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An unimplemented case of clearbody is now implemented.
[helm.git] / helm / software / matita / library / demo / power_derivative.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                              *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15 set "baseuri" "cic:/matita/demo/power_derivative".
16
17 include "nat/plus.ma".
18 include "nat/orders.ma".
19 include "nat/compare.ma".
20
21 axiom R: Type.
22 axiom R0: R.
23 axiom R1: R.
24 axiom Rplus: R→R→R.
25 axiom Rmult: R→R→R.
26
27 notation "0" with precedence 89
28 for @{ 'zero }.
29 interpretation "Rzero" 'zero =
30  (cic:/matita/demo/power_derivative/R0.con).
31 interpretation "Nzero" 'zero =
32  (cic:/matita/nat/nat/nat.ind#xpointer(1/1/1)).
33
34 notation "1" with precedence 89
35 for @{ 'one }.
36 interpretation "Rone" 'one =
37  (cic:/matita/demo/power_derivative/R1.con).
38 interpretation "None" 'one =
39  (cic:/matita/nat/nat/nat.ind#xpointer(1/1/2)
40    cic:/matita/nat/nat/nat.ind#xpointer(1/1/1)).
41
42 interpretation "Rplus" 'plus x y =
43  (cic:/matita/demo/power_derivative/Rplus.con x y).
44
45 notation "hvbox(a break \middot b)" 
46   left associative with precedence 55
47 for @{ 'times $a $b }.
48
49 interpretation "Rmult" 'times x y =
50  (cic:/matita/demo/power_derivative/Rmult.con x y).
51
52 definition Fplus ≝
53  λf,g:R→R.λx:R.f x + g x.
54  
55 definition Fmult ≝
56  λf,g:R→R.λx:R.f x · g x.
57
58 interpretation "Fplus" 'plus x y =
59  (cic:/matita/demo/power_derivative/Fplus.con x y).
60 interpretation "Fmult" 'times x y =
61  (cic:/matita/demo/power_derivative/Fmult.con x y).
62
63 notation "2" with precedence 89
64 for @{ 'two }.
65 interpretation "Rtwo" 'two =
66  (cic:/matita/demo/power_derivative/Rplus.con
67    cic:/matita/demo/power_derivative/R1.con
68    cic:/matita/demo/power_derivative/R1.con).
69 interpretation "Ntwo" 'two =
70  (cic:/matita/nat/nat/nat.ind#xpointer(1/1/2)
71    (cic:/matita/nat/nat/nat.ind#xpointer(1/1/2)
72      (cic:/matita/nat/nat/nat.ind#xpointer(1/1/1)))).
73
74 let rec Rpower (x:R) (n:nat) on n ≝
75  match n with
76   [ O ⇒ 1
77   | S n ⇒ x · (Rpower x n)
78   ].
79
80 interpretation "Rpower" 'exp x n =
81  (cic:/matita/demo/power_derivative/Rpower.con x n).
82
83 let rec inj (n:nat) on n : R ≝
84  match n with
85   [ O ⇒ 0
86   | S n ⇒
87      match n with
88       [ O ⇒ 1
89       | S m ⇒ 1 + inj n
90       ]
91   ].
92
93 coercion cic:/matita/demo/power_derivative/inj.con.
94
95 axiom Rplus_Rzero_x: ∀x:R.0+x=x.
96 axiom Rplus_comm: symmetric ? Rplus.
97 axiom Rplus_assoc: associative ? Rplus.
98 axiom Rmult_Rone_x: ∀x:R.1*x=x.
99 axiom Rmult_Rzero_x: ∀x:R.0*x=0.
100 axiom Rmult_assoc: associative ? Rmult.
101 axiom Rmult_comm: symmetric ? Rmult.
102 axiom Rmult_Rplus_distr: distributive ? Rmult Rplus.
103
104 alias symbol "times" = "Rmult".
105 alias symbol "plus" = "natural plus".
106
107 definition monomio ≝
108  λn.λx:R.x\sup n.
109
110 definition costante : nat → R → R ≝
111  λa:nat.λx:R.inj a.
112
113 coercion cic:/matita/demo/power_derivative/costante.con 1.
114
115 axiom f_eq_extensional:
116  ∀f,g:R→R.(∀x:R.f x = g x) → f=g.
117
118 lemma Fmult_one_f: ∀f:R→R.1·f=f.
119  intro;
120  unfold Fmult;
121  simplify;
122  apply f_eq_extensional;
123  intro;
124  autobatch.
125 qed.
126
127 lemma Fmult_zero_f: ∀f:R→R.0·f=0.
128  intro;
129  unfold Fmult;
130  simplify;
131  apply f_eq_extensional;
132  intro;
133  autobatch.
134 qed.
135
136 lemma Fmult_commutative: symmetric ? Fmult.
137  unfold;
138  intros;
139  unfold Fmult;
140  apply f_eq_extensional;
141  intros;
142  autobatch.
143 qed.
144
145 lemma Fmult_associative: associative ? Fmult.
146  unfold;
147  intros;
148  unfold Fmult;
149  unfold Fmult;
150  apply f_eq_extensional;
151  intros;
152  autobatch.
153 qed.
154
155 lemma Fmult_Fplus_distr: distributive ? Fmult Fplus.
156  unfold;
157  intros;
158  unfold Fmult;
159  unfold Fplus;
160  apply f_eq_extensional;
161  intros;
162  simplify;
163  autobatch.
164 qed.
165
166 lemma monomio_product:
167  ∀n,m.monomio (n+m) = monomio n · monomio m.
