helm/software/matita/library/datatypes/bool.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "logic/equality.ma".
  16 include "higher_order_defs/functions.ma".
  17
  18 inductive bool : Set \def
  19   | true : bool
  20   | false : bool.
  21
  22 theorem bool_elim: \forall P:bool \to Prop. \forall b:bool.
  23   (b = true \to P true)
  24   \to (b = false \to P false)
  25   \to P b.
  26   intros 2 (P b).
  27   elim b;
  28   [ apply H; reflexivity
  29   | apply H1; reflexivity
  30   ]
  31 qed.
  32
  33 theorem not_eq_true_false : true \neq false.
  34 unfold Not.intro.
  35 change with
  36 match true with
  37 [ true \Rightarrow False
  38 | false \Rightarrow True].
  39 rewrite > H.simplify.exact I.
  40 qed.
  41
  42 definition notb : bool \to bool \def
  43 \lambda b:bool.
  44  match b with
  45  [ true \Rightarrow false
  46  | false \Rightarrow true ].
  47
  48 theorem notb_elim: \forall b:bool.\forall P:bool \to Prop.
  49 match b with
  50 [ true \Rightarrow P false
  51 | false \Rightarrow P true] \to P (notb b).
  52 intros 2.elim b.exact H. exact H.
  53 qed.
  54
  55 theorem notb_notb: \forall b:bool. notb (notb b) = b.
  56 intros.
  57 elim b;reflexivity.
  58 qed.
  59
  60 theorem injective_notb: injective bool bool notb.
  61 unfold injective.
  62 intros.
  63 rewrite < notb_notb.
  64 rewrite < (notb_notb y).
  65 apply eq_f.
  66 assumption.
  67 qed.
  68
  69 interpretation "boolean not" 'not x = (notb x).
  70
  71 definition andb : bool \to bool \to bool\def
  72 \lambda b1,b2:bool.
  73  match b1 with
  74  [ true \Rightarrow b2
  75  | false \Rightarrow false ].
  76
  77 interpretation "boolean and" 'and x y = (andb x y).
  78
  79 theorem andb_elim: \forall b1,b2:bool. \forall P:bool \to Prop.
  80 match b1 with
  81 [ true \Rightarrow P b2
  82 | false \Rightarrow P false] \to P (b1 \land b2).
  83 intros 3.elim b1.exact H. exact H.
  84 qed.
  85
  86 theorem and_true: \forall a,b:bool.
  87 andb a b =true \to a =true \land b= true.
  88 intro.elim a
  89   [split
  90     [reflexivity|assumption]
  91   |apply False_ind.
  92    apply not_eq_true_false.
  93    apply sym_eq.
  94    assumption
  95   ]
  96 qed.
  97
  98 theorem andb_true_true: \forall b1,b2. (b1 \land b2) = true \to b1 = true.
  99 intro. elim b1.
 100 reflexivity.
 101 assumption.
 102 qed.
 103
 104 theorem andb_true_true_r: \forall b1,b2. (b1 \land b2) = true \to b2 = true.
 105 intro. elim b1
 106   [assumption
 107   |apply False_ind.apply not_eq_true_false.
 108    apply sym_eq.assumption
 109   ]
 110 qed.
 111
 112 definition orb : bool \to bool \to bool\def
 113 \lambda b1,b2:bool.
 114  match b1 with
 115  [ true \Rightarrow true
 116  | false \Rightarrow b2].
 117
 118 theorem orb_elim: \forall b1,b2:bool. \forall P:bool \to Prop.
 119 match b1 with
 120 [ true \Rightarrow P true
 121 | false \Rightarrow P b2] \to P (orb b1 b2).
 122 intros 3.elim b1.exact H. exact H.
 123 qed.
 124
 125 interpretation "boolean or" 'or x y = (orb x y).
 126
 127 definition if_then_else : bool \to Prop \to Prop \to Prop \def
 128 \lambda b:bool.\lambda P,Q:Prop.
 129 match b with
 130 [ true \Rightarrow P
 131 | false  \Rightarrow Q].
 132
 133 (*CSC: missing notation for if_then_else *)
 134
 135 theorem bool_to_decidable_eq:
 136  \forall b1,b2:bool. decidable (b1=b2).
 137  intros.
 138  unfold decidable.
 139  elim b1.
 140   elim b2.
 141    left. reflexivity.
 142    right. exact not_eq_true_false.
 143   elim b2.
 144    right. unfold Not. intro.
 145    apply not_eq_true_false.
 146    symmetry. exact H.
 147    left. reflexivity.
 148 qed.
 149
 150 theorem P_x_to_P_x_to_eq:
 151  \forall A:Set. \forall P: A \to bool.
 152   \forall x:A. \forall p1,p2:P x = true. p1 = p2.
 153  intros.
 154  apply eq_to_eq_to_eq_p_q.
 155  exact bool_to_decidable_eq.
 156 qed.
 157
 158
 159 (* some basic properties of and - or*)
 160 theorem andb_sym: \forall A,B:bool.
 161 (A \land B) = (B \land A).
 162 intros.
 163 elim A;
 164   elim B;
 165     simplify;
 166     reflexivity.
 167 qed.
 168
 169 theorem andb_assoc: \forall A,B,C:bool.
 170 (A \land (B \land C)) = ((A \land B) \land C).
 171 intros.
 172 elim A;
 173   elim B;
 174     elim C;
 175       simplify;
 176       reflexivity.
 177 qed.
 178
 179 theorem orb_sym: \forall A,B:bool.
 180 (A \lor B) = (B \lor A).
 181 intros.
 182 elim A;
 183   elim B;
 184     simplify;
 185     reflexivity.
 186 qed.
 187
 188 theorem true_to_true_to_andb_true: \forall A,B:bool.
 189 A = true \to B = true \to (A \land B) = true.
 190 intros.
 191 rewrite > H.
 192 rewrite > H1.
 193 reflexivity.
 194 qed.