1 (**************************************************************************)
4 (* ||A|| A project by Andrea Asperti *)
6 (* ||I|| Developers: *)
7 (* ||T|| A.Asperti, C.Sacerdoti Coen, *)
8 (* ||A|| E.Tassi, S.Zacchiroli *)
10 (* \ / This file is distributed under the terms of the *)
11 (* v GNU Lesser General Public License Version 2.1 *)
13 (**************************************************************************)
18 Compilare i seguenti campi:
35 Non modificare quanto segue
37 include "nat/minus.ma".
38 definition if_then_else ≝ λT:Type.λe,t,f.match e return λ_.T with [ true ⇒ t | false ⇒ f].
39 notation > "'if' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 90 f" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
40 notation < "'if' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
41 interpretation "Formula if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else _ e t f).
42 definition max ≝ λn,m. if eqb (n - m) 0 then m else n.
43 definition min ≝ λn,m. if eqb (n - m) 0 then n else m.
48 Il linguaggio delle formule, dove gli atomi sono
49 rapperesentati da un numero naturale
51 inductive Formula : Type ≝
54 | FAtom: nat → Formula
55 | FAnd: Formula → Formula → Formula
56 | FOr: Formula → Formula → Formula
57 | FImpl: Formula → Formula → Formula
58 | FNot: Formula → Formula
64 La semantica di una formula `F` in un mondo `v`: `[[ F ]]_v`
66 let rec sem (v: nat → nat) (F: Formula) on F : nat ≝
70 | FAtom n ⇒ min (v n) 1
71 | FAnd F1 F2 ⇒ min (sem v F1) (sem v F2)
72 | FOr F1 F2 ⇒ max (sem v F1) (sem v F2)
73 | FImpl F1 F2 ⇒ max (1 - sem v F1) (sem v F2)
74 | FNot F1 ⇒ 1 - (sem v F1)
81 Non modificare quanto segue.
83 notation < "[[ \nbsp term 19 a \nbsp ]] \nbsp \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
84 notation > "[[ term 19 a ]] \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
85 notation > "[[ term 19 a ]]_ term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ sem $v $a }.
86 interpretation "Semantic of Formula" 'semantics v a = (sem v a).
87 lemma sem_bool : ∀F,v. [[ F ]]_v = 0 ∨ [[ F ]]_v = 1. intros; elim F; simplify; [left;reflexivity; |right;reflexivity; |cases (v n);[left;|cases n1;right;]reflexivity; |4,5,6: cases H; cases H1; rewrite > H2; rewrite > H3; simplify; first [ left;reflexivity | right; reflexivity ]. |cases H; rewrite > H1; simplify;[right|left]reflexivity;] qed.
92 L'operazione di sostituzione di una formula `G` al posto dell'atomo
93 `x` in una formula `F`: `F[G/x]`
96 let rec subst (x:nat) (G: Formula) (F: Formula) on F ≝
100 | FAtom n ⇒ if eqb n x then G else (FAtom n)
101 | FAnd F1 F2 ⇒ FAnd (subst x G F1) (subst x G F2)
102 | FOr F1 F2 ⇒ FOr (subst x G F1) (subst x G F2)
103 | FImpl F1 F2 ⇒ FImpl (subst x G F1) (subst x G F2)
104 | FNot F ⇒ FNot (subst x G F)
110 Non modificare quanto segue.
112 notation < "t [ \nbsp term 19 a / term 19 b \nbsp ]" non associative with precedence 19 for @{ 'substitution $b $a $t }.
113 notation > "t [ term 90 a / term 90 b]" non associative with precedence 19 for @{ 'substitution $b $a $t }.
114 interpretation "Substitution for Formula" 'substitution b a t = (subst b a t).
115 definition equiv ≝ λF1,F2. ∀v.[[ F1 ]]_v = [[ F2 ]]_v.
116 notation "hvbox(a \nbsp break mstyle color #0000ff (≡) \nbsp b)" non associative with precedence 45 for @{ 'equivF $a $b }.
117 notation > "a ≡ b" non associative with precedence 50 for @{ equiv $a $b }.
118 interpretation "equivalence for Formulas" 'equivF a b = (equiv a b).
