1 (**************************************************************************)
4 (* ||A|| A project by Andrea Asperti *)
6 (* ||I|| Developers: *)
7 (* ||T|| A.Asperti, C.Sacerdoti Coen, *)
8 (* ||A|| E.Tassi, S.Zacchiroli *)
10 (* \ / This file is distributed under the terms of the *)
11 (* v GNU Lesser General Public License Version 2.1 *)
13 (**************************************************************************)
18 Compilare i seguenti campi:
30 Prima di abbandonare la postazione:
32 * salvare il file (menu `File ▹ Save as ...`) nella directory (cartella)
33 /public/ con nome linguaggi_Account1.ma, ad esempio Mario Rossi, il cui
34 account è mrossi, deve salvare il file in /public/linguaggi_mrossi.ma
36 * mandatevi via email o stampate il file. Per stampare potete usare
37 usare l'editor gedit che offre la funzionalità di stampa
45 Il teorema di dualizzazione dice che date due formule `F1` ed `F2`,
46 se le due formule sono equivalenti (`F1 ≡ F2`) allora anche le
47 loro dualizzate lo sono (`dualize F1 ≡ dualize F2`).
49 L'ingrediente principale è la funzione di dualizzazione di una formula `F`:
51 * Scambia FTop con FBot e viceversa
53 * Scambia il connettivo FAnd con FOr e viceversa
55 * Sostituisce il connettivo FImpl con FAnd e nega la
58 Ad esempio la formula `A → (B ∧ ⊥)` viene dualizzata in
61 Per dimostrare il teorema di dualizzazione in modo agevole è necessario
62 definire altre nozioni:
64 * La funzione `negate` che presa una formula `F` ne nega gli atomi.
65 Ad esempio la formula `(A ∨ (⊤ → B))` deve diventare `¬A ∨ (⊤ → ¬B)`.
67 * La funzione `invert` permette di invertire un mondo `v`.
68 Ovvero, per ogni indice di atomo `i`, se `v i` restituisce
69 `1` allora `(invert v) i` restituisce `0` e viceversa.
76 Non modificare quanto segue
78 include "nat/minus.ma".
79 definition if_then_else ≝ λT:Type.λe,t,f.match e return λ_.T with [ true ⇒ t | false ⇒ f].
80 notation > "'if' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 90 f" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
81 notation < "'if' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
82 interpretation "Formula if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else _ e t f).
83 definition max ≝ λn,m. if eqb (n - m) 0 then m else n.
84 definition min ≝ λn,m. if eqb (n - m) 0 then n else m.
89 Il linguaggio delle formule, dove gli atomi sono
90 rapperesentati da un numero naturale
92 inductive Formula : Type ≝
95 | FAtom: nat → Formula
96 | FAnd: Formula → Formula → Formula
97 | FOr: Formula → Formula → Formula
98 | FImpl: Formula → Formula → Formula
99 | FNot: Formula → Formula
105 Modificare la funzione `sem` scritta nella precedente
106 esercitazione in modo che valga solo 0 oppure 1 nel caso degli
107 atomi, anche nel caso in cui il mondo `v` restituisca un numero
110 Suggerimento: non è necessario usare il costrutto if_then_else
111 e tantomento il predicato di maggiore o uguale. È invece possibile
112 usare la funzione `min`.
114 let rec sem (v: nat → nat) (F: Formula) on F : nat ≝
118 | FAtom n ⇒ (*BEGIN*)min (v n) 1(*END*)
119 | FAnd F1 F2 ⇒ min (sem v F1) (sem v F2)
120 | FOr F1 F2 ⇒ max (sem v F1) (sem v F2)
121 | FImpl F1 F2 ⇒ max (1 - sem v F1) (sem v F2)
122 | FNot F1 ⇒ 1 - (sem v F1)
129 Non modificare quanto segue.
131 notation < "[[ \nbsp term 19 a \nbsp ]] \nbsp \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
132 notation > "[[ term 19 a ]] \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
133 notation > "[[ term 19 a ]]_ term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ sem $v $a }.
