]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - helm/software/matita/library/didactic/exercises/natural_deduction_fst_order.ma
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[helm.git] / helm / software / matita / library / didactic / exercises / natural_deduction_fst_order.ma
1 (* Esercizio 0
2    ===========
3
4    Compilare i seguenti campi:
5
6    Nome1: ...
7    Cognome1: ...
8    Matricola1: ...
9    Account1: ...
10
11    Nome2: ...
12    Cognome2: ...
13    Matricola2: ...
14    Account2: ...
15
16 *)
17
18 (*DOCBEGIN
19
20 I connettivi logici
21 ===================
22
23 Per digitare i connettivi logici:
24
25 * `∧` : `\land`
26 * `∨` : `\lor`
27 * `¬` : `\lnot`
28 * `⇒` : `=>`, `\Rightarrow` 
29 * `⊥` : `\bot`
30 * `⊤` : `\top`
31
32 Per digitare i quantificatori:
33
34 * `∀` : `\forall`
35 * `∃` : `\exists`
36
37 I termini, le formule e i nomi delle ipotesi
38 ============================================
39
40 * I termini quantificati da `∀` e `∃`, quando argomenti di
41   una regola, vengono scritti tra `{` e `}`.
42
43 * Le formule, quando argomenti di
44   una regola, vengono scritte tra `(` e `)`.
45
46 * I nomi delle ipotesi, quando argomenti di
47   una regola, vengono scritti tra `[` e `]`.
48
49 Le regole di deduzione naturale
50 ===============================
51
52 Per digitare le regole di deduzione naturale
53 è possibile utilizzare la palette che compare
54 sulla sinistra dopo aver premuto `F2`.
55
56 L'albero si descrive partendo dalla radice. Le regole
57 con premesse multiple sono seguite da `[`, `|` e `]`.
58 Ad esempio: 
59
60         apply rule (∧_i (A∨B) ⊥);
61           [ …continua qui il sottoalbero per (A∨B)
62           | …continua qui il sottoalbero per ⊥
63           ] 
64
65 Le regole vengono applicate alle loro premesse, ovvero
66 gli argomenti delle regole sono le formule che normalmente 
67 scrivete sopra la linea che rappresenta l'applicazione della
68 regola stessa. Ad esempio:
69
70         aply rule (∨_e (A∨B) [h1] C [h2] C);
71           [ …prova di (A∨B)
72           | …prova di C sotto l'ipotesi A (di nome h1)  
73           | …prova di C sotto l'ipotesi B (di nome h2)
74           ]
75
76 Le regole che hanno una sola premessa non vengono seguite 
77 da parentesi quadre.
78
79 L'albero di deduzione
80 =====================
81
82 Per visualizzare l'albero man mano che viene costruito
83 dai comandi impartiti al sistema, premere `F3` e poi
84 premere sul bottome home (in genere contraddistinto da
85 una icona rappresentate una casa).
86
87 Si suggerisce di marcare tale finestra come `always on top`
88 utilizzando il menu a tendina che nella maggior parte degli
89 ambienti grafici si apre cliccando nel suo angolo in 
90 alto a sinistra.
91
92 Applicazioni di regole errate vengono contrassegnate con
93 il colore rosso.
94
95 Usare i lemmi dimostrati in precedenza
96 ======================================
97
98 Una volta dimostrati alcuni utili lemmi come `A ∨ ¬A` è possibile
99 riutilizzarli in altre dimostrazioni utilizzando la "regola" `lem`.
100
101 La "regola" `lem` prende come argomenti:
102
103 - Il numero delle ipotesi del lemma che si vuole utilizzare, nel
104   caso del terzo escluso `0`, nel caso di `¬¬A⇒A` le ipotesi sono `1`.
105
106 - Dopo il numero di ipotesi, è necessario digitare il nome del lemma.
107
108 - Infine, le formule che devono essere scritte come premesse per la 
109   "regola".
110
111 Ad esempio, per usare il lemma EM (terzo escluso) basta digitare
112 `lem 0 EM`, mentre per usare il lemma NNAA (`¬¬A⇒A`) bisogna digitare
113 `lem 1 NNAA (¬¬A)`. Ai lemmi con più di una premessa è necessario 
114 far seguire le parentesi quadre come spiegato in precedenza.
115
116 Si noti che "regola" `lem` non è una vera regola, ma una forma compatta
117 per rappresentare l'albero di prova del lemma che si sta riutilizzando.
118
119 Per motivi che saranno più chiari una volta studiate logiche del 
120 primo ordine o di ordine superiore, i lemmi che si intende 
121 riutilizzare è bene che siano dimostrati astratti sugli atomi. 
122 Ovvero per ogni atomo `A`...`Z` che compare nella formula, 
123 è bene aggiungere una quantificazione all'inizio della formula stessa.
124 Ad esempio scrivendo `∀A:CProp.` prima della formula `A ∨ ¬A`.
125 La dimostrazione deve poi iniziare con il comando `assume`. 
126
127 In tale modo il lemma EM può essere utilizzato sia per dimostrare 
128 `A ∨ ¬A`, sia `B ∨ ¬B`, sia `(A∨C) ∨ ¬(A∨C)`, etc ...
129
130 DOCEND*)
131
132
133 include "didactic/support/natural_deduction.ma".
134
135 (* Il nostro linguaggio del primo ordine prevede le seguenti 
136    - costanti: c
137    - funzioni: f, g (unarie), h (binaria)
138    - predicati: P, Q (unari), R, S (binari) 
139 *)
140 axiom c : sort.