119 lemma min_1_sem: ∀F,v.min 1 [[ F ]]_v = [[ F ]]_v. intros; cases (sem_bool F v); rewrite > H; reflexivity; qed.
120 lemma max_0_sem: ∀F,v.max [[ F ]]_v 0 = [[ F ]]_v. intros; cases (sem_bool F v); rewrite > H; reflexivity; qed.
121 definition IFTE := λA,B,C:Formula. FOr (FAnd A B) (FAnd (FNot A) C).
125 La libreria di Matita
126 =====================
128 Per portare a termine l'esercitazione sono necessari i seguenti lemmi:
130 * lemma `decidable_eq_nat` : `∀x,y.x = y ∨ x ≠ y`
131 * lemma `sem_bool` : `∀F,v. [[ F ]]_v = 0 ∨ [[ F ]]_v = 1`
132 * lemma `not_eq_to_eqb_false` : `∀x,y.x ≠ y → eqb x y = false`
133 * lemma `eq_to_eqb_true` : `∀x,y.x = y → eqb x y = true`
134 * lemma `min_1_sem` : `∀F,v.min 1 [[ F ]]_v = [[ F ]]_v`
135 * lemma `max_0_sem` : `∀F,v.max [[ F ]]_v 0 = [[ F ]]_v`
137 Nota su `x = y` e `eqb x y`
138 ---------------------------
140 Se vi siete mai chiesti la differenza tra `x = y` ed `eqb x y`
141 quanto segue prova a chiarirla.
143 Presi due numeri `x` e `y` in ℕ, dire che `x = y` significa i due numeri
144 sono lo stesso numero, ovvero che se `x` è il numero `3`,
145 anche `y` è il numero `3`.
147 `eqb` è un funzione, un programma, che confronta due numeri naturali
148 e restituisce `true` se sono uguali, `false` se sono diversi. L'utilizzo
149 di tale programma è necessario per usare il costrutto (che è a sua volta
150 un programma) `if E then A else B`, che lancia il programma `E`,
152 risultato è `true` si comporta come `A` altrimenti come `B`. Come
153 ben sapete i programmi possono contenere errori. In particolare anche
154 `eqb` potrebbe essere sbagliato, e per esempio restituire sempre `true`.
155 I teoremi `eq_to_eqb_true` e
156 `not_eq_to_eqb_false` sono la dimostrazione che il programma `eqb` è
157 corretto, ovvero che che se `x = y` allora `eqb x y` restituisce `true`,
158 se `x ≠ y` allora `eqb x y` restituisce `false`.
160 Il teorema di espansione di Shannon
161 ===================================
163 Si definisce un connettivo logico `IFTE A B C` come
165 FOr (FAnd A B) (FAnd (FNot A) C)
167 Il teorema dice che data una formula `F`, e preso un atomo `x`, la seguente
168 formula è equivalente a `F`:
170 IFTE (FAtom x) (F[FTop/x]) (F[FBot/x])
172 Ovvero, fissato un mondo `v`, sostituisco l'atomo `x` con `FBot` se tale
173 atomo è falso, lo sostituisco con `FTop` se è vero.
175 La dimostrazione è composta da due lemmi, `shannon_false` e `shannon_true`.
177 Vediamo solo la dimostrazione del primo, essendo il secondo del tutto analogo.
178 Il lemma asserisce quanto segue:
180 ∀F,x,v. [[ FAtom x ]]_v = 0 → [[ F[FBot/x] ]]_v = [[ F ]]_v
182 Una volta assunte la formula `F`, l'atomo `x`, il mondo `v` e aver
183 supposto che `[[ FAtom x ]]_v = 0` si procede per induzione su `F`.
184 I casi `FTop` e `FBot` sono banali. Nei casi `FAnd/FOr/FImpl/FNot`,
185 una volta assunte le sottoformule e le relative ipotesi induttive,
186 si conclude con una catena di uguaglianze.
188 Il caso `FAtom` richiede maggiore cura. Assunto l'indice dell'atomo `n`,
189 occorre utilizzare il lemma `decidable_eq_nat` per ottenere l'ipotesi
190 aggiuntiva `n = x ∨ n ≠ x` (dove `x` è l'atomo su cui predica il teorema).
