]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - helm/software/matita/library/dama/supremum.ma
cicNotationUtil: in fresh_name_generator, "\eta" replaced with "eta", which is an...
[helm.git] / helm / software / matita / library / dama / supremum.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                              *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15
16 include "datatypes/constructors.ma".
17 include "nat/plus.ma".
18 include "dama/nat_ordered_set.ma".
19 include "dama/sequence.ma".
20
21 (* Definition 2.4 *)
22 definition upper_bound ≝ 
23   λO:half_ordered_set.λa:sequence O.λu:O.∀n:nat.a n ≤≤ u.
24
25 definition supremum ≝
26   λO:half_ordered_set.λs:sequence O.λx.
27     upper_bound ? s x ∧ (∀y:O.x ≰≰ y → ∃n.s n ≰≰ y).
28
29 definition increasing ≝ 
30   λO:half_ordered_set.λa:sequence O.∀n:nat.a n ≤≤ a (S n).
31
32 notation < "x \nbsp 'is_upper_bound' \nbsp s" non associative with precedence 45 
33   for @{'upper_bound $s $x}.
34 notation < "x \nbsp 'is_lower_bound' \nbsp s" non associative with precedence 45 
35   for @{'lower_bound $s $x}.
36 notation < "s \nbsp 'is_increasing'" non associative with precedence 45 
37   for @{'increasing $s}.
38 notation < "s \nbsp 'is_decreasing'" non associative with precedence 45 
39   for @{'decreasing $s}.
40 notation < "x \nbsp 'is_supremum' \nbsp s" non associative with precedence 45 
41   for @{'supremum $s $x}.
42 notation < "x \nbsp 'is_infimum' \nbsp s" non associative with precedence 45 
43   for @{'infimum $s $x}.
44 notation > "x 'is_upper_bound' s" non associative with precedence 45 
45   for @{'upper_bound $s $x}.
46 notation > "x 'is_lower_bound' s" non associative with precedence 45 
47   for @{'lower_bound $s $x}.
48 notation > "s 'is_increasing'"    non associative with precedence 45 
49   for @{'increasing $s}.
50 notation > "s 'is_decreasing'"    non associative with precedence 45 
51   for @{'decreasing $s}.
52 notation > "x 'is_supremum' s"  non associative with precedence 45 
53   for @{'supremum $s $x}.
54 notation > "x 'is_infimum' s"  non associative with precedence 45 
55   for @{'infimum $s $x}.
56
57 interpretation "Ordered set upper bound" 'upper_bound s x = (upper_bound (os_l _) s x).
58 interpretation "Ordered set lower bound" 'lower_bound s x = (upper_bound (os_r _) s x).
59
60 interpretation "Ordered set increasing"  'increasing s = (increasing (os_l _) s).
61 interpretation "Ordered set decreasing"  'decreasing s = (increasing (os_r _) s).
62
63 interpretation "Ordered set strong sup"  'supremum s x = (supremum (os_l _) s x).
64 interpretation "Ordered set strong inf"  'infimum s x = (supremum (os_r _) s x).
65   
66 (* Fact 2.5 *)
67 lemma h_supremum_is_upper_bound: 
68   ∀C:half_ordered_set.∀a:sequence C.∀u:C.
69    supremum ? a u → ∀v.upper_bound ? a v → u ≤≤ v.
70 intros 7 (C s u Hu v Hv H); cases Hu (_ H1); clear Hu;
71 cases (H1 ? H) (w Hw); apply Hv; [apply w] assumption;
72 qed.
73
74 notation "'supremum_is_upper_bound'" non associative with precedence 90 for @{'supremum_is_upper_bound}.
75 notation "'infimum_is_lower_bound'" non associative with precedence 90 for @{'infimum_is_lower_bound}.
76
77 interpretation "supremum_is_upper_bound" 'supremum_is_upper_bound = (h_supremum_is_upper_bound (os_l _)).
78 interpretation "infimum_is_lower_bound" 'infimum_is_lower_bound = (h_supremum_is_upper_bound (os_r _)).