134 interpretation "Semantic of Formula" 'semantics v a = (sem v a).
138 else if eqb x 1 then 1
144 La semantica della formula `(A ∨ C)` nel mondo `v20` in cui
145 `A` vale `2` e `C` vale `0` deve valere `1`.
147 Decommenta ed esegui.
150 (* eval normalize on [[FOr (FAtom 0) (FAtom 2)]]_v20. *)
154 La libreria di Matita
155 =====================
157 Gli strumenti per la dimostrazione assistita sono corredati da
158 librerie di teoremi già dimostrati. Per portare a termine l'esercitazione
159 sono necessari i seguenti lemmi:
161 * lemma `sem_le_1` : `∀F,v. [[ F ]]_v ≤ 1`
162 * lemma `min_1_1` : `∀x. x ≤ 1 → 1 - (1 - x) = x`
163 * lemma `min_bool` : `∀n. min n 1 = 0 ∨ min n 1 = 1`
164 * lemma `min_max` : `∀F,G,v.min (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - max [[F]]_v [[G]]_v`
165 * lemma `max_min` : `∀F,G,v.max (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - min [[F]]_v [[G]]_v`
166 * lemma `equiv_rewrite` : `∀F1,F2,F3. F1 ≡ F2 → F1 ≡ F3 → F2 ≡ F3`
173 Non modificare quanto segue.
175 lemma sem_bool : ∀F,v. [[ F ]]_v = 0 ∨ [[ F ]]_v = 1. intros; elim F; simplify; [left;reflexivity; |right;reflexivity; |cases (v n);[left;|cases n1;right;]reflexivity; |4,5,6: cases H; cases H1; rewrite > H2; rewrite > H3; simplify; first [ left;reflexivity | right; reflexivity ]. |cases H; rewrite > H1; simplify;[right|left]reflexivity;] qed.
176 lemma min_bool : ∀n. min n 1 = 0 ∨ min n 1 = 1. intros; cases n; [left;reflexivity] cases n1; right; reflexivity; qed.
177 lemma min_max : ∀F,G,v. min (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - max [[F]]_v [[G]]_v. intros; cases (sem_bool F v);cases (sem_bool G v); rewrite > H; rewrite >H1; simplify; reflexivity; qed.
178 lemma max_min : ∀F,G,v. max (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - min [[F]]_v [[G]]_v. intros; cases (sem_bool F v);cases (sem_bool G v); rewrite > H; rewrite >H1; simplify; reflexivity; qed.
179 lemma min_1_1 : ∀x.x ≤ 1 → 1 - (1 - x) = x. intros; inversion H; intros; destruct; [reflexivity;] rewrite < (le_n_O_to_eq ? H1); reflexivity;qed.
180 lemma sem_le_1 : ∀F,v.[[F]]_v ≤ 1. intros; cases (sem_bool F v); rewrite > H; [apply le_O_n|apply le_n]qed.
185 Definire per ricorsione strutturale la funzione `negate`
186 che presa una formula `F` ne nega gli atomi.
188 Ad esempio la formula `(A ∨ (⊤ → B))` deve diventare
191 let rec negate (F: Formula) on F : Formula ≝
193 [ (*BEGIN*)FBot ⇒ FBot
195 | FAtom n ⇒ FNot (FAtom n)
196 | FAnd F1 F2 ⇒ FAnd (negate F1) (negate F2)
197 | FOr F1 F2 ⇒ FOr (negate F1) (negate F2)
198 | FImpl F1 F2 ⇒ FImpl (negate F1) (negate F2)
199 | FNot F ⇒ FNot (negate F)(*END*)
205 Testare la funzione `negate`. Il risultato atteso è:
207 FOr (FNot (FAtom O)) (FImpl FTop (FNot (FAtom 1)))
212 (* eval normalize on (negate (FOr (FAtom 0) (FImpl FTop (FAtom 1)))). *)
217 Non modificare quanto segue
219 definition equiv ≝ λF1,F2. ∀v.[[ F1 ]]_v = [[ F2 ]]_v.