191 Si procede per casi sull'ipotesi appena ottenuta.
192 In entrambi i casi, usando i lemmi `eq_to_eqb_true` oppure `not_eq_to_eqb_false`
193 si ottengolo le ipotesi aggiuntive `(eqb n x = true)` oppure `(eqb n x = false)`.
194 Entrambi i casi si concludono con una catena di uguaglianze.
196 Il teorema principale si dimostra utilizzando il lemma `sem_bool` per
197 ottenre l'ipotesi `[[ FAtom x ]]_v = 0 ∨ [[ FAtom x ]]_v = 1` su cui
198 si procede poi per casi. Entrambi i casi si concludono con
199 una catena di uguaglianze che utilizza i lemmi dimostrati in precedenza
200 e i lemmi `min_1_sem` oppure `max_0_sem`.
205 ∀F,x,v. [[ FAtom x ]]_v = 0 → [[ F[FBot/x] ]]_v = [[ F ]]_v.
210 suppose ([[ FAtom x ]]_v = 0) (H).
211 we proceed by induction on F to prove ([[ F[FBot/x] ]]_v = [[ F ]]_v).
213 the thesis becomes ([[ FBot[FBot/x] ]]_v = [[ FBot ]]_v).
214 the thesis becomes ([[ FBot ]]_v = [[ FBot ]]_v).
217 the thesis becomes ([[ FTop[FBot/x] ]]_v = [[ FTop ]]_v).
218 the thesis becomes ([[ FTop ]]_v = [[ FTop ]]_v).
222 the thesis becomes ([[ (FAtom n)[FBot/x] ]]_v = [[ FAtom n ]]_v).
223 the thesis becomes ([[ if eqb n x then FBot else (FAtom n) ]]_v = [[ FAtom n ]]_v).
224 by decidable_eq_nat we proved (n = x ∨ n ≠ x) (H1).
225 we proceed by cases on H1 to prove ([[ if eqb n x then FBot else (FAtom n) ]]_v = [[ FAtom n ]]_v).
227 by H2, eq_to_eqb_true we proved (eqb n x = true) (H3).
229 ([[ if eqb n x then FBot else (FAtom n) ]]_v)
230 = ([[ if true then FBot else (FAtom n) ]]_v) by H3.
233 = ([[ FAtom x ]]_v) by H.
234 = ([[ FAtom n ]]_v) by H2.
237 by H2, not_eq_to_eqb_false we proved (eqb n x = false) (H3).
239 ([[ if eqb n x then FBot else (FAtom n) ]]_v)
240 = ([[ if false then FBot else (FAtom n) ]]_v) by H3.
245 by induction hypothesis we know ([[ f1[FBot/x] ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H1).
247 by induction hypothesis we know ([[ f2[FBot/x] ]]_v = [[ f2 ]]_v) (H2).
248 the thesis becomes ([[ (FAnd f1 f2)[FBot/x] ]]_v = [[ FAnd f1 f2 ]]_v).
250 ([[ (FAnd f1 f2)[FBot/x] ]]_v)
251 = ([[ FAnd (f1[FBot/x]) (f2[FBot/x]) ]]_v).
252 = (min [[ f1[FBot/x] ]]_v [[ f2[FBot/x] ]]_v).
253 = (min [[ f1 ]]_v [[ f2[FBot/x] ]]_v) by H1.
254 = (min [[ f1 ]]_v [[ f2 ]]_v) by H2.
255 = ([[ FAnd f1 f2 ]]_v).
259 by induction hypothesis we know ([[ f1[FBot/x] ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H1).
261 by induction hypothesis we know ([[ f2[FBot/x] ]]_v = [[ f2 ]]_v) (H2).
262 the thesis becomes ([[ (FOr f1 f2)[FBot/x] ]]_v = [[ FOr f1 f2 ]]_v).
264 ([[ (FOr f1 f2)[FBot/x] ]]_v)
265 = ([[ FOr (f1[FBot/x]) (f2[FBot/x]) ]]_v).
266 = (max [[ f1[FBot/x] ]]_v [[ f2[FBot/x] ]]_v).