79
80 (* Lemma 2.6 *)
81 definition strictly_increasing ≝ 
82   λC:half_ordered_set.λa:sequence C.∀n:nat.a (S n) ≰≰ a n.
83
84 notation < "s \nbsp 'is_strictly_increasing'" non associative with precedence 45 
85   for @{'strictly_increasing $s}.
86 notation > "s 'is_strictly_increasing'" non associative with precedence 45 
87   for @{'strictly_increasing $s}.
88 interpretation "Ordered set strict increasing"  'strictly_increasing s    = 
89   (strictly_increasing (os_l _) s).
90   
91 notation < "s \nbsp 'is_strictly_decreasing'" non associative with precedence 45 
92   for @{'strictly_decreasing $s}.
93 notation > "s 'is_strictly_decreasing'" non associative with precedence 45 
94   for @{'strictly_decreasing $s}.
95 interpretation "Ordered set strict decreasing"  'strictly_decreasing s    = 
96   (strictly_increasing (os_r _) s).
97
98 definition uparrow ≝
99   λC:half_ordered_set.λs:sequence C.λu:C.
100    increasing ? s ∧ supremum ? s u.
101
102 interpretation "Ordered set uparrow" 'funion s u = (uparrow (os_l _) s u).
103 interpretation "Ordered set downarrow" 'fintersects s u = (uparrow (os_r _) s u).
104
105 lemma h_trans_increasing: 
106   ∀C:half_ordered_set.∀a:sequence C.increasing ? a → 
107    ∀n,m:nat_ordered_set. n ≤ m → a n ≤≤ a m.
108 intros 5 (C a Hs n m); elim m; [
109   rewrite > (le_n_O_to_eq n (not_lt_to_le O n H));
110   intro X; cases (hos_coreflexive ? (a n) X);]
111 cases (le_to_or_lt_eq ?? (not_lt_to_le (S n1) n H1)); clear H1;
112 [2: rewrite > H2; intro; cases (hos_coreflexive ? (a (S n1)) H1);
113 |1: apply (hle_transitive ???? (H ?) (Hs ?));
114     intro; whd in H1; apply (not_le_Sn_n n); apply (transitive_le ??? H2 H1);]
115 qed.
116
117 notation "'trans_increasing'" non associative with precedence 90 for @{'trans_increasing}.
118 notation "'trans_decreasing'" non associative with precedence 90 for @{'trans_decreasing}.
119
120 interpretation "trans_increasing" 'trans_increasing = (h_trans_increasing (os_l _)).
121 interpretation "trans_decreasing" 'trans_decreasing = (h_trans_increasing (os_r _)).
122
123 lemma hint_nat :
124  Type_OF_ordered_set nat_ordered_set →
125    hos_carr (os_l (nat_ordered_set)).
126 intros; assumption;
127 qed.
128
129 coercion hint_nat nocomposites.
130
131 lemma h_trans_increasing_exc: 
132   ∀C:half_ordered_set.∀a:sequence C.increasing ? a → 
133    ∀n,m:nat_ordered_set. m ≰≰ n → a n ≤≤ a m.
134 intros 5 (C a Hs n m); elim m; [cases (not_le_Sn_O n H);]
135 intro; apply H; 
136 [1: change in n1 with (hos_carr (os_l nat_ordered_set)); 
137     change with (n<n1);
138     cases (le_to_or_lt_eq ?? H1); [apply le_S_S_to_le;assumption]
139     cases (Hs n); rewrite < H3 in H2; assumption;    
140 |2: cases (hos_cotransitive ? (a n) (a (S n1)) (a n1) H2); [assumption]
141     cases (Hs n1); assumption;]
142 qed.
143
144 notation "'trans_increasing_exc'" non associative with precedence 90 for @{'trans_increasing_exc}.
145 notation "'trans_decreasing_exc'" non associative with precedence 90 for @{'trans_decreasing_exc}.
146
147 interpretation "trans_increasing_exc" 'trans_increasing_exc = (h_trans_increasing_exc (os_l _)).