168  intros;
169  unfold monomio;
170  unfold Fmult;
171  simplify;
172  elim n;
173   [ simplify;
174     apply f_eq_extensional;
175     intro;
176     autobatch
177   | simplify;
178     apply f_eq_extensional;
179     intro;
180     cut (x\sup (n1+m) = x \sup n1 · x \sup m);
181      [ rewrite > Hcut;
182        autobatch
183      | change in ⊢ (? ? % ?) with ((λx:R.x\sup(n1+m)) x);
184        rewrite > H;
185        reflexivity
186      ]
187   ].
188 qed.
189
190 lemma costante_sum:
191  ∀n,m.costante n + costante m = costante (n+m).
192  intros;
193  unfold Fplus;
194  unfold costante;
195  apply f_eq_extensional;
196  intros;
197  elim n;
198   [ simplify;
199     autobatch
200   | simplify;
201     clear x;
202     clear H;
203     clear n;
204     elim n1;
205      [ simplify;
206        elim m;
207         [ simplify;
208           autobatch
209         | simplify;
210           rewrite < H;
211           autobatch
212         ]
213      | simplify;
214        rewrite < H;
215        clear H;
216        elim n;
217         [ simplify;
218           autobatch
219         | simplify;
220           autobatch
221         ]
222      ]
223    ].
224 qed.
225
226 axiom derivative: (R→R) → R → R.
227
228 notation "hvbox('D'[f])"
229   non associative with precedence 90
230 for @{ 'derivative $f }.
231
232 interpretation "Rderivative" 'derivative f =
233  (cic:/matita/demo/power_derivative/derivative.con f).
234
235 notation "hvbox('x' \sup n)"
236   non associative with precedence 60
237 for @{ 'monomio $n }.
238
239 notation "hvbox('x')"
240   non associative with precedence 60
241 for @{ 'monomio 1 }.
242
243 interpretation "Rmonomio" 'monomio n =
244  (cic:/matita/demo/power_derivative/monomio.con n).
245
246 axiom derivative_x0: D[x \sup 0] = 0.
247 axiom derivative_x1: D[x] = 1.
248 axiom derivative_mult: ∀f,g:R→R. D[f·g] = D[f]·g + f·D[g].
249
250 alias symbol "times" = "Fmult".
251
252 theorem derivative_power: ∀n:nat. D[x \sup n] = n·x \sup (pred n).
253  assume n:nat.
254  (*we proceed by induction on n to prove
255  (D[x \sup n] = n · x \sup (pred n)).*)
256  elim n 0.
257  case O.
258    the thesis becomes (D[x \sup 0] = 0·x \sup (pred 0)).
259    by _
260   done.
261  case S (m:nat).
262   by induction hypothesis we know
263    (D[x \sup m] = m·x \sup (pred m)) (H).
264   the thesis becomes
265    (D[x \sup (1+m)] = (1+m) · x \sup m).
266   we need to prove
267    (m · (x \sup (1+ pred m)) = m · x \sup m) (Ppred).
268    by _ we proved (0 < m ∨ 0=m) (cases).
269    we proceed by induction on cases
270    to prove (m · (x \sup (1+ pred m)) = m · x \sup m).
271     case left.
272       suppose (0 < m) (m_pos).
273       by (S_pred m m_pos) we proved (m = 1 + pred m) (H1).
274       by _
275      done.
276     case right.
277       suppose (0=m) (m_zero). by _ done.
278   conclude
279      (D[x \sup (1+m)])
280    = (D[x · x \sup m]) by _.
281    = (D[x] · x \sup m + x · D[x \sup m]) by _.
282    = (x \sup m + x · (m · x \sup (pred m))) by _.
283 clear H.
284    = (x \sup m + m · (x \sup (1 + pred m))) by _.
285    = (x \sup m + m · x \sup m) by _.
286    = ((1+m) · x \sup m) by _ (timeout=120)
287   done.
288 qed.
289
290 (*
291 notation "hvbox(\frac 'd' ('d' ident i) break p)"
292   right associative with precedence 90
293 for @{ 'derivative ${default
294   @{\lambda ${ident i} : $ty. $p)}
295   @{\lambda ${ident i} . $p}}}.
296
297 interpretation "Rderivative" 'derivative \eta.f =
298  (cic:/matita/demo/power_derivative/derivative.con f).
299 *)
300
301 notation "hvbox(\frac 'd' ('d' 'x') break p)"
302   right associative with precedence 90
303 for @{ 'derivative $p}.
304
305 interpretation "Rderivative" 'derivative f =
306  (cic:/matita/demo/power_derivative/derivative.con f).
307
308 theorem derivative_power': ∀n:nat. D[x \sup (1+n)] = (1+n) · x \sup n.
309  assume n:nat.
310  (*we proceed by induction on n to prove
311  (D[x \sup (1+n)] = (1+n) · x \sup n).*) elim n 0.
312  case O.
313    the thesis becomes (D[x \sup 1] = 1 · x \sup 0).
314    by _
315   done.
316  case S (m:nat).
317   by induction hypothesis we know
318    (D[x \sup (1+m)] = (1+m) · x \sup m) (H).
319   the thesis becomes
320    (D[x \sup (2+m)] = (2+m) · x \sup (1+m)).
321   conclude
322      (D[x \sup (2+m)])
323    = (D[x · x \sup (1+m)]) by _.
324    = (D[x] · x \sup (1+m) + x · D[x \sup (1+m)]) by _.
325    = (x \sup (1+m) + x · (costante (1+m) · x \sup m)) by _.
326 clear H.
327    = (x \sup (1+m) + costante (1+m) · x \sup (1+m)) by _.
328    = (x \sup (1+m) · (costante (2 + m))) by _
329   done.
330 qed.