267 = (max [[ f1 ]]_v [[ f2[FBot/x] ]]_v) by H1.
268 = (max [[ f1 ]]_v [[ f2 ]]_v) by H2.
269 = ([[ FOr f1 f2 ]]_v).
273 by induction hypothesis we know ([[ f1[FBot/x] ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H1).
275 by induction hypothesis we know ([[ f2[FBot/x] ]]_v = [[ f2 ]]_v) (H2).
276 the thesis becomes ([[ (FImpl f1 f2)[FBot/x] ]]_v = [[ FImpl f1 f2 ]]_v).
278 ([[ (FImpl f1 f2)[FBot/x] ]]_v)
279 = ([[ FImpl (f1[FBot/x]) (f2[FBot/x]) ]]_v).
280 = (max (1 - [[ f1[FBot/x] ]]_v) [[ f2[FBot/x] ]]_v).
281 = (max (1 - [[ f1 ]]_v) [[ f2[FBot/x] ]]_v) by H1.
282 = (max (1 - [[ f1 ]]_v) [[ f2 ]]_v) by H2.
283 = ([[ FImpl f1 f2 ]]_v).
287 by induction hypothesis we know ([[ f[FBot/x] ]]_v = [[ f ]]_v) (H1).
288 the thesis becomes ([[ (FNot f)[FBot/x] ]]_v = [[ FNot f ]]_v).
290 ([[ (FNot f)[FBot/x] ]]_v)
291 = ([[ FNot (f[FBot/x]) ]]_v).
292 = (1 - [[ f[FBot/x] ]]_v).
293 = (1 - [[ f ]]_v) by H1.
300 ∀F,x,v. [[ FAtom x ]]_v = 1 → [[ F[FTop/x] ]]_v = [[ F ]]_v.
305 suppose ([[ FAtom x ]]_v = 1) (H).
306 we proceed by induction on F to prove ([[ F[FTop/x] ]]_v = [[ F ]]_v).
308 the thesis becomes ([[ FBot[FTop/x] ]]_v = [[ FBot ]]_v).
309 the thesis becomes ([[ FBot ]]_v = [[ FBot ]]_v).
312 the thesis becomes ([[ FTop[FTop/x] ]]_v = [[ FTop ]]_v).
313 the thesis becomes ([[ FTop ]]_v = [[ FTop ]]_v).
317 the thesis becomes ([[ (FAtom n)[FTop/x] ]]_v = [[ FAtom n ]]_v).
318 the thesis becomes ([[ if eqb n x then FTop else (FAtom n) ]]_v = [[ FAtom n ]]_v).
319 by decidable_eq_nat we proved (n = x ∨ n ≠ x) (H1).
320 we proceed by cases on H1 to prove ([[ if eqb n x then FTop else (FAtom n) ]]_v = [[ FAtom n ]]_v).
322 by H2, eq_to_eqb_true we proved (eqb n x = true) (H3).
324 ([[ if eqb n x then FTop else (FAtom n) ]]_v)
325 = ([[ if true then FTop else (FAtom n) ]]_v) by H3.
328 = ([[ FAtom x ]]_v) by H.
329 = ([[ FAtom n ]]_v) by H2.
332 by H2, not_eq_to_eqb_false we proved (eqb n x = false) (H3).
334 ([[ if eqb n x then FTop else (FAtom n) ]]_v)
335 = ([[ if false then FTop else (FAtom n) ]]_v) by H3.
340 by induction hypothesis we know ([[ f1[FTop/x] ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H1).
342 by induction hypothesis we know ([[ f2[FTop/x] ]]_v = [[ f2 ]]_v) (H2).
343 the thesis becomes ([[ (FAnd f1 f2)[FTop/x] ]]_v = [[ FAnd f1 f2 ]]_v).
345 ([[ (FAnd f1 f2)[FTop/x] ]]_v)
346 = ([[ FAnd (f1[FTop/x]) (f2[FTop/x]) ]]_v).
347 = (min [[ f1[FTop/x] ]]_v [[ f2[FTop/x] ]]_v).
348 = (min [[ f1 ]]_v [[ f2[FTop/x] ]]_v) by H1.