148 interpretation "trans_decreasing_exc" 'trans_decreasing_exc = (h_trans_increasing_exc (os_r _)).
149
150 alias symbol "exists" = "CProp exists".
151 lemma nat_strictly_increasing_reaches: 
152   ∀m:sequence nat_ordered_set.
153    m is_strictly_increasing → ∀w.∃t.m t ≰ w.
154 intros; elim w;
155 [1: cases (nat_discriminable O (m O)); [2: cases (not_le_Sn_n O (ltn_to_ltO ?? H1))]
156     cases H1; [exists [apply O] apply H2;]
157     exists [apply (S O)] lapply (H O) as H3; rewrite < H2 in H3; assumption
158 |2: cases H1 (p Hp); cases (nat_discriminable (S n) (m p)); 
159     [1: cases H2; clear H2;
160         [1: exists [apply p]; assumption;
161         |2: exists [apply (S p)]; rewrite > H3; apply H;]
162     |2: cases (?:False); change in Hp with (n<m p);
163         apply (not_le_Sn_n (m p));
164         apply (transitive_le ??? H2 Hp);]]
165 qed.
166      
167 lemma h_selection_uparrow: 
168   ∀C:half_ordered_set.∀m:sequence nat_ordered_set.
169    m is_strictly_increasing →
170     ∀a:sequence C.∀u.uparrow ? a u → uparrow ? ⌊x,a (m x)⌋ u.
171 intros (C m Hm a u Ha); cases Ha (Ia Su); cases Su (Uu Hu); repeat split; 
172 [1: intro n; simplify; apply (h_trans_increasing_exc ? a Ia); apply (Hm n);
173 |2: intro n; simplify; apply Uu;
174 |3: intros (y Hy); simplify; cases (Hu ? Hy);
175     cases (nat_strictly_increasing_reaches ? Hm w); 
176     exists [apply w1]; cases (hos_cotransitive ? (a w) y (a (m w1)) H); [2:assumption]  
177     cases (h_trans_increasing_exc ?? Ia w (m w1) H1); assumption;]
178 qed.     
179
180 notation "'selection_uparrow'" non associative with precedence 90 for @{'selection_uparrow}.
181 notation "'selection_downarrow'" non associative with precedence 90 for @{'selection_downarrow}.
182
183 interpretation "selection_uparrow" 'selection_uparrow = (h_selection_uparrow (os_l _)).
184 interpretation "selection_downarrow" 'selection_downarrow = (h_selection_uparrow (os_r _)).
185
186 (* Definition 2.7 *)
187 definition order_converge ≝
188   λO:ordered_set.λa:sequence O.λx:O.
189    exT23 (sequence O) (λl.l ↑ x) (λu.u ↓ x)
190      (λl,u:sequence O.∀i:nat. (l i) is_infimum ⌊w,a (w+i)⌋ ∧ 
191                    (u i) is_supremum ⌊w,a (w+i)⌋).
192     
193 notation < "a \nbsp (\cir \atop (\horbar\triangleright)) \nbsp x" non associative with precedence 45 
194   for @{'order_converge $a $x}.
195 notation > "a 'order_converges' x" non associative with precedence 45 
196   for @{'order_converge $a $x}.
197 interpretation "Order convergence" 'order_converge s u = (order_converge _ s u).   
198     
199 (* Definition 2.8 *)
200 record segment (O : Type) : Type ≝ {
201    seg_l_ : O;
202    seg_u_ : O
203 }.
204
205 notation > "𝕦_term 90 s" non associative with precedence 90 for @{'upp $s}.
206 notation "𝕦 \sub term 90 s" non associative with precedence 90 for @{'upp $s}. 
207 notation > "𝕝_term 90 s" non associative with precedence 90 for @{'low $s}.
208 notation "𝕝 \sub term 90 s" non associative with precedence 90 for @{'low $s}. 
209  
210 definition seg_u ≝
211  λO:half_ordered_set.λs:segment O.