220 notation "hvbox(a \nbsp break mstyle color #0000ff (≡) \nbsp b)" non associative with precedence 45 for @{ 'equivF $a $b }.
221 notation > "a ≡ b" non associative with precedence 50 for @{ equiv $a $b }.
222 interpretation "equivalence for Formulas" 'equivF a b = (equiv a b).
223 lemma equiv_rewrite : ∀F1,F2,F3. F1 ≡ F2 → F1 ≡ F3 → F2 ≡ F3. intros; intro; autobatch. qed.
228 Definire per ricorsione strutturale la funzione di
229 dualizzazione di una formula `F`. Tale funzione:
231 * Scambia FTop con FBot e viceversa
233 * Scambia il connettivo FAnd con FOr e viceversa
235 * Sostituisce il connettivo FImpl con FAnd e nega la
236 prima sottoformula. Il razionale è che `FImpl A B`
237 è semanticamente equivalente a `FOr (FNot A) B` il
238 cui duale è `FAnd (FNot A) B`.
240 Ad esempio la formula `A → (B ∧ ⊥)` viene dualizzata in
243 let rec dualize (F : Formula) on F : Formula ≝
245 [ (*BEGIN*)FBot ⇒ FTop
248 | FAnd F1 F2 ⇒ FOr (dualize F1) (dualize F2)
249 | FOr F1 F2 ⇒ FAnd (dualize F1) (dualize F2)
250 | FImpl F1 F2 ⇒ FAnd (FNot (dualize F1)) (dualize F2)
251 | FNot F ⇒ FNot (dualize F)(*END*)
257 Testare la funzione `dualize`. Il risultato atteso è:
259 FAnd (FNot (FAtom O)) (FOr (FAtom 1) FTop)
261 Decommenta ed esegui.
264 (* eval normalize on (dualize (FImpl (FAtom 0) (FAnd (FAtom 1) FBot))). *)
269 La funzione `invert` permette di invertire un mondo `v`.
270 Ovvero, per ogni indice di atomo `i`, se `v i` restituisce
271 `1` allora `(invert v) i` restituisce `0` e viceversa.
275 λv:ℕ → ℕ. λx. if eqb (min (v x) 1) 0 then 1 else 0.
277 interpretation "Inversione del mondo" 'invert v = (invert v).
281 Il linguaggio di dimostrazione di Matita
282 ========================================
284 Per dimostrare il lemma `negate_invert` in modo agevole è necessario
285 utilizzare il seguente comando:
287 * by H1, H2 we proved P (H)
289 Il comando `by ... we proved` visto nella scorsa esercitazione
290 permette di utilizzare più ipotesi o lemmi alla volta
291 separandoli con una virgola.
298 Dimostrare il lemma `negate_invert` che asserisce che
299 la semantica in un mondo `v` associato alla formula
300 negata di `F` e uguale alla semantica associata
301 a `F` in un mondo invertito.
304 ∀F:Formula.∀v:ℕ→ℕ.[[ negate F ]]_v=[[ F ]]_(invert v).
307 we proceed by induction on F to prove ([[ negate F ]]_v=[[ F ]]_(invert v)).
310 the thesis becomes ([[ negate FBot ]]_v=[[ FBot ]]_(invert v)).
315 the thesis becomes ([[ negate FTop ]]_v=[[ FTop ]]_(invert v)).
320 the thesis becomes ((*BEGIN*)[[ negate (FAtom n) ]]_v=[[ FAtom n ]]_(invert v)(*END*)).
321 the thesis becomes ((*BEGIN*)1 - (min (v n) 1)= min (invert v n) 1(*END*)).
322 the thesis becomes (1 - (min (v n) 1)= min (if eqb (min (v n) 1) 0 then 1 else 0) 1).
323 by min_bool we proved (min (v n) 1 = 0 ∨ min (v n) 1 = 1) (H1);
324 we proceed by cases on (H1) to prove (1 - (min (v n) 1)= min (if eqb (min (v n) 1) 0 then 1 else 0) 1).