349 = (min [[ f1 ]]_v [[ f2 ]]_v) by H2.
350 = ([[ FAnd f1 f2 ]]_v).
354 by induction hypothesis we know ([[ f1[FTop/x] ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H1).
356 by induction hypothesis we know ([[ f2[FTop/x] ]]_v = [[ f2 ]]_v) (H2).
357 the thesis becomes ([[ (FOr f1 f2)[FTop/x] ]]_v = [[ FOr f1 f2 ]]_v).
359 ([[ (FOr f1 f2)[FTop/x] ]]_v)
360 = ([[ FOr (f1[FTop/x]) (f2[FTop/x]) ]]_v).
361 = (max [[ f1[FTop/x] ]]_v [[ f2[FTop/x] ]]_v).
362 = (max [[ f1 ]]_v [[ f2[FTop/x] ]]_v) by H1.
363 = (max [[ f1 ]]_v [[ f2 ]]_v) by H2.
364 = ([[ FOr f1 f2 ]]_v).
368 by induction hypothesis we know ([[ f1[FTop/x] ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H1).
370 by induction hypothesis we know ([[ f2[FTop/x] ]]_v = [[ f2 ]]_v) (H2).
371 the thesis becomes ([[ (FImpl f1 f2)[FTop/x] ]]_v = [[ FImpl f1 f2 ]]_v).
373 ([[ (FImpl f1 f2)[FTop/x] ]]_v)
374 = ([[ FImpl (f1[FTop/x]) (f2[FTop/x]) ]]_v).
375 = (max (1 - [[ f1[FTop/x] ]]_v) [[ f2[FTop/x] ]]_v).
376 = (max (1 - [[ f1 ]]_v) [[ f2[FTop/x] ]]_v) by H1.
377 = (max (1 - [[ f1 ]]_v) [[ f2 ]]_v) by H2.
378 = ([[ FImpl f1 f2 ]]_v).
382 by induction hypothesis we know ([[ f[FTop/x] ]]_v = [[ f ]]_v) (H1).
383 the thesis becomes ([[ (FNot f)[FTop/x] ]]_v = [[ FNot f ]]_v).
385 ([[ (FNot f)[FTop/x] ]]_v)
386 = ([[ FNot (f[FTop/x]) ]]_v).
387 = (1 - [[ f[FTop/x] ]]_v).
388 = (1 - [[ f ]]_v) by H1.
395 ∀F,x. IFTE (FAtom x) (F[FTop/x]) (F[FBot/x]) ≡ F.
400 the thesis becomes ([[ IFTE (FAtom x) (F[FTop/x]) (F[FBot/x])]]_v = [[ F ]]_v).
401 by sem_bool we proved ([[ FAtom x]]_v = 0 ∨ [[ FAtom x]]_v = 1) (H).
402 we proceed by cases on H to prove ([[ IFTE (FAtom x) (F[FTop/x]) (F[FBot/x])]]_v = [[ F ]]_v).
405 ([[ IFTE (FAtom x) (F[FTop/x]) (F[FBot/x])]]_v)
406 = ([[ FOr (FAnd (FAtom x) (F[FTop/x])) (FAnd (FNot (FAtom x)) (F[FBot/x]))]]_v).
407 = (max [[ (FAnd (FAtom x) (F[FTop/x])) ]]_v [[ (FAnd (FNot (FAtom x)) (F[FBot/x]))]]_v).
408 = (max (min [[ FAtom x ]]_v [[ F[FTop/x] ]]_v) (min (1 - [[ FAtom x ]]_v) [[ F[FBot/x] ]]_v)).
409 = (max (min 0 [[ F[FTop/x] ]]_v) (min (1 - 0) [[ F[FBot/x] ]]_v)) by H.
410 = (max 0 (min 1 [[ F[FBot/x] ]]_v)).
411 = (max 0 [[ F[FBot/x] ]]_v) by min_1_sem.
412 = ([[ F[FBot/x] ]]_v).
413 = ([[ F ]]_v) by H1, shannon_false.
417 ([[ IFTE (FAtom x) (F[FTop/x]) (F[FBot/x])]]_v)
418 = ([[ FOr (FAnd (FAtom x) (F[FTop/x])) (FAnd (FNot (FAtom x)) (F[FBot/x]))]]_v).