212    wloss O ?? (λl,u.l) (seg_u_ ? s) (seg_l_ ? s).
213 definition seg_l ≝
214  λO:half_ordered_set.λs:segment O.
215    wloss O ?? (λl,u.l) (seg_l_ ? s) (seg_u_ ? s). 
216  
217 interpretation "uppper" 'upp s = (seg_u (os_l _) s).
218 interpretation "lower" 'low s = (seg_l (os_l _) s).
219 interpretation "uppper dual" 'upp s = (seg_l (os_r _) s).
220 interpretation "lower dual" 'low s = (seg_u (os_r _) s).
221  
222 definition in_segment ≝ 
223   λO:half_ordered_set.λs:segment O.λx:O.
224     wloss O ?? (λp1,p2.p1 ∧ p2) (seg_l ? s ≤≤ x) (x ≤≤ seg_u ? s).
225
226 notation "‡O" non associative with precedence 90 for @{'segment $O}.
227 interpretation "Ordered set sergment" 'segment x = (segment x).
228
229 interpretation "Ordered set sergment in" 'mem x s = (in_segment _ s x).
230
231 definition segment_ordered_set_carr ≝
232   λO:half_ordered_set.λs:‡O.∃x.x ∈ s.
233 definition segment_ordered_set_exc ≝ 
234   λO:half_ordered_set.λs:‡O.
235    λx,y:segment_ordered_set_carr O s.hos_excess_ O (\fst x) (\fst y).
236 lemma segment_ordered_set_corefl:
237  ∀O,s. coreflexive ? (wloss O ?? (segment_ordered_set_exc O s)).
238 intros 3; cases x; cases (wloss_prop O);
239 generalize in match (hos_coreflexive O w);
240 rewrite < (H1 ?? (segment_ordered_set_exc O s));
241 rewrite < (H1 ?? (hos_excess_ O)); intros; assumption;
242 qed.
243 lemma segment_ordered_set_cotrans : 
244   ∀O,s. cotransitive ? (wloss O ?? (segment_ordered_set_exc O s)).
245 intros 5 (O s x y z); cases x; cases y ; cases z; clear x y z;
246 generalize in match (hos_cotransitive O w w1 w2);
247 cases (wloss_prop O); 
248 do 3 rewrite < (H3 ?? (segment_ordered_set_exc O s));
249 do 3 rewrite < (H3 ?? (hos_excess_ O)); intros; apply H4; assumption;
250 qed.  
251   
252 lemma half_segment_ordered_set: 
253   ∀O:half_ordered_set.∀s:segment O.half_ordered_set.
254 intros (O a); constructor 1;
255 [ apply (segment_ordered_set_carr O a);
256 | apply (wloss O);
257 | apply (wloss_prop O);
258 | apply (segment_ordered_set_exc O a);
259 | apply (segment_ordered_set_corefl O a);
260 | apply (segment_ordered_set_cotrans ??);
261 ]
262 qed.
263
264 lemma segment_ordered_set: 
265   ∀O:ordered_set.∀s:‡O.ordered_set.
266 intros (O s); 
267 apply half2full; apply (half_segment_ordered_set (os_l O) s); 
268 qed.
269
270 notation "{[ term 19 s ]}" non associative with precedence 90 for @{'segset $s}.
271 interpretation "Ordered set segment" 'segset s = (segment_ordered_set _ s). 
272
273 (* test :
274  ∀O:ordered_set.∀s: segment (os_l O).∀x:O.
275    in_segment (os_l O) s x
276    =
277    in_segment (os_r O) s x.
278 intros; try reflexivity;
279 *)
280
281 lemma prove_in_segment: 
282  ∀O:half_ordered_set.∀s:segment O.∀x:O.
283    (seg_l O s) ≤≤ x → x ≤≤ (seg_u O s) → x ∈ s.
284 intros; unfold; cases (wloss_prop O); rewrite < H2;
285 split; assumption;
286 qed.