141 axiom f : sort → sort.
142 axiom g : sort → sort.
143 axiom h : sort → sort → sort.
144 axiom P : sort → CProp.
145 axiom Q : sort → CProp.
146 axiom R : sort →sort → CProp.
147 axiom S : sort →sort → CProp.
148
149 (* assumiamo il terzo escluso *)
150 theorem EM: ∀A:CProp. A ∨ ¬ A.
151 assume A: CProp.
152 apply rule (prove (A ∨ ¬A));
153 apply rule (RAA [H] (⊥)).
154 apply rule (¬_e (¬(A ∨ ¬A)) (A ∨ ¬A));
155         [ apply rule (discharge [H]).
156         | apply rule (⊥_e (⊥));
157           apply rule (¬_e (¬¬A) (¬A));
158            [ apply rule (¬_i [K] (⊥)).
159        apply rule (¬_e (¬(A ∨ ¬A)) (A ∨ ¬A));
160               [ apply rule (discharge [H]).
161               | apply rule (∨_i_r (¬A)).
162           apply rule (discharge [K]).
163               ]
164            | apply rule (¬_i [K] (⊥)).
165        apply rule (¬_e (¬(A ∨ ¬A)) (A ∨ ¬A));
166               [ apply rule (discharge [H]).
167               | apply rule (∨_i_l (A)).
168           apply rule (discharge [K]).
169               ]
170            ]
171         ]
172 qed.
173
174 (* intuizionista *)
175 lemma ex1: ¬(∃x.P x) ⇒ ∀x.¬ P x.
176 apply rule (prove (¬(∃x.P x) ⇒ ∀x.¬ P x));
177 (*BEGIN*)
178 apply rule (⇒_i [h1] (∀x.¬ P x));
179 apply rule (∀_i {l} (¬P l));
180 apply rule (¬_i [h2] (⊥));
181 apply rule (¬_e (¬(∃x.P x)) (∃x.P x));
182         [ apply rule (discharge [h1]);
183         | apply rule (∃_i {l} (P l));
184           apply rule (discharge [h2]);
185         ]
186 (*END*)
187 qed.
188
189 (* classico *)
190 lemma ex2: ¬(∀x.P x) ⇒ ∃x.¬ P x.
191 apply rule (prove (¬(∀x.P x) ⇒ ∃x.¬ P x));
192 (*BEGIN*)
193 apply rule (⇒_i [h1] (∃x.¬ P x));
194 apply rule (RAA [h2] (⊥));
195 apply rule (¬_e (¬(∀x.P x)) (∀x.P x));
196         [ apply rule (discharge [h2]);
197         | apply rule (∀_i {y} (P y));
198     apply rule (RAA [h3] (⊥));
199     apply rule (¬_e (¬∃x.¬ P x) (∃x.¬ P x));
200            [ apply rule (discharge [h2]);
201            | apply rule (∃_i {y} (¬P y));
202        apply rule (discharge [h3]);
203            ]
204         ]
205 (*END*)
206 qed.
207
208 (* intuizionista *)
209 lemma ex3: ((∃x.P x) ⇒ Q c) ⇒ ∀x.P x ⇒ Q c.
210 apply rule (prove (((∃x.P x) ⇒ Q c) ⇒ ∀x.P x ⇒ Q c));
211 (*BEGIN*)
212 apply rule (⇒_i [h1] (∀x.P x ⇒ Q c));
213 apply rule (∀_i {l} (P l ⇒ Q c));
214 apply rule (⇒_i [h2] (Q c));
215 apply rule (⇒_e ((∃x.P x) ⇒ Q c) (∃x.P x));
216         [ apply rule (discharge [h1]);
217         | apply rule (∃_i {l} (P l));
218           apply rule (discharge [h2]);
219         ]
220 (*END*)
221 qed.
222
223 (* classico *)
224 lemma ex4: ((∀x.P x) ⇒ Q c) ⇒ ∃x.P x ⇒ Q c.
225 apply rule (prove (((∀x.P x) ⇒ Q c) ⇒ ∃x.P x ⇒ Q c));
226 (*BEGIN*)
227 apply rule (⇒_i [h1] (∃x.P x ⇒ Q c));
228 apply rule (∨_e ((∀x.P x) ∨ ¬(∀x.P x)) [h3] (?) [h3] (?));
229         [ apply rule (lem 0 EM);
230         | apply rule (∃_i {y} (P y ⇒ Q c));
231        apply rule (⇒_i [h4] (Q c));
232        apply rule (⇒_e ((∀x.P x) ⇒ Q c) ((∀x.P x)));
233                [ apply rule (discharge [h1]);
234          | apply rule (discharge [h3]);
235                ]
236   | apply rule (∃_e (∃x.¬P x) {y} [h4] (∃x.P x ⇒ Q c));
237            [ apply rule (lem 1 ex2 (¬(∀x.P x)));
238              apply rule (discharge [h3]);
239      | apply rule (∃_i {y} (P y ⇒ Q c));
240        apply rule (⇒_i [h5] (Q c));
241        apply rule (⊥_e (⊥));
242        apply rule (¬_e (¬P y) (P y));
243                [ apply rule (discharge [h4]);
244                | apply rule (discharge [h5]);
245                ]
246            ]
247   ]
248 (*END*)
249 qed.