419 = (max [[ (FAnd (FAtom x) (F[FTop/x])) ]]_v [[ (FAnd (FNot (FAtom x)) (F[FBot/x]))]]_v).
420 = (max (min [[ FAtom x ]]_v [[ F[FTop/x] ]]_v) (min (1 - [[ FAtom x ]]_v) [[ F[FBot/x] ]]_v)).
421 = (max (min 1 [[ F[FTop/x] ]]_v) (min (1 - 1) [[ F[FBot/x] ]]_v)) by H.
422 = (max (min 1 [[ F[FTop/x] ]]_v) (min 0 [[ F[FBot/x] ]]_v)).
423 = (max [[ F[FTop/x] ]]_v (min 0 [[ F[FBot/x] ]]_v)) by min_1_sem.
424 = (max [[ F[FTop/x] ]]_v 0).
425 = ([[ F[FTop/x] ]]_v) by max_0_sem.
426 = ([[ F ]]_v) by H1, shannon_true.
438 1. Ogni volta che nella finestra di destra compare un simbolo `∀` oppure un
439 simbolo `→` è opportuno usare il comando `assume` oppure `suppose`
440 oppure (se si è in un caso di una dimostrazione per induzione) il comando
441 `by induction hypothesis we know` (che vengono nuovamente spiegati in seguito).
443 2. Ogni caso (o sotto caso) della dimostrazione:
445 1. Inizia con una sequenza di comandi `assume` o `suppose` oppure
446 `by induction hypothesis we know`. Tale sequenza di comandi può anche
449 2. Continua poi con almeno un comando `the thesis becomes`.
451 3. Eventualmente seguono vari comandi `by ... we proved` per
452 utilizzare i teoremi già disponibili per generare nuove
455 4. Eventualmente uno o più comandi `we proceed by cases on (...) to prove (...)`.
457 5. Se necessario un comando `conclude` seguito da un numero anche
458 molto lungo di passi `= (...) by ... .` per rendere la parte
459 sinistra della vostra tesi uguale alla parte destra.
461 6. Ogni caso termina con `done`.
463 3. Ogni caso corrispondente a un nodo con sottoformule (FAnd/For/FNot)
464 avrà tante ipotesi induttive quante sono le sue sottoformule e tali
465 ipotesi sono necessarie per portare a termine la dimostrazione.
467 I comandi da utilizzare
468 =======================
470 * `the thesis becomes (...).`
472 Afferma quale sia la tesi da dimostrare. Se ripetuto
473 permette di espandere le definizioni.
475 * `we proceed by cases on (...) to prove (...).`
477 Permette di andare per casi su una ipotesi (quando essa è della forma
480 Esempio: `we proceed by cases on H to prove Q.`
484 Nelle dimostrazioni per casi o per induzioni si utulizza tale comando
485 per inizia la sotto prova relativa a un caso. Esempio: `case Fbot.`
489 Ogni caso di una dimostrazione deve essere terminato con il comando
492 * `assume ... : (...) .`
494 Assume una formula o un numero, ad esempio `assume n : (ℕ).` assume
495 un numero naturale `n`.
497 * `by ..., ..., ..., we proved (...) (...).`
499 Permette di comporre lemmi e ipotesi per ottenere nuove ipotesi.
500 Ad esempio `by H, H1 we prove (F ≡ G) (H2).` ottiene una nuova ipotesi
501 `H2` che dice che `F ≡ G` componendo insieme `H` e `H1`.
503 * `conclude (...) = (...) by ... .`
505 Il comando conclude lavora SOLO sulla parte sinistra della tesi. È il comando
506 con cui si inizia una catena di uguaglianze. La prima formula che si
507 scrive deve essere esattamente uguale alla parte sinistra della conclusione
508 originale. Esempio `conclude ([[ FAtom x ]]_v) = ([[ FAtom n ]]_v) by H.`
509 Se la giustificazione non è un lemma o una ipotesi ma la semplice espansione
510 di una definizione, la parte `by ...` deve essere omessa.
514 Continua un comando `conclude`, lavorando sempre sulla parte sinistra della