287
288 lemma cases_in_segment: 
289   ∀C:half_ordered_set.∀s:segment C.∀x. x ∈ s → (seg_l C s) ≤≤ x ∧ x ≤≤ (seg_u C s).
290 intros; unfold in H; cases (wloss_prop C) (W W); rewrite<W in H; [cases H; split;assumption]
291 cases H; split; assumption;
292 qed. 
293
294 definition hint_sequence: 
295   ∀C:ordered_set.
296     sequence (hos_carr (os_l C)) → sequence (Type_of_ordered_set C).
297 intros;assumption;
298 qed.
299
300 definition hint_sequence1: 
301   ∀C:ordered_set.
302     sequence (hos_carr (os_r C)) → sequence (Type_of_ordered_set_dual C).
303 intros;assumption;
304 qed.
305
306 definition hint_sequence2: 
307   ∀C:ordered_set.
308     sequence (Type_of_ordered_set C) → sequence (hos_carr (os_l C)).
309 intros;assumption;
310 qed.
311
312 definition hint_sequence3: 
313   ∀C:ordered_set.
314     sequence (Type_of_ordered_set_dual C) → sequence (hos_carr (os_r C)).
315 intros;assumption;
316 qed.
317
318 coercion hint_sequence nocomposites.
319 coercion hint_sequence1 nocomposites.
320 coercion hint_sequence2 nocomposites.
321 coercion hint_sequence3 nocomposites.
322
323 (* Lemma 2.9 - non easily dualizable *)
324
325 lemma x2sx_:
326   ∀O:half_ordered_set.
327    ∀s:segment O.∀x,y:half_segment_ordered_set ? s.
328     \fst x ≰≰ \fst y → x ≰≰ y.
329 intros 4; cases x; cases y; clear x y; simplify; unfold hos_excess;
330 whd in ⊢ (?→? (% ? ?)? ? ? ? ?); simplify in ⊢ (?→%);
331 cases (wloss_prop O) (E E); do 2 rewrite < E; intros; assumption;
332 qed.
333
334 lemma sx2x_:
335   ∀O:half_ordered_set.
336    ∀s:segment O.∀x,y:half_segment_ordered_set ? s.
337     x ≰≰ y → \fst x ≰≰ \fst y.
338 intros 4; cases x; cases y; clear x y; simplify; unfold hos_excess;
339 whd in ⊢ (? (% ? ?) ?? ? ? ? → ?); simplify in ⊢ (% → ?);
340 cases (wloss_prop O) (E E); do 2 rewrite < E; intros; assumption;
341 qed.
342
343 lemma l2sl_:
344   ∀C,s.∀x,y:half_segment_ordered_set C s. \fst x ≤≤ \fst y → x ≤≤ y.
345 intros; intro; apply H; apply sx2x_; apply H1;
346 qed.
347
348
349 lemma sl2l_:
350   ∀C,s.∀x,y:half_segment_ordered_set C s. x ≤≤ y → \fst x ≤≤ \fst y.
351 intros; intro; apply H; apply x2sx_; apply H1;
352 qed.
353
354 coercion x2sx_ nocomposites.
355 coercion sx2x_ nocomposites.
356 coercion l2sl_ nocomposites.
357 coercion sl2l_ nocomposites.
358
359 lemma h_segment_preserves_supremum:
360   ∀O:half_ordered_set.∀s:segment O.
361    ∀a:sequence (half_segment_ordered_set ? s).
362     ∀x:half_segment_ordered_set ? s. 
363       increasing ? ⌊n,\fst (a n)⌋ ∧ 
364       supremum ? ⌊n,\fst (a n)⌋ (\fst x) → uparrow ? a x.
365 intros; split; cases H; clear H; 
366 [1: intro n; lapply (H1 n) as K; clear H1 H2;
367     intro; apply K; clear K; apply rule H; 
368 |2: cases H2; split; clear H2;
369     [1: intro n; lapply (H n) as K; intro W; apply K;
370         apply rule W;
371     |2: clear H1 H; intros (y0 Hy0); cases (H3 (\fst y0));[exists[apply w]]
372         [1: change in H with (\fst (a w) ≰≰ \fst y0); apply rule H;
373         |2: apply rule Hy0;]]]
374 qed.
