases s1; intros;
 179     (* TODO: x2sx is for ≰, we need one for ≤ *)
 180     cases H (u HU); cases HU (Gu HuU); clear HU H;
 181     lapply depth=0 (ous_convex_l ?? Gu 〈\fst h,\fst h1〉 ???????) as K3;
 182     [2: intro; apply H2; apply (x2sx_ (os_l O) s h h1 H);
 183     |3: apply 〈\fst (\fst y),\fst (\snd y)〉;
 184     |4: intro; change in H with (\fst (\fst y) ≰ \fst h1); apply H3;
 185         apply (x2sx_ (os_l O) s (\fst y) h1 H);
 186     |5: change with (\fst h ≤ \fst (\fst y)); intro; apply H4;
 187         apply (x2sx_ (os_l O) s h (\fst y) H);
 188     |6: change with (\fst (\snd y) ≤ \fst h1); intro; apply H5;
 189         apply (x2sx_ (os_l O) s (\snd y) h1 H);
 190     |7: change with (\fst (\fst y) ≤ \fst (\snd y)); intro; apply H6;
 191         apply (x2sx_ (os_l O) s (\fst y) (\snd y) H);
 192     |8: apply (restrict O s U u y HuU K3);
 193     |1: apply (unrestrict O s ?? 〈h,h1〉 HuU H1);]
 194 |3: simplify; unfold convex; intros 3; cases s1; intros;
 195     cases H (u HU); cases HU (Gu HuU); clear HU H;
 196     lapply depth=0 (ous_convex_r ?? Gu 〈\fst h,\fst h1〉 ???????) as K3;
 197     [2: intro; apply H2; apply (x2sx_ (os_r O) s h h1 H);
 198     |3: apply 〈\fst (\fst y),\fst (\snd y)〉;
 199     |4: intro; apply H3;
 200         apply (x2sx_ (os_r O) s (\fst y) h1 H);
 201     |5: intro; apply H4;
 202         apply (x2sx_ (os_r O) s h (\fst y) H);
 203     |6: intro; apply H5;
 204         apply (x2sx_ (os_r O) s (\snd y) h1 H);
 205     |7: intro; apply H6;
 206         apply (x2sx_ (os_r O) s (\fst y) (\snd y) H);
 207     |8: apply (restrict O s U u y HuU K3);
 208     |1: apply (unrestrict O s ?? 〈h,h1〉 HuU H1);]
 209 ]
 210 qed.
 211
 212 interpretation "Ordered uniform space segment" 'segset a =
 213  (segment_ordered_uniform_space _ a).
 214
 215 (* Lemma 3.2 *)
 216 alias symbol "pi1" = "exT \fst".
 217 lemma restric_uniform_convergence:
 218  ∀O:ordered_uniform_space.∀s:‡O.
 219   ∀x:{[s]}.
 220    ∀a:sequence {[s]}.
 221     (⌊n, \fst (a n)⌋ : sequence O) uniform_converges (\fst x) →
 222       a uniform_converges x.
 223 intros 7; cases H1; cases H2; clear H2 H1;
 224 cases (H ? H3) (m Hm); exists [apply m]; intros;
 225 apply (restrict ? s ??? H4); apply (Hm ? H1);
 226 qed.
 227
 228 definition order_continuity ≝
 229   λC:ordered_uniform_space.∀a:sequence C.∀x:C.
 230     (a ↑ x → a uniform_converges x) ∧ (a ↓ x → a uniform_converges x).
 231
 232 lemma hint_boh1: ∀O. Type_OF_ordered_uniform_space O → hos_carr (os_l O).
 233 intros; assumption;
 234 qed.
 235
 236 coercion hint_boh1 nocomposites.
 237
 238 lemma hint_boh2: ∀O:ordered_uniform_space. hos_carr (os_l O) → Type_OF_ordered_uniform_space O.
 239 intros; assumption;
 240 qed.
 241
 242 coercion hint_boh2 nocomposites.
 243