331 = (min (if true then 1 else O) 1).
332 = (min (if eqb 0 0 then 1 else O) 1).
333 = (min (if eqb (min (v n) 1) O then 1 else O) 1) by H.
342 = (min (if eqb 1 0 then 1 else O) 1).
343 = (min (if eqb (min (v n) 1) O then 1 else O) 1) by H.
348 by induction hypothesis we know
349 ((*BEGIN*)[[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)(*END*)) (H).
351 by induction hypothesis we know
352 ((*BEGIN*)[[ negate f1 ]]_v=[[ f1 ]]_(invert v)(*END*)) (H1).
354 ([[ negate (FAnd f f1) ]]_v=[[ FAnd f f1 ]]_(invert v)).
356 (min [[ negate f ]]_v [[ negate f1]]_v = [[ FAnd f f1 ]]_(invert v)).
358 (min [[ negate f ]]_v [[ negate f1]]_v)
359 = (min [[ f ]]_(invert v) [[ negate f1]]_v) by (*BEGIN*)H(*END*).
360 = (min [[ f ]]_(invert v) [[ f1]]_(invert v)) by (*BEGIN*)H1(*END*).
365 by induction hypothesis we know
366 ([[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)) (H).
368 by induction hypothesis we know
369 ([[ negate f1 ]]_v=[[ f1 ]]_(invert v)) (H1).
371 ([[ negate (FOr f f1) ]]_v=[[ FOr f f1 ]]_(invert v)).
373 (max [[ negate f ]]_v [[ negate f1]]_v = [[ FOr f f1 ]]_(invert v)).
375 (max [[ negate f ]]_v [[ negate f1]]_v)
376 = (max [[ f ]]_(invert v) [[ negate f1]]_v) by H.
377 = (max [[ f ]]_(invert v) [[ f1]]_(invert v)) by H1.
383 by induction hypothesis we know
384 ([[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)) (H).
386 by induction hypothesis we know
387 ([[ negate f1 ]]_v=[[ f1 ]]_(invert v)) (H1).
389 ([[ negate (FImpl f f1) ]]_v=[[ FImpl f f1 ]]_(invert v)).
391 (max (1 - [[ negate f ]]_v) [[ negate f1]]_v = [[ FImpl f f1 ]]_(invert v)).
393 (max (1 - [[ negate f ]]_v) [[ negate f1]]_v)
394 = (max (1 - [[ f ]]_(invert v)) [[ negate f1]]_v) by H.
395 = (max (1 - [[ f ]]_(invert v)) [[ f1]]_(invert v)) by H1.
401 by induction hypothesis we know
402 ([[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)) (H).
404 ([[ negate (FNot f) ]]_v=[[ FNot f ]]_(invert v)).
406 (1 - [[ negate f ]]_v=[[ FNot f ]]_(invert v)).
407 conclude (1 - [[ negate f ]]_v) = (1 - [[f]]_(invert v)) by H.
415 Dimostrare che la funzione negate rispetta l'equivalenza.
418 ∀F:Formula.∀G:Formula.F ≡ G → negate F ≡ negate G.
419 assume (*BEGIN*)F:Formula(*END*).
420 assume (*BEGIN*)G:Formula(*END*).
421 suppose (*BEGIN*)(F ≡ G) (H)(*END*).
422 the thesis becomes (*BEGIN*)(negate F ≡ negate G)(*END*).
423 the thesis becomes (*BEGIN*)(∀v:ℕ→ℕ.[[ negate F ]]_v=[[ negate G ]]_v)(*END*).
427 = [[ F ]]_(invert v) by (*BEGIN*)negate_invert(*END*).
428 = [[ G ]]_((*BEGIN*)invert v(*BEGIN*)) by (*BEGIN*)H(*BEGIN*).
429 = [[ negate G ]]_(*BEGIN*)v(*BEGIN*) by (*BEGIN*)negate_invert(*END*).
436 Dimostrare che per ogni formula `F`, `(negate F)` equivale a
437 dualizzarla e negarla.
439 lemma not_dualize_eq_negate:
440 ∀F:Formula.negate F ≡ FNot (dualize F).
443 the thesis becomes (∀v:ℕ→ℕ.[[negate F]]_v=[[FNot (dualize F)]]_v).
446 we proceed by induction on F to prove ([[negate F]]_v=[[FNot (dualize F)]]_v).
449 the thesis becomes ([[ negate FBot ]]_v=[[ FNot (dualize FBot) ]]_v).
454 the thesis becomes ([[ negate FTop ]]_v=[[ FNot (dualize FTop) ]]_v).
460 the thesis becomes ([[ negate (FAtom n) ]]_v=[[ FNot (dualize (FAtom n)) ]]_v).
465 by induction hypothesis we know
466 ([[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize f) ]]_v) (H).
468 by induction hypothesis we know
469 ([[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize f1) ]]_v) (H1).
471 ([[ negate (FAnd f f1) ]]_v=[[ FNot (dualize (FAnd f f1)) ]]_v).
473 (min [[ negate f ]]_v [[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize (FAnd f f1)) ]]_v).
475 (min (*BEGIN*)[[ negate f ]]_v(*END*) (*BEGIN*)[[ negate f1 ]]_v(*END*))
476 = (min (*BEGIN*)[[ FNot (dualize f) ]]_v(*END*) (*BEGIN*)[[ negate f1 ]]_v(*END*)) by H.
477 = (min (*BEGIN*)[[ FNot (dualize f) ]]_v(*END*) (*BEGIN*)[[ FNot (dualize f1) ]]_v(*END*)) by H1.
478 = (min (1 - [[ dualize f ]]_v) (1 - [[ dualize f1 ]]_v)).
479 = (1 - (max [[ dualize f ]]_v [[ dualize f1 ]]_v)) by min_max.
484 by induction hypothesis we know
485 ([[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize f) ]]_v) (H).
487 by induction hypothesis we know
488 ([[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize f1) ]]_v) (H1).
490 ([[ negate (FOr f f1) ]]_v=[[ FNot (dualize (FOr f f1)) ]]_v).
492 (max [[ negate f ]]_v [[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize (FOr f f1)) ]]_v).
494 (max [[ negate f ]]_v [[ negate f1 ]]_v)
495 = (max [[ FNot (dualize f) ]]_v [[ negate f1 ]]_v) by H.
496 = (max [[ FNot (dualize f) ]]_v [[ FNot (dualize f1) ]]_v) by H1.
497 = (max (1 - [[ dualize f ]]_v) (1 - [[ dualize f1 ]]_v)).
498 = (1 - (min [[ dualize f ]]_v [[ dualize f1 ]]_v)) by max_min.
504 by induction hypothesis we know
505 ([[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize f) ]]_v) (H).
507 by induction hypothesis we know
508 ([[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize f1) ]]_v) (H1).
510 ([[ negate (FImpl f f1) ]]_v=[[ FNot (dualize (FImpl f f1)) ]]_v).
512 (max (1 - [[ negate f ]]_v) [[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize (FImpl f f1)) ]]_v).
514 (max (1-[[ negate f ]]_v) [[ negate f1 ]]_v)
515 = (max (1-[[ FNot (dualize f) ]]_v) [[ negate f1 ]]_v) by H.
516 = (max (1-[[ FNot (dualize f) ]]_v) [[ FNot (dualize f1) ]]_v) by H1.
517 = (max (1 - [[ FNot (dualize f) ]]_v) (1 - [[ dualize f1 ]]_v)).
518 = (1 - (min [[ FNot (dualize f) ]]_v [[ dualize f1 ]]_v)) by max_min.
524 by induction hypothesis we know
525 ([[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize f) ]]_v) (H).
527 ([[ negate (FNot f) ]]_v=[[ FNot (dualize (FNot f)) ]]_v).