375
376 notation "'segment_preserves_supremum'" non associative with precedence 90 for @{'segment_preserves_supremum}.
377 notation "'segment_preserves_infimum'" non associative with precedence 90 for @{'segment_preserves_infimum}.
378
379 interpretation "segment_preserves_supremum" 'segment_preserves_supremum = (h_segment_preserves_supremum (os_l _)).
380 interpretation "segment_preserves_infimum" 'segment_preserves_infimum = (h_segment_preserves_supremum (os_r _)).
381
382 (*
383 test segment_preserves_infimum2:
384   ∀O:ordered_set.∀s:‡O.∀a:sequence {[s]}.∀x:{[s]}. 
385     ⌊n,\fst (a n)⌋ is_decreasing ∧ 
386     (\fst x) is_infimum ⌊n,\fst (a n)⌋ → a ↓ x.
387 intros; apply (segment_preserves_infimum s a x H);
388 qed.
389 *)
390        
391 (* Definition 2.10 *)
392
393 alias symbol "pi2" = "pair pi2".
394 alias symbol "pi1" = "pair pi1".
395 (*
396 definition square_segment ≝ 
397   λO:half_ordered_set.λs:segment O.λx: square_half_ordered_set O.
398     in_segment ? s (\fst x) ∧ in_segment ? s (\snd x).
399 *) 
400 definition convex ≝
401   λO:half_ordered_set.λU:square_half_ordered_set O → Prop.
402     ∀s.U s → le O (\fst s) (\snd s) → 
403      ∀y. 
404        le O (\fst y) (\snd s) → 
405        le O (\fst s) (\fst y) →
406        le O (\snd y) (\snd s) →
407        le O (\fst y) (\snd y) →
408        U y.
409   
410 (* Definition 2.11 *)  
411 definition upper_located ≝
412   λO:half_ordered_set.λa:sequence O.∀x,y:O. y ≰≰ x → 
413     (∃i:nat.a i ≰≰ x) ∨ (∃b:O.y ≰≰ b ∧ ∀i:nat.a i ≤≤ b).
414
415 notation < "s \nbsp 'is_upper_located'" non associative with precedence 45 
416   for @{'upper_located $s}.
417 notation > "s 'is_upper_located'" non associative with precedence 45 
418   for @{'upper_located $s}.
419 interpretation "Ordered set upper locatedness" 'upper_located s = 
420   (upper_located (os_l _) s).
421
422 notation < "s \nbsp 'is_lower_located'" non associative with precedence 45 
423   for @{'lower_located $s}.
424 notation > "s 'is_lower_located'" non associative with precedence 45
425   for @{'lower_located $s}.
426 interpretation "Ordered set lower locatedness" 'lower_located s = 
427   (upper_located (os_r _) s).
428       
429 (* Lemma 2.12 *)    
430 lemma h_uparrow_upperlocated:
431   ∀C:half_ordered_set.∀a:sequence C.∀u:C.uparrow ? a u → upper_located ? a.
432 intros (C a u H); cases H (H2 H3); clear H; intros 3 (x y Hxy);
433 cases H3 (H4 H5); clear H3; cases (hos_cotransitive C y x u Hxy) (W W);
434 [2: cases (H5 x W) (w Hw); left; exists [apply w] assumption;
435 |1: right; exists [apply u]; split; [apply W|apply H4]]
436 qed.
437
438 notation "'uparrow_upperlocated'" non associative with precedence 90 for @{'uparrow_upperlocated}.
439 notation "'downarrow_lowerlocated'" non associative with precedence 90 for @{'downarrow_lowerlocated}.
440
441 interpretation "uparrow_upperlocated" 'uparrow_upperlocated = (h_uparrow_upperlocated (os_l _)).
442 interpretation "downarrow_lowerlocated" 'downarrow_lowerlocated = (h_uparrow_upperlocated (os_r _)).