529 (1 - [[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize (FNot f)) ]]_v).
530 conclude (1 - [[ negate f ]]_v) = (1 - [[ FNot (dualize f) ]]_v) by H.
538 Dimostrare che la negazione è iniettiva
541 ∀F,G:Formula.FNot F ≡ FNot G→F ≡ G.
545 suppose (FNot F ≡ FNot G) (H).
546 the thesis becomes (F ≡ G).
547 the thesis becomes (∀v:ℕ→ℕ.[[ F ]]_v=[[ G ]]_v).
550 by sem_le_1 we proved ([[F]]_v ≤ 1) (H1).
551 by (*BEGIN*)sem_le_1(*END*) we proved ([[G]]_v ≤ 1) (H2).
552 by min_1_1, H1 we proved (1 - (1 - [[F]]_v) = [[F]]_v) (H3).
553 by (*BEGIN*)min_1_1, H2(*END*) we proved ((*BEGIN*)1 - (1 - [[G]]_v)(*END*) = [[G]]_v) (H4).
556 = (1 - (1 - [[F]]_v)) by (*BEGIN*)H3(*END*).
557 = (1 - [[(*BEGIN*)FNot F(*END*)]]_v).
558 = (1 - [[ FNot G]]_v) by H.
559 = (1 - (*BEGIN*)(1 - [[G]]_v)(*END*)).
560 = [[G]]_v by (*BEGIN*)H4(*END*).
566 La prova del teorema di dualità
567 ===============================
569 Il teorema di dualità accennato a lezione dice che se due formule
570 `F1` ed `F2` sono equivalenti, allora anche le formule duali lo sono.
572 ∀F1,F2:Formula. F1 ≡ F2 → dualize F1 ≡ dualize F2.
574 Per dimostrare tale teorema è bene suddividere la prova in lemmi intermedi
576 1. lemma `negate_invert`, dimostrato per induzione su F, utilizzando
579 ∀F:Formula.∀v:ℕ→ℕ.[[ negate F ]]_v=[[ F ]]_(invert v).
581 2. lemma `negate_fun`, conseguenza di `negate_invert`
583 ∀F,G:Formula. F ≡ G → negate F ≡ negate G.
585 2. lemma `not_dualize_eq_negate`, dimostrato per induzione su F,
586 utilizzando `max_min` e `min_max`
588 ∀F:Formula. negate F ≡ FNot (dualize F)
590 4. lemma `not_inj`, conseguenza di `sem_bool`
592 ∀F,G:Formula. FNot F ≡ FNot G → F ≡ G
594 Una volta dimostrati tali lemmi la prova del teorema di dualità
595 procede come di seguito:
601 2. Utilizza `negate_fun` per ottenere
603 negate F1 ≡ negate F2
605 3. Utilizzando due volte il lemma `not_dualize_eq_negate` e il lemma
606 `equiv_rewrite` ottiene
608 FNot (dualize F1) ≡ FNot (dualize F2)
610 4. Conclude utilizzando il lemma `not_inj` per ottenere la tesi
612 dualize F1 ≡ dualize F2
619 Dimostrare il teorema di dualità
621 theorem duality: ∀F1,F2:Formula.F1 ≡ F2 → dualize F1 ≡ dualize F2.
624 suppose (F1 ≡ F2) (H).
625 the thesis becomes (dualize F1 ≡ dualize F2).
626 by (*BEGIN*)negate_fun(*END*), H we proved (negate F1 ≡ negate F2) (H1).
627 by (*BEGIN*)not_dualize_eq_negate(*END*), (*BEGIN*)equiv_rewrite(*END*), H1 we proved (FNot (dualize F1) ≡ negate F2) (H2).
628 by (*BEGIN*)not_dualize_eq_negate(*END*), (*BEGIN*)equiv_rewrite(*END*), H2 we proved (FNot (dualize F1) ≡ FNot (dualize F2)) (H3).
629 by (*BEGIN*)not_inj(*END*), H3 we proved (dualize F1 ≡ dualize F2